Phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai- Tổng hợp một số kỹ thuật giải phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ

A/. Các dạng phương trình vô tỷ cơ bản

Dạng 1: (Cơ bản)

@ Lý thuyết: +) $\sqrt[{2n}]{{f(x)}} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {g(x) \ge 0}\\ {f(x) = {g^{2n}}(x)} \end{array};\forall n \in N} \right.$

+) $\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} = \sqrt[{2n + 1}]{{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) = g(x);\forall n \in N$ .

+) $\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} = \sqrt[{2n + 1}]{{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) = g(x) \ge 0;\forall n \in N$

+) $\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} = g(x) \Leftrightarrow f(x) = {g^{2n + 1}}(x);\forall n \in N$ .

B/. Phân loại và phương pháp giải phương trình vô tỷ

1)Phương pháp biến đổi tương đương:(sử dụng biến đổi cơ bản).

Ví dụ: Giải pt sau:

a. $\sqrt {x - 3} = 3x - 11$

Giải: Phương trình<=> $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {3x - 11 \ge 0}\\ {x - 3 = {{\left( {3x - 11} \right)}^2}} \end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge \frac{{11}}{3}}\\ {9{x^2} - 67x + 124 = 0} \end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge \frac{{11}}{3}}\\ {\left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x = 4}\\ {x = \frac{{31}}{9}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ <=> .

b. $\sqrt {2x - 1} = \sqrt {{x^2} - 3x - 1}$

Giải: pt<=> $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {2x - 1 \ge 0}\\ {}\\ {2x - 1 = {x^2} - 3x - 1} \end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge \frac{1}{2}}\\ {{x^2} - 5x = 0} \end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge \frac{1}{2}}\\ {\left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x = 0}\\ {x = 5} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 5$

Bài tập: Giải pt sau bằng các phép biến đổi tương đương.

a) đs:x=0

b) đs:x=0

c) đs:

d) đs:

e) đs:x=

f) đs:x=1.

g) đs:x=13;x=-15.

h) đs:x=9.

i) đs:x=2

2)Phương pháp nhóm nhân tử chung

Chú ý: +)

Ví dụ: gpt

Giải: đk: $\left\{ \begin{array}{l} {{\rm{x}}^2} - 3x + 2 \ge 0\\ {{\rm{x}}^2} - 4x + 3 \ge 0\\ {{\rm{x}}^2} - 5x + 4 \ge 0 \end{array} \right.$ <=> $\left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \le 1}\\ {x \ge 4} \end{array}} \right.$

* Với x=1 thỏa mãn.

* Với $x \ge 4$ . Pt <=> $\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} + \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} = 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}$

<=> $\sqrt {x - 1} \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 1} \sqrt {x - 3} = 2\sqrt {x - 1} \sqrt {x - 4}$ (do $\sqrt {x - 1} > 0″ eeimg=”1″ src=”http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1×0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Csqrt%20%7Bx%20-%201%7D%20%20%3E%200″ style=”font-size: 10pt; line-height: normal; vertical-align: middle; background-color: transparent;”>)</p> <p style=$ <=> $\sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 3} = 2\sqrt {x - 4}$

Giải tiếp pt bằng biến đổi tương đương ta được nghiệm x=4.

* Với x<1. Pt <=> $\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} + \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} = 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}$

<=> $\sqrt {1 - x} \sqrt {2 - x} + \sqrt {1 - x} \sqrt {3 - x} = 2\sqrt {1 - x} \sqrt {4 - x}$ (lưu ý đây là biến đổi quan trọng nhất!!!)

<=> $\sqrt {2 - x} + \sqrt {3 - x} = 2\sqrt {4 - x}$

Giải tiếp pt bằng biến đổi tương đương ta được pt vô nghiệm.

Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm: x=1;x=4.

Bài tập luyện tập

1) đs:x=1.

3)(đhbk 01)

4) đs:x=1;x=-1.

5) đs:x=-2;x=0

3)Phương pháp Đặt ẩn phụ

a)Đặt ẩn phụ đưa về pt bậc hai, bậc ba

ví dụ: Gpt

Giải: Đặt $t = \sqrt {5{x^2} + 10x + 1} ;t \ge 0$ suy ra: ${x^2} + 2x = \frac{{{t^2} - 1}}{5}$

Pt <=> $t = 7 - \frac{{{t^2} - 1}}{5}$ <=> ${t^2} + 5t - 36 = 0$ <=> $\left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {t = 4}\\ {t = - 9(l)} \end{array}} \right.$ <=>t=4. giải pt bậc 2 đối với x được x=-3;x=1

Đáp số:x=-3;x=1.

Bài tập luyện tập

1). đs:

2).(đhktqd.98) đs:x=6;x=-3

3). đs:

4). Hd: đặt =>đs:

5). đặt t==>pt bậc 4, nhẩm nghiệm hạ bậc =>đs:x=3

6). đặt t= đs:x=4/3.

7).

Hd: Do =1=>Đặt t=

đs: x=1;x=

8).

HD: C1) Pt:

=>=> giải tiếp có kq đs:

C2) đặt căn=t=>=> giải tiếp suy ra kq.

b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ pt

Dạng 1:Đưa về hệ đối xứng loại I

=>đặt:

Ví dụ: Gpt

Giải: Đặt $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {u = \sqrt[3]{{x - 1}}}\\ {v = \sqrt[3]{{x - 3}}} \end{array}} \right.$ => $\left\{ \begin{array}{l} u + v = \sqrt[3]{2}\\ {u^3} + {v^3} = 2x - 4 \end{array} \right.$ . Đây là hệ phương trình đối xứng loại I. Giải hệ ta được x=1;x=3.

Đáp số:x=1;x=3.

Bài tập luyện tập

1)đs:

2) đs:x=5;x=2/7

3) đs:x=5

Dạng 2: Đưa về hệ đối xứng loại II

Ví dụ:Ví dụ:

Giải: đặt Pt <=> $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{x^2} + t = 2}\\ {{t^2} + x = 2} \end{array}} \right.$ . Đây là hệ đối xứng dạng II. (Tham khảo Hệ đối xứng loại II)

Giải hệ ta được:

Bài tập luyện tập

Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đốí xứng I, II.

1) đặt đs:

2)(8x3+1)3=32x- 8. đặt đs:x={}

3) đặt đs:x={}

4) đs:x={1;2;10}

5) đs:x=0

6) đs:x=-3;x=4

7) đs:x=0
8)
9)
10) đs:x=2;x=1+
11) đs:x=-17;x=23
12) (hvktqs 01) Hd: đặt .

c) Đặt một phần biến cũ bằng biến mới

Ví dụ: Gpt

HD: Lưu ý: pt theo a có

pt: theo a có

Giải:

a) đặt =>

b) đặt

(Phần còn lại dành cho các bạn!!!)

4. Phương pháp hằng số biến thiên

Ví dụ: Giải pt

Giải: a) đặt t=4, pt <=> t2-2tx-x4-2x3=0 => ∆t=[x(x+1)]2=>t=4=x2+2x => $x = - 1 \pm \sqrt 5$

b) * Cách 1: đặt u= pt <=>

* Cách 2: bình phương 2 vế, pt <=>

Đặt u=5, pt<=>

Bài tập luyện tập

1. Gpt:

2. GPT: ${x^4} + \sqrt {{x^2} + 5} = 5$

5) Phương pháp khử căn bằng trị tuyệt đối

Lưu ý. Đưa các biểu thức sau về hằng đẳng thức.

a) A= b) B= c) C=

Ví dụ: Gpt

Giải: pt <=> $\sqrt {{{\left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right|}^2}} + \sqrt {{{\left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|}^2}} = \frac{{x + 3}}{2}$

<=> $\sqrt {x - 1} + 1 + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = \frac{{x + 3}}{2}$

* Với $\sqrt {x - 1} - 1 \ge 0$ <=> $x \ge 2$ .

Pt <=> $4\sqrt {x - 1} = x + 3$ Giải phương trình này được: $x = 5 \pm 4\sqrt 2$

* Với $\sqrt {x - 1} - 1 < 0$ <=> $1 \le x < 2$

Pt <=> x=5

Vậy phương trình có nghiệm: x=5 ; $x = 5 \pm 4\sqrt 2$

Bài tập luyện tập

1)
2)
3) đs:x=15
4) đs:x=19
5) đs:

6)Phương pháp đánh giá hai vế

Chú ý:

1). A2+α ≥ α; với mọi α

2) α – A2 ≤ α; với mọi α
3) A2≥0; với mọi A.
4)
5)
6)

Ví dụ: Gpt:

Giải: ta có ĐS:x=1.

Cách 2: đặt t=giải tiếp ra kết quả x=1.

Bài tập luyện tập

1. hd:vp>=0;vp<=0 .đs:x=
2. hd:bunhia hai vế. đs:x=3
3. hd:Bunhia vế trái. đs:x=5.
4. (Đhcsnd 01)`
Hd:pt<=> đs:.
7) Phương pháp hàm số

Vi dụ 1: Giải các phương trình sau:

1) 2).

3) . 4).

Giải:

1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến v là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.

ĐK:

Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và . nên hàm số f(x) luôn đồng biến.

Mặt khác, ta thấy f(1)=4

*Nếu x >1 suy ra f(x)>f(1) nên pt vô nghiệm.

*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1) nên pt vô nghiệm.

Vậy x=1 l nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Chú ý:

* với các hàm số: y=ax+b với a>0 l một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm: f(x)= ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dễ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.

* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.

2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phương biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm x=1. Do đó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Cách giải tương tự như bài 1)

3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và , do vậy nếu đặt: thì phương trình đã cho trở thành:

, trong đó là một hàm liên tục và có :

nên f(t) luôn đồng biến.

Do đó:

Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.

4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy: , do vậy nếu đặt =>, khi đó phương trình trở thành:

, trong đó với t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

1).

2).

Giải:

1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0;x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số g(x)=2003x+2005x-4006x-2 có g”(x)>0 (và khi đó theo đ/l 3 suy ra g'(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng với g”(x)=2003xln22003+2005xln2005>0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0;x=1.

2) Đk: x>-1/2.

pt<=> 3x+x=(1+2x)+log3(1+2x)

, trong đó f(t)=t+log3t là hàm liên tục và đồng biến.

Do đó: 3x=2x+1

Xét hàm số: , ta có:g'(x)=3xln3 =>g”(x)=3x.ln23>0, suy ra pt g'(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 v x=1 là hai nghiệm của pt: g(x)=0

nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0;x=1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất: x5-x2-2x-1=0

Giải:

Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau

* Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm:

+ f(x) liên tục trên D.

+ Tồn tại hai số a,b sao cho (f(a).f(b)<0.

* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.

Trở lại bài toán:

Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0 , dẫn đến pt: f(x)=0 luôn có nghiệm Giả sử x0 là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó .

Xét trên miền x≥1 có

nên f(x) là hàm đồng biến. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.

Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.

*Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta cũng có cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.

8)Phương pháp liên hợp

Ví dụ: gpt

Giải: Nhân hai vế của pt với biểu thức liên hợp của vế trái, được: $\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} - \sqrt {2{x^2} + 5x - 7} = 2$

Khi đó ta có hệ: $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} - \sqrt {2{x^2} + 5x - 7} = 2}\\ {\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} + \sqrt {2{x^2} + 5x - 7} = 2} \end{array}} \right.$