Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán nâng cao
Dạng 1. Biết một điểm và hai đường cao. Lập phương trình các cạnh của tam giác
Ví dụ
Cho $\Delta ABC$ có $A\left( 4;-2 \right)$. Đường cao $BH:2x+y-4=0$ và đường cao $CK:x-y-3=0$. Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A.
A. $4x+5y-6=0$
B. $4x-5y-26=0$
C. $4x+3y-10=0$
D. $4x-3y-22=0$
Giải
Gọi $AI$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$. Gọi ${{H}_{1}}$ là trực tâm của $\Delta ABC$, khi đó tọa độ điểm $H$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
2x + y – 4 = 0\\
x – y – 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{7}{3}\\
y = – \frac{2}{3}
\end{array} \right..$
$\overrightarrow{A{{H}_{1}}}=\left( -\frac{5}{3};\frac{4}{3} \right)$
$AI$ qua ${{H}_{1}}\left( \frac{7}{3};-\frac{2}{3} \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 4;5 \right)$ làm VTPT
$\Rightarrow AI:4\left( x-\frac{7}{3} \right)+5\left( y+\frac{2}{3} \right)=0\Leftrightarrow 4x+5y-6=0$
Vậy: Chọn A
Dạng 2. Biết tọa độ trực tâm và hai cạnh. Lập phương trình cạnh còn lại.
Ví dụ
Cho tam giác $ABC$ biết trực tâm $H(1;1)$ và phương trình cạnh $AB:5x-2y+6=0$, phương trình cạnh $AC:4x+7y-21=0$. Phương trình cạnh $BC$ là
A. $4x-2y+1=0$ B. $x-2y+14=0$ C. $x+2y-14=0$ D. $x-2y-14=0$
Giải
Ta có $A=AB\cap AC\Rightarrow A\left( 0;3 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 1;-2 \right)$
Ta có $BH\bot AC\Rightarrow \left( BH \right):7x-4y+d=0$
Mà $H\left( 1;1 \right)\in \left( BH \right)\Rightarrow d=-3$ suy ra $\left( BH \right):7x-4y-3=0$
Có $B=AB\cap BH\Rightarrow B\left( -5;-\frac{19}{2} \right)$
Phương trình $\left( BC \right)$ nhận $\overrightarrow{AH}=\left( 1;-2 \right)$ là VTPT và qua $B\left( -5;-\frac{19}{2} \right)$.
Suy ra $\left( BC \right):\left( x+5 \right)-2\left( y+\frac{19}{2} \right)=0\Leftrightarrow x-2y-14=0$
Vậy: Chọn D.
Dạng 3. Biết một đỉnh, đường cao, đường phân giác. Tìm tọa độ đỉnh và phương trình các cạnh còn lại của tam giác
Ví dụ
Cho tam giác $ABC$ có $A\left( 1;-2 \right)$, đường cao $CH:x-y+1=0$, đường phân giác trong $BN:2x+y+5=0$. Tọa độ điểm $B$ là
A. $\left( 4;3 \right)$ B. $\left( 4;-3 \right)$
C. $\left( -4;3 \right)$ D. $\left( -4;-3 \right)$
Giải
Ta có $AB\bot CH\Rightarrow \left( AB \right):x+y+c=0$
Mà $A\left( 1;-2 \right)\in \left( AB \right)\Rightarrow 1-2+c=0\Rightarrow c=1$
Suy ra $\left( AB \right):x+y+1=0$ Có $B=AB\cap BN$ $\Rightarrow $Toạ độ $B$ là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 1 = 0\\
2x + y + 5 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – 4\\
y = 3
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { – 4;3} \right).$
Vậy: Chọn C.
Dạng 4. Bài toán liên quan tới Max, Min.
Ví dụ
Trong mạt phẳng tọa độ 0xy, cho $M\left( 4;-1 \right)$. Đường thẳng qua $M$ lần lượt cắt hai tia $Ox$, $Oy$ tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất. Phương trình AB là?
A. $x+4y-17=0$ B. $4x-y=0$
C. $2x+y-6=0$ D. $4x+y-8=0$
Giải
Giả sử $A\left( a;0 \right),\,\,B\left( 0;b \right);a>0,b>0$ với $M\left( 4;1 \right)$.
Khi đó đường thẳng đi qua A, B có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.
Do AB đi qua M nên $\frac{4}{\text{a}}+\frac{1}{b}=1$
Mặt khác ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab{{\left( \frac{4}{a}+\frac{1}{b} \right)}^{2}}$.
Áp dụng BĐT Côsi ta có: ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}ab{{\left( \frac{4}{a}+\frac{1}{b} \right)}^{2}}\ge \frac{1}{2}ab{{\left( 2\sqrt{\frac{4}{a}.\frac{1}{b}} \right)}^{2}}=8$ Suy ra
$Min{{S}_{\Delta OAB}}=8\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=1 \\
\frac{4}{a}=\frac{1}{b} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=8 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là $\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=1$ hay $4x+y-8=0$
Vậy: Chọn D.
Dạng 5. Phương trình đường thẳng thỏa mãn các tính chất đặc biệt
Ví dụ
- Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $M\left( 5;-3 \right)\,$và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
A. $3x-5y-30=0.$ B. $3x+5y-30=0.$
C. $5x-3y-34=0.$ D. $5x-3y+34=0$
Giải
Gọi $A\in Ox\Rightarrow A\left( {{x}_{A}};0 \right);B\in Oy\Rightarrow B\left( 0;{{y}_{B}} \right)$ Ta có $M$ là trung điểm $AB$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\
{y_A} + {y_B} = 2{y_M}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = 10\\
{y_B} = – 6
\end{array} \right.$
Suy ra $\left( AB \right):\frac{x}{10}+\frac{y}{-6}=1\Leftrightarrow 3x-5y-30=0$.
Vậy: Chọn A.
———————-
Xem thêm:
Phương trình đường thẳng- Lý thuyết cơ bản
Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán cơ bản-Phần 1
0 Bình luận