Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học

I. Quy nạp toán học

Cho \({n_0}\) là một số nguyên dương và \(P(n)\) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\).

(1) Nếu \(P({n_0})\) là đúng.

(2)  Giả sử \(P(k)\) đúng, ta chứng minh được \(P(k + 1)\)cũng đúng với mọi số tự nhiên \(k \ge {n_0}\);

thì kết luận mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\) .

II. Phương pháp quy nạp toán học

Quy trình chứng minh mệnh đề \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}, \)\({n_0} \in \mathbb{N}\) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Bước 1: (Cơ sở) Kiểm tra \(P({n_0})\) là mệnh đề đúng. Nghĩa là mệnh đề đúng với \(n={n_0}\)

Bước 2: (Xây dựng giả thiết quy nạp) Giả sử mệnh đề đúng với \(k \ge {n_0}\). Nghĩa là mệnh đề đúng với \(n= k \ge {n_0}\)

Bước 3. (Quy nạp) Ta chứng mệnh đề \(P(k + 1)\) cũng đúng. Nghĩa là mệnh đề đúng với \(n= k+1\)

Kết luận:  \(P(n)\) đúng với \(\forall n \ge {n_0}\).

III. Ví dụ minh họa

Vấn đề 1: Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức – Bất đẳng thức

Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức \(P(n) = Q(n)\) (hoặc \(P(n) > Q(n)\)) đúng với \(\forall n \ge {n_0},{\rm{ }}{n_0} \in \mathbb{N}\) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính \(P({n_0}),{\rm{ }}Q({n_0})\) rồi chứng minh \(P({n_0}) = Q({n_0})\)

Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k);{\rm{ }}k \in \mathbb{N},k \ge {n_0}\), ta cần chứng minh

\(P(k + 1) = Q(k + 1)\).

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:

\(1 + 2 + … + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Giải

Đặt \({A_n} = 1 + 2 + … + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\)

Bước 1. (Bước cơ sở). Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.

Với n=1, ta có: \(1 = \frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1\) (đúng)

Bước 2. (Xây dựng giả thiết quy nạp)

Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\).

nghĩa là:

\({A_n} = 1 + 2 + … + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\) 

Bước 3. (Quy nạp) ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Nghĩa là: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = \,\frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)

Thật vậy: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = \,\frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)\) 

\(\Leftrightarrow {A_{n + 1}} = \,\frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = \frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\) . Suy ra mệnh đề đúng với n= k+1.

Vậy \(1 + 2 + … + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:

\(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}\)

Giải

Đặt \({A_n} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}\) 

Với n= 1: \({(2.1 – 1)^2} = \frac{{1.({{4.1}^2} – 1)}}{3} = 1\). Suy ra A_n đúng với n=1.

Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:

\(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh: 

\({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + \,{[2(n + 1) – 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3}\,\)

Ta có: \(VT = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + \,{[2(n + 1) – 1]^2}\) 

Theo giả thiết quy nạp ở trên: \(VT = \frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3} + \,{[2(n + 1) – 1]^2}\)

= \(\frac{{4{n^3} – n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} – n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3}\)

\(= \frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} + 4{n^2} + \,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3}\)

\(VT = \frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\) (1)

Ta lại có: \({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3}\,\)

\(= \,\frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) – 1]}}{3}\,\)

\(= \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 – 1)}}{3}\,\)

\({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\,\) (2)

Từ (1) và (2): \({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + \,{[2(n + 1) – 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3}\,\)

Vậy \(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).

Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học

Ví dụ 3

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) :

\({n^3} + 2n\) chia hết cho 3.

Giải

Đặt \({A_n} = {n^3} + 2n\)

Bước 1. (Bước cơ sở). Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.

Với n= 1: \({A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3\)

Bước 2. (Xây dựng giả thiết quy nạp). Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\) 

nghĩa là:

\({A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)

Bước 3. (Quy nạp). Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Thật vậy: 

\({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Ta có: \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2\)

\(= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)\)

Theo giả thiết quy nạp: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) 

Đồng thời: \(3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Vậy \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Kết luận: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\)

Ví dụ 4:

Cho \(n\) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: \({a_n} = {16^n}-15n-1 \vdots 225\)

Giải

\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có: \({a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225\).

\( \bullet \) Giả sử \({a_k} = {16^k} – 15k – 1 \vdots 225\), ta chứng minh

\({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1 \vdots 225\)

Thậ vậy: \({a_{k + 1}} = {16.16^k} – 15k – 16 = {16^k} – 15k – 1 – 15\left( {{{16}^k} – 1} \right)\)

                      \( = {a_k} – 15\left( {{{16}^k} – 1} \right)\)

Vì \({16^k} – 1 = 15.\left( {{{16}^{k – 1}} + {{16}^{k – 2}} + … + 1} \right) \vdots 15\) và \({a_k} \vdots 225\)

Nên ta suy ra \({a_{k + 1}} \vdots 225\). Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 5

Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng \((n – 2){180^0}\).

Lời giải:

\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\)

\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với \(k < n\), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k – 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n – k – 1} \right){180^0}\).

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \((k – 1 + n – k – 1){180^0} = (n – 2){180^0}\)

Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3\).

IV. Luyện tập 

• Câu 1: Chứng minh mệnh đề ” \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + … + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)” bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?
  • A. n=0
  • B. n=1
  • C. n=2
  • D. n=3

• Câu 2: Chứng minh mênh đề ” \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)” bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?
  • A. n=0
  • B. n=1
  • C. n=2
  • D. n=3

• Câu 3: Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?
  • A. \(n \in N\)
  • B. \(1 \le n \le 9\)
  • C. \(n \ge 2\)
  • D. \(n \ge 3\)

—————–