Phương pháp tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Chúng ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

$\left| A \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
A&{khi}&{A \ge 0}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ – A}&{khi}&{A < 0} \end{array}} \end{array}} \right.$

Ví dụ

Tính : $J = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {{x^2} – 1} \right|dx} $

Giải

Lập bảng xét dấu của ${{x}^{2}}-1$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$

x	-2		-1		1		2
${x^2} – 1$	|	+	0	–	0	+	|

Do đó: $\begin{array}{l}
I = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {{x^2} – 1} \right|dx} \\
= \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left( {{x^2} – 1} \right)dx} + \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {1 – {x^2}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} – 1} \right)dx}
\end{array}$

$ = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)\left| \begin{array}{l}
– 1\\
– 2
\end{array} \right. + \left( {x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}
1\\
– 1
\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)\left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right. = 4$

Ví dụ

Tính $I = \int\limits_{ – 3}^0 {\left| {2x + 4} \right|} dx$

Giải

Xét dấu nhị thức bậc nhất  f(x)  = 2x + 4

x		-2
f(x)=2x+4	–	0	+

Do đó: $\begin{array}{l}
I = \int\limits_{ – 3}^0 {\left| {2x + 4} \right|} dx\\
= \int\limits_{ – 3}^{ – 2} {(2x + 4)} dx + \int\limits_{ – 2}^0 {(2x + 4)} dx\\
= ({x^2} + 4x)\left| \begin{array}{l}
– 2\\
– 3
\end{array} \right. + ({x^2} + 4x)\left| \begin{array}{l}
0\\
– 2
\end{array} \right. = – 1 + 4 = 3
\end{array}$

Ví dụ 3

Tính: $J = \int\limits_0^3 {\left| { – {x^2} + 2x – 2} \right|} dx$

Giải

Xét dấu tam thức f(x) = x² – 3x + 2

có a = 1 > 0 ; và ${x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.$

x		1		2
f(x)= x2 – 3x + 2	+	0	–	0	+

Do đó: $\begin{array}{l}
K = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} – 3x + 2} \right|} dx\\
= \int\limits_0^1 {({x^2}} – 3x + 2)dx – \int\limits_1^2 {({x^2} – 3x + 2)dx}
\end{array}$

$ = (\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x)\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. – (\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x)\left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right.$

$ = \frac{5}{6} – \left( { – \frac{1}{6}} \right) = 1$

Bài tập Thực hành

Tính các tích phân sau

a) $I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} – 3{x^2} + 2} \right|} dx$

b) $J = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {{x^4} – 3{x^2} + 2} \right|} dx$

c) $k = \int\limits_{ – 4}^0 {\left| {\frac{{\left| {x + 2} \right|}}{{x – 1}}} \right|} dx$