Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai- Kỹ thuật đổi biến hoàn toàn
Dạng 1:$F\left( {\sqrt[n]{{f\left( x \right)}}} \right) = 0$
Phương pháp
Đặt: $t = \sqrt[n]{{f\left( x \right)}}$. (Nếu n=2k, k=1;2;… thì thêm điều kiện $t \ge {\mkern 1mu} 0$).
Ví dụ 1
Giải phương trình: ${x^2} + \sqrt {{x^2} + 11} = 31$
Giải
Đặt: $\begin{array}{l}
t = \sqrt {{x^2} + 11} ,\,\,t \ge 0\
\Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 11
\end{array}$
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow {t^2} – 11 + t = 31\\
\Leftrightarrow {t^2} + t – 42 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 6}\\
{t = – 7(l)}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow t = 6\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 11} = 6\\
\Leftrightarrow {x^2} = 25\\
\Leftrightarrow x = \pm 5
\end{array}$
Ví dụ 2
Giải phương trình: $\left( {x + 5} \right)\left( {2 – x} \right) = 3\sqrt {{x^2} + 3x} $
Giải
Đặt: $t = \sqrt {{x^2} + 3x} ,\,\,t \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 3x$
$\begin{array}{l}
(2) \Leftrightarrow {t^2} + 3t – 10 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 4}\\
{t = – 7}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow t = 4\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x} = 4\\
\Leftrightarrow {x^2} + 3x – 16 = 0\\
\Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {109} }}{2}
\end{array}$
Dạng 2:
$m\left( {\sqrt {f\left( x \right)} \pm \sqrt {g\left( x \right)} } \right) \pm 2n\sqrt {f\left( x \right)g\left( x \right)} + n\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) + p = 0$
Phương pháp:
Đặt: $t = \sqrt {f\left( x \right)} \pm \sqrt {g\left( x \right)} $, bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t.
Ví dụ
Giải phương trình:$\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 – x} = 3 + \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 – x} \right)} $
Giải
Đặt: $t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 – x} \Rightarrow {t^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 – x} \right)} \,\,\,\left( * \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 – x} \right)} \le 9$ $ \Leftrightarrow 3 \le t \le 3\sqrt 2 $
Phương trình đã cho trở thành :
$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow {t^2} – 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1(l)}\
{t = 3}
\end{array}} \right.\
\Leftrightarrow t = 3
\end{array}$
Thay vào (*) ta được x=-3, x=6.
Dạng 4. $F\left( {\sqrt[n]{{f\left( x \right)}},\sqrt[n]{{g\left( x \right)}}} \right) = 0$
trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k.
Phương pháp
- TH1: Kiểm tra nghiệm với $g\left( x \right) = 0$.
- TH2: Giả sử $g\left( x \right) \ne 0$ chia hai vế phương trình cho ${g^k}\left( x \right) \ne 0$ và đặt: $t = \sqrt[n]{{\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}}}$ quy phương trình bậc hai đối với ẩn t.
Ví dụ 1.
Giải phương trình: $5\sqrt {{x^3} + 1} = 2\left( {{x^2} + 2} \right)$
Giải
Điều kiện: $x \ge – 1$
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow 5\sqrt {{x^3} + 1} = 2\left( {{x^2} + 2} \right)\\
\Leftrightarrow 5\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)} = 2\left( {{x^2} – x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)
\end{array}$
$ \Leftrightarrow 2\frac{{x + 1}}{{{x^2} – x + 1}} – 5\sqrt {\frac{{x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}} + 2 = 0$
Đặt: $t = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}} ,\,\,t \ge 0$. Phương trình trở thành:
$2{t^2} – 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
- Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm.
Với $t = \frac{1}{2}$ : Phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$.
Ví dụ 2.
Giải phương trình: $2\left( {{x^2} – 4x – 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {\left( {{x^2} – 4x – 5} \right)\left( {x + 4} \right)} $
Giải
Điều kiện: $x \ge 5$, Đặt: $t = \sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} ,\,\,t \ge 0.$
Phương trình trở thành: $2{t^2} – 5t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1,\,\,t = \frac{3}{2}$
- Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm : $x = \frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}$
- Với $t = \frac{3}{2}$: Phương trình đã cho có nghiệm $x = 8$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = \frac{{5 + \sqrt {61} }}{2},\,\,x = 8$
Dạng 5: Kỹ thuật đổi biến đưa về hàm lượng giác.
Phương pháp: Bằng cách dựa vào những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này.
Lưu ý vài tính chất cơ bản:
* $\left| \sin a \right|\le 1,\,\,\left| \cos a \right|\le 1$.
* ${{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1$.
* $1+{{\tan }^{2}}a=\frac{1}{{{\cos }^{2}}a}$
* $1+{{\cot }^{2}}a=\frac{1}{{{\sin }^{2}}a}$.
* Nếu bài toán có tập xác định $\left| u\left( x \right) \right|\le a$. Ta có thể đặt $u\left( x \right)=a\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]$ hoặc đặt $u\left( x \right)=a\cos t,\,\,t\in \left[ 0;\pi \right]$.
* Nếu $u\left( x \right)\in \left[ 0;a \right]$ ta có thể đặt $u\left( x \right)=a{{\sin }^{2}}t,\,\,t\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]$.
Ví dụ 1:
Giải phương trình $1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}=2{{x}^{2}}$.(1)
Giải
Điều Kiện: $\left| x \right|\le 1$.
Đặt $x=\cos t,\,\,t\in \left[ 0;\pi \right]$.
Khi đó:
$\begin{align}
& (1)\Leftrightarrow 1+\sqrt{1-{{\cos }^{2}}t}=2{{\cos }^{2}}t \\
& \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}t+\left| \sin t \right|-1=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left| \sin t \right|=-1(loai) \\
\left| \sin t \right|=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right. \\
& \Leftrightarrow \left| \sin t \right|=\frac{1}{2} \\
\end{align}$
Khi đó $x=\cos t=\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ví dụ 2:
Giải phương trình ${{x}^{3}}+\sqrt{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}=x\sqrt{2\left( 1-{{x}^{2}} \right)}$. (2)
Giải
Điều kiện: $\left| x \right|\le 1$
Đặt $x=\cos t,\,\,t\in \left[ 0;\pi \right]$
Khi đó:$(2)\Leftrightarrow \left( \sin t+\cos t \right)\left( 1-\sin t\cos t \right)=\sqrt{2}\sin t\cos t$.
Để gải phương trình này ta lại đặt $u=\sin t+\cos t,\,\,\left| u \right|\le \sqrt{2}$.
ĐS: $x=\frac{\sqrt{2}}{2},\,\,x=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.
————————-
Download tài liệu:
PDF: tại đây.
Word: Tại đây.
————————–
Xem thêm:
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật sử dụng đạo hàm
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật nhân liên hợp
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đổi biến đưa về hệ đối xứng loại 1
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đổi biến đưa về hệ đối xứng loại 2
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đưa về tích, nhóm nhâ tử chung
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đổi biến đưa về phương trình thuần nhất bậc hai hai biến
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật sử dụng Hằng số biến thiên
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Kỹ thuật đổi biến đưa về hệ
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-kỹ thuật đổi biến không hoàn toàn
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Tổng hợp một số kỹ thuật thường gặp
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai- Dạng cơ bản
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Dạng $\sqrt A = B$
———————-
0 Bình luận