Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí : Nếu hai hàm số $u=u\left( x \right)$ và $v=v\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì

$\int{u\left( x \right){v}’\left( x \right)dx}=u\left( x \right)v\left( x \right)-\int{{u}’\left( x \right)v\left( x \right)dx}$

Chú ý: Vì ${v}’\left( x \right)dx=dv,\,\,{u}’\left( x \right)dx=du$ nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

$\int{udv}=uv-\int{vdu}$

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Tính nguyên hàm sau: $A=\int{x{{e}^{x}}}d\text{x}$

Lời giải

Đặt:

$\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.$

Vậy $A=x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C$

Ví dụ 2.

Tính nguyên hàm sau: $B=\int{x\cos \text{xdx}}$

Lời giải

Đặt

$\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \cos xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \sin x \end{array} \right.$

Vậy $B=x\sin x-\int{\sin xdx}=x\sin x+\cos x+C$$B=x\sin x-\int{\sin xdx}=x\sin x+\cos x+C$

Ví dụ 3.

Tính nguyên hàm sau: $C=\int{\ln \text{xdx}}$

Lời giải

Đặt:

$\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = x \end{array} \right.$

Vậy $C=x\ln x-\int{dx}=x\ln x-x+C$.

Quy tắc đặt u,v

Từ các ví dụ trên rút ra các bước tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần và cách lựa chọn $u$ và $dv$

*Giả sử tính $A=\int{u\left( x \right).{v}’\left( x \right)dx}$

Bước 1 : Đặt

$\left\{ \begin{array}{l} u = u(x)\\ dv = v’\left( x \right)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = u’\left( x \right)dx\\ v = v\left( x \right) \end{array} \right.$

Bước 2 : $A=\int{udv}=uv-\int{vdu}$.

Bước 3: Tính $\int{vdu}$và thay vào ta có kết quả.

Chú ý: Cách đặt u,v trong tich phân từng phần

$u$	$v’$
$f(x)={{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{n}}$	${{e}^{g(x)}};\sin g(x);\cos g(x)$
$\ln g(x)$	$f(x)={{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{n}}$
$\sin g(x);\cos g(x)$	${{e}^{h(x)}}$

——————————–

Xem thêm:

• Phương pháp tính Nguyên hàm bằng đổi biến loại 2

• Phương pháp tính nguyên hàm bằng đồng nhất thức

• Một số dạng toán thường gặp khi tính nguyên hàm bảng đổi biến loại 1

• Phương pháp tính nguyên hàm bằng tích phân từng phần

—————————–