Tăng Hồng Dương

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC PHẲNG

I. Vai trò, ý nghĩa, thời lượng của bài toán với chủ đề ” Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải các bài toán về tam giác” trong các đề thi tốt nghiệp THPT, ĐH&CĐ hiện nay.

          Trong các đề thi tuyển sinh gần đây, Bài toán hình học phẳng chiếm tỉ lệ 1/10 cơ số điểm của bài thi, nó là một phần bắt buộc trong chuẩn kiến thức và kỹ năng mà bộ GD&ĐT ban hành. Để làm tốt bài thi trong kỳ thi tuyển sinh thi việc làm tốt bài tập phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một nhiệm vụ mà giáo viên cần chuẩn bị kỹ lưỡng cho học sinh.

          Trong các bài toán hình học phẳng thì phương pháp Đại số hóa hay còn gọi là phương pháp tọa độ là một trong những phương pháp rất mạnh để giải các bài toán thuộc nhóm này.

          Trọng tâm của kiến thức của bài toán hình học phẳng chính là quan hệ giữa điểm và đường thẳng  với các tính chất và quan hệ của chúng như:

          + Điểm: Đỉnh, Trung Điểm, Trọng Tâm, Trực tâm, Tâm đường tròn nội tiếp, Tâm đường tròn ngoại tiếp.

     + Đường: Cạnh, Trung bình, Trung tuyến, Phân giác, đường cao,…

     + Góc, Khoảng cách.

Vậy, làm tốt bài toán tam giác phẳng chính là phát hiện, khai thác, sử lý các thông tin về mối quan hệ trên và tìm ra các yếu tố cơ bản của tam giác thỏa mãn yêu cầu, nhiệm vụ của đề ra.

II. Chuẩn bị các kiến thức, kỹ năng cho học sinh để giải bài toán với chủ đề ” Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải các bài toán về tam giác”.

I. Các đối tượng trong tam giác và các quan hệ giữa chúng.

– Đỉnh và tọa độ đỉnh

– Cạnh, độ dài cạnh và phương trình cạnh

– Trọng tâm và tọa độ trọng tâm

– Trực tâm và tọa độ trực tâm, đường cao

– Tâm đường tròn nội ngoại tiếp và tọa độ của chúng với bán kính.

– Trung điểm, đường trung bình, tọa độ và phương trình của chúng

– Các điểm và và các đường đặc biệt khác như: hàng điểm điều hòa, đường tròn Ơle, Đường thẳng Ơle, …

– Góc giữa hai đường thẳng, góc trong tam giác và khoảng cách giữa một điểm và đường thẳng, đường cao, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song,…

Có rất nhiều các yếu tố trong tam giác nhưng các yếu tố sau:  3 cạnh, 3 góc là 6 yếu tố cơ bản trong giác.

II. Một số kiến thức cơ bản cần nắm vững

1. Các dạng phương trình đường thẳng

* Phương trình tổng quát (d): ax + by + c = 0.

=> Hệ quả:Nếu M thuộc d thì M có toạ độ là M(${{x}_{0}};\frac{-c-a{{x}_{0}}}{b}$).

* Phương trình tổng quát: Ax + By + C = 0   với A2 + B2 = 0

      – Vectơ pháp tuyến   $\overrightarrow{n}\,=(A,B)$

      – Vectơ chỉ phương  $\overrightarrow{v}\,\,=\,(-B;A)$

  * Phương pháp: Xác định điểm I(x0; y0) và vectơ pháp tuyến   $\overrightarrow{n}\,=(A,B)$; phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: 

A(x – x0) + B(y – y0) = 0

* Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{v}$=(a; b) và đi qua điểm M (x0; y0)  có:

 * Phương trình tham số:

$\vartriangle :\left\{ \begin{align}
& x\,={{x}_{0}}\,+\,at \\
& x\,={{x}_{0}}\,+\,at \\
& y\,=\,{{y}_{0}}\,+bt \\
\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\,t\in \mathbb{R};\,\,a\ne 0,\,b\ne 0)$

 * Phương trình chính tắc:  $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}$

* Hệ quả: Điểm A thuộc (d) thì A(x0+at; y0+bt).

* Đường thẳng d đi qua hai điểm A (a; 0) và B(0; b) có

phương trình đoạn chắn là:   

$\,\,\,\,\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\,=\,1$ $(a\ne 0,\,b\ne 0)$

2. Mối liên hệ giữa các yếu tố của đường thẳng

– Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì sẽ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-b;a)$ hoặc $\overrightarrow{u}=(b;-a)$và ngược lại.

– Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.

=>Hệ quả: d’ // d: ax+by+c=0 thì d’ có dạng: ax+by+c’=0 với c≠c’.

– Nếu D vuông góc với d thì D nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến và ngược lại.

=>Hệ quả: d’ vuông góc d: ax+by+c=0 thì d’ có dạng: bx-ay+c’=0.

– Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=({{u}_{1}};{{u}_{2}})$ thì sẽ có hệ số góc $k=\frac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}$.

– Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;k)$.

3. Công thức thường sử dụng trong giải toán.

a)Công thức khoảng cách giữa 2 điểm A(xA;yA); B(xB;yB):

$AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$

b)Công thức khoảng cách từ một điểm M(x0;y0) đến đt d: Ax+By+C=0:

$d\left( M,d \right)=\frac{\left| \text{A}{{\text{x}}_{0}}+B{{y}_{0}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}$

c) Tính chất trung điểm I của AB :

$\overrightarrow {IA} = – \overrightarrow {IB} < = > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}}\\
{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}
\end{array}} \right.$

d) Tính chất điểm chia:

$\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_M} = \frac{{{x_A} – k{x_B}}}{{1 – k}}}\\
{{y_M} = \frac{{{y_A} – k{y_B}}}{{1 – k}}}
\end{array}} \right.$

e). Tính chất trọng tâm G của D ABC

${{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};{{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}$

g). Tính chất phân giác góc A. D là chân phân giác

$\overrightarrow{DB}=-\frac{AB}{AC}\overrightarrow{DC} $

hoặc $ \overrightarrow{DB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\overrightarrow{DC}$

h) Tich vô hướng:

$\vec{a}.\vec{b}={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{y}_{1}}.{{y}_{2}}$=$\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\cos (\vec{a},\vec{b})$

$\vec{a}\bot \vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{b}=0$

i).  Định lý cosin $\forall \Delta $ ABC  ta có :

$\begin{align}
& {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A \\
& {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B \\
& {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos C \\
\end{align}$

j) Định lý sin: Trong $\Delta $ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

k). Công thức về diện tích

S=$\frac{1}{2}a.{{h}_{a}}=\frac{1}{2}cb.\sin C=\frac{abc}{4R}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$

m). Công thức độ dài trung tuyến

Đlý: $\forall $ $\Delta $ABC: ${{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{m}_{a}}^{2}+\frac{{{a}^{2}}}{2}$ Hay ${{m}_{a}}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}+\frac{{{a}^{2}}}{4}$

III. Phân loại các bài tập với chủ đề ” Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải các bài toán về tam giác”.

1. Mục đích phân loại

                Giúp học sinh và giáo viên có cách nhìn tổng quát về các dạng bài tập trong chủ đề, định hướng được các phương pháp giải thường gặp từ đó chuẩn hóa và chính xác hóa các kiến thức và kỹ năng thực hiện.

2. Mục tiêu phân loại

                   Để đạt được mục đích dạy học cần xác định cụ thể các mục tiêu cơ bản cấn thực hiện, đó là các mục tiêu cơ bản như: xác định tọa độ điểm, viết được phương trình các cạnh của tam giác, khai thác được yếu tố của đề bài để thực hiện các nhiệm vụ đề ra,…

3. Phương pháp phân loại

        Có nhiều phương pháp phân loại, cụ thể:

3.1. Phân loại theo mục tiêu

3.2. Phân loại theo chuẩn kiến thức kỹ năng

3.3. Phân loại theo đối tượng học sinh

3.4. Phân loại theo quy tắc phát triển theo chiều dọc(bổ dọc)

3.5. Phân loại theo quy tắc phát triển theo chiều ngang (bổ ngang)

3.6. Phân loại theo phương pháp giải

3.6.1. Áp dụng các tính chất hình học

3.6.2. Tham số hóa tọa độ các điểm, đường thẳng.

          Tuy nhiên, trong bài viết này, tác giả lựa chọn phân loại theo mục tiêu kết hợp với phương pháp giải để nội dung được tường minh nhất.

4. Phân loại.

4.1. Một số dạng bài tập có phương pháp giải tổng quát

Dạng 1: Biết một đỉnh và 2 đường cao tìm các yếu tố còn lại

Dạng 2: Biết một đỉnh và 2 trung tuyến

Dạng 3: Biết một đỉnh và 2 phân giác

Dạng 4: Biết một đỉnh và 1 đường cao và 1 trung tuyến

Dạng 5: Biết một đỉnh và một trung tuyến và một phân giác

Dạng 6: Biết một đỉnh và 1 đường cao và một phân giác

4.2. Các dạng bài tập tổng hợp

Dạng 7: Các yếu tố khác như diện tích, khoảng cách,…

IV. Dạy học giải bài tập với chủ đề ” Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải các bài toán về tam giác”.

1. Giới thiệu một số bài toán tam giác phẳng trong các đề thi CĐ&ĐH tứ 2002 đến nay

Đề A 2002

    Trong mp (0xy), cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

Đề A 2004

       Trong mp (0xy), cho điểm A(0;2) và B$\left( -\sqrt{3};-1 \right)$. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đề A 2007

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N.

Đề A 2010

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x+y-4=0. tìm tọa độ các đỉnh B, C, biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đii qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Đề B 2003:

      Trong mp (0xy) cho tam giác ABC có AB=AC, $\widehat{BAC}={{90}^{0}}$. Biết M(1;-1) là trung điểm cạnh BC và G$\left( \frac{2}{3};0 \right)$ là trọng tâm tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.

Đề B 2007  

      Trong mp (0xy), Cho A(2;2) và các đường thẳng d1: x+y-2=0; d2: x+y-8=0. Tìm tọa độ B,C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Đề B 2008  

      Trong mp (0xy), Hãy xác định tọa độ điểm C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong góc A có phương trình x-y+2=0 và đường cao kẻ tứ B có phương trình 4x+3y-1=0.

Đề B 2009  

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng d: x-y-4=0. Xác định tọa độ các điểm B,C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

Đề B 2010  

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình x+y-5=0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.

Đề B 2011

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC có đỉnh B($\frac{1}{2}$;1). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D,E,F. Cho D(3;1) và đường EF có phương trình y-3=0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.

Đề B 2013

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là H$\left( \frac{17}{5};-\frac{1}{5} \right)$, chân đường phân giác trong của góc A là D(5;3) và trung điểm của cạnh AB là M(0;1). Tìm tọa độ điểm C.

Đề D 2004 

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC có các đỉnh A(1;0); B(4;0); C(0;m) với m≠0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.

Đề D 2009

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC có điểm M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0. Viết phương trình đường thẳng AC.

Đề D 2010  

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

Đề D 2011

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1), trọng tâm G(1;1)  và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x-y-1=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,C.

Đề D 2013

      Trong mp (0xy), cho tam giác ABC có đểm M $\left( -\frac{9}{2};\frac{3}{2} \right)$ là trung điểm của cạnh AB, Điểm H(-2;4) và điểm I(-1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ C.

2. Dạy học giải bài tập với chủ đề ” Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải các bài toán về tam giác”.

2.1. Dạng 1: Biết một đỉnh và 2 đường cao tìm các yếu tố còn lại

a) Ví dụ minh họa

          Trong mp(0xy), Cho tam giác ABC có B(-4; -3), hai đường cao có phương trình là d: 5x+3y-10 = 0 và d’: 3x + 8y -3 = 0.  Lập phương trình các cạnh của tam giác.

Nhận xét:

Dễ thấy B không thuộc hai đường cao, do vậy 2 đường cao xuất phát từ đỉnh A và C. Gọi H là trực tâm thì H=dd’, từ đó AB qua B và vuông góc với d, BC qua B và vuông góc với d’, A=ABd’, C=BCd vậy phương trình BC tìm được.

Giải

Dễ thấy B không thuộc d,d’, do vậy 2 đường cao xuất phát từ đỉnh A và C giả sử d qua C và d’ qua A.

*  AB vuông góc d nên pt AB có dạng: 3x-5y+m=0.

vì B thuộc AB nên: 3.(-4)-5(-3)+m=0=>m=-3.

 vậy: AB: 3x-5y-3=0.

* BC vuông góc với d’ nên pt BC có dạng 8x-3y+c=0,

do B thuộc BC nên: 8.(-4)-3.(-3)+c=0=>c=23. vậy pt BC: 8x-3y+23=0.

*AB tọa độ của A là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{matrix}
3\text{x}-5y-3=0 \\
3\text{x}+8y-3=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=1 \\
y=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow A(1;0)$

Tọa độ của C là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{matrix}
\text{8x}-3y+23=0 \\
\text{5x}+3y-10=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=-1 \\
y=5 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow C(-1;5)$

=> $\overrightarrow{AC}=(-2;5)$ Vậy pt BC là:

$\frac{x-1}{-2}=\frac{y}{5}\Leftrightarrow 5\text{x}+2y-5=0$

Cách 2: ta có thể tham số hóa điểm A,C theo d,d’, sau đó sử dụng tích vô hướng để tìm A,B sau đó viết phương trình các cạnh.

d:$\left\{ \begin{matrix}
x=2+3t \\
y=-5t \\
\end{matrix} \right.=>C(2+3t;-5t)$

d’:$\left\{ \begin{matrix}
x=8t’ \\
y=1-3t’ \\
\end{matrix} \right.=>A(8t’;1-3t’)$

Có $\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{{{u}_{d’}}}=0 \\
\end{matrix} \right.$

suy ra: A(1;0) và C(-1;-5)

b) Những sai lầm thường gặp

          +Trong cách giải 2 thì học sinh hay nhầm chỉ có một tham số t, chính xác phải là t và t’.

+ Nếu ta đi theo hướng tính toán tọa độ H thì quá trình tính sẽ khá lẻ vì tọa độ H là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{matrix}
\text{5x}+\text{3y}-\text{1}0\text{ }=\text{ }0\text{ } \\
\text{3x }+\text{ 8y }-\text{3 }=\text{ }0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=\frac{53}{31} \\
y=\frac{15}{31} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow H(\frac{53}{31};\frac{15}{31})$

2.2. Dạng 2: Biết một đỉnh và 2 trung tuyến

a) Ví dụ minh họa

                   Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1; 3) và hai đường trung tuyến có phương trình d: x – 2y + 1= 0 và d’: y – 1= 0.

Nhận xét: A không thuộc 2 đường trung tuyến đã cho, gọi d qua C và d’ qua B, khi đó giao của d và d’ là trọng tâm của tam giác, tham số hóa điểm B, C ta được hệ theo t, t’ => pt Các cạnh.

Giải

d: $\left\{ \begin{matrix}
x=-1+2t \\
y=t \\
\end{matrix} \right.$

d’: $\left\{ \begin{matrix}
x=t’ \\
y=1 \\
\end{matrix} \right.$

=> B(t’;1) và C(-1+2t;t)

Tọa độ G là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{matrix}
x-2y+1=0 \\
y-1=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=1 \\
y=1 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow G(1;1)$

Theo tính chất trọng tâm ta có:

$\begin{align}
& \left\{ \begin{matrix}
\frac{1+(-1+2t)+t’}{3}=1 \\
\frac{3+1+t}{3}=1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
t’=5 \\
t=-1 \\
\end{matrix} \right. \right. \\
& \\
\end{align}$

Suy ra: B(9;5); C(-1;1)=> pt  các cạnh

Cách 2: Nếu ta gọi F là trung điểm BC, M là điểm đối xứng với G qua F=> BGCF là hình bình hành, vậy B là giao của đt qua M song song với d và d’, C là giao của đt qua M //d’ và d, từ đó viết pt BC.

Cách 3: Gọi B(xB;yB); C(xC;yC). áp dụng tính chất trọng tâm và B thuộc d’;C thuộc d, từ đó ta có 4 pt bậc nhất 4 ẩn, giải ra ta được tọa độ B, C=> pt BC.

b) Những sai lầm thường gặp

Học sinh thường quên tính chất điểm B, C thuộc d’, d thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình đường thẳng, do đó không giải quyết được bài toán.

c) Lưu ý

Cách giải 2 thường khó phát hiện đối với học sinh và lời giải thường khá dài.

V. Thực hành giải các bài tập với chủ đề ” Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải các bài toán về tam giác”.

Bài 1. Cho tam giác ABC có B(-4; -3), hai đường cao có phương trình là 5x + 3y + 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết A(1;2); B(-4;-1), trực tâm H (3;0). Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 3. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng toạ độ là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ.

Bài 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 1) và các đường cao có phương trình 2x – y + 1 = 0; 3x + y + 2= 0. Viết phương trình đường trung tuyến qua đỉnh A của tam giác.(Báo THTT – 10 -07)

Bài 5. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng toạ độ là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ.

Bài 6. Cho tam giác ABC có B(2; -7), phương trình đường cao qua A là 3x+y+11=0, phương trình trung tuyến vẽ từ C là: x+2y+7= 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy chho tam giác ABC với M(-2; 2) là trung điểm của BC, cạnh AB có phương trình: x-2y-2 = 0, cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; -1) và các cạnh AB: 4x + y + 15 = 0 và AC: 2x + 5y + 3 = 0.

a) Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của BC.

b) Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC.

Bài 9. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1; 3) và hai đường trung tuyến có phương trình x – 2y + 1= 0 và y – 1= 0.

Bài 10. Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2) và hai đường cao lần lượt có phương trình 9x – 3y – 4 = 0; x + y – 2 = 0. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. (Báo THTT – 10-2007).

Bài 11. Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các đường phân  giác trong góc B và C lần lượt có phương trình: x – 2y + 1= 0 ;  x + y + 3 = 0.

Lập phương trình đường thẳng BC. (Báo THTT – 10 -07)

Bài 12. Xác định toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết C(4; 3) và đường phân giác trong, trung tuyến kẻ từ A lần lượt có phương trình x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0.(Báo THTT – 10 -07)

Bài 13. Xác định toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết A(4; 3) và đường phân giác trong BE, trung tuyến CM lần lượt có phương trình x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0.

Bài 14. Cho tam giác ABC có A(-1; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.(Báo THTT – 10 -07)

Bài 12: Cho tam giác ABC cú diện tích S = 3/2, hai đỉnh là A(2;– 3),B(3;– 2)và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0.Tìm toạ độ đỉnh C.

Bài 15:    Cho tam giác ABC có đường phân giác của góc A là (d): x + y + 2 = 0. đỉnh B(1; 3), đỉnh C(2; 0). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 16: Một tam giác có trung điểm 1 cạnh là M(– 1;1) và 2 cạnh có phương trình x + y –2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0

Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác.

Bài 17. Cho điểm P(3;0) và 2 đường thẳng (d1):2x – y – 2 = 0; (d2):x + y + 3 = 0.Gọi d là đường thẳng qua P, cắt d1,d2 lầnlượt tại A,B.  Viết phương trình của (d) biết rằng PA = PB.

Bài 28: Lập phương trình các cạnh của ABC đỉnh C(4; -1), đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là: 

2x – 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0  

——————

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

Xem thêm:

———————–




0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder