Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng- Dạng toán cơ bản (phần 1)

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng- Dạng toán cơ bản (phần 1)

Dạng 1. Xác định vectơ pháp tuyến; vectơ chỉ phương của đường thẳng

1.Phương pháp giải

– Nếu $\overrightarrow{n}$ là VTPT của $\Delta $ thì $k\overrightarrow{n}\left( k\ne 0 \right)$ cũng là VTPT của $\Delta $.

– Nếu $\overrightarrow{u}$ là VTCP của  $\Delta $ thì $k\overrightarrow{u}\left( k\ne 0 \right)$ cũng là VTCP của $\Delta $.

– Hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT của đường này là VTPT của đường kia; VTCP của đường này cũng là VTCP của đường kia.

– Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTPT của đường này là VTCP của đường kia và ngược lại.

– VTPT và VTCP của 1 đường thẳng vuông góc với nhau. Do vậy nếu $\Delta $ có VTCP $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì $\overrightarrow{n}=(-b;a)$ là một VTPT của $\Delta $.

2. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng sau?

\[\left\{ \begin{align}
& x=2+3t \\
& y=-3+t \\
\end{align} \right.\]

A.$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;3\right).$

B.$\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;1 \right).$

C.$\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 3;\text{ }1 \right).$

D. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left( 3;3 \right).$

Giải

Ta có: a=3; b=1.Suy ra véc tơ chỉ phương của đường thẳng là:$\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;1 \right).$

Chọn B.

Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( -3;2 \right)$ và $B\left( 1;4 \right)?$

A.    $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -1;2 \right).$                                        

B. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 2;1 \right).$           

C. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( -2;6 \right).$         

D. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left( 1;1 \right).$

Giải

Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng là:$\overrightarrow{AB}=\left( 2;1 \right).$

Chọn B.

Ví dụ 3: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $2x-3y+6=0$ là : 

A. $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left( 2;\,-3 \right)$

B.$\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 2;\,3 \right)$                          

C. $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 3;\,2 \right)$                        

D. $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( -3;\,2 \right)$

Giải

Ta có A=2; B=-3. Suy ra véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là:$\overrightarrow{n}=\left( 2;-3 \right).$

Chọn A.

Ví dụ 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng  $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ là:

A.${{\overrightarrow{u}}_{4}}=\left( -2;\,3 \right)$  

B. ${{\overrightarrow{u}}_{2}}=\left( 3;\,-2 \right)$

C. ${{\overrightarrow{u}}_{3}}=\left( 3;\,2 \right)$                                   

D. ${{\overrightarrow{u}}_{1}}=\left( 2;\,3 \right)$

Giải

Chọn đáp án B

$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1\Leftrightarrow 2x+3y-6=0$ nên đường thẳng có VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( 2;\,3 \right)$. Suy ra VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 3;\,-2 \right)$.

Ví dụ 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 2;3 \right)$ và $B\left( 4;1 \right)?$

A.    $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 2;-2 \right).$       

B. $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( \text{2};-\text{1} \right).$                      

C. $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;1 \right).$           

D. $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left( 1;-2 \right).$

Giải

Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng là:$\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2 \right)$ suy ra véc tơ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2 \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;1 \right).$

Chọn C.

Dạng 2. Quan hệ song song, vuông góc

Ví dụ 1. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau đây:

$\left\{ \begin{align}
& x=4+2t \\
& y=1-5t \\
\end{align} \right.$ và 5x + 2y – 14 = 0

A. Vuông góc với nhau                                                          B. Song song

C. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau                          D. Trùng nhau

Hướng dẫn giải:

Phương trình chính tắc là: $\frac{{x – 4}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 5}} \Leftrightarrow 5x + 2y – 22 = 0$. Ta có: $\frac{5}{5} = \frac{2}{2} \ne \frac{{ – 22}}{{ – 14}}$. suy ra hai đường thẳng song song.

Chọn B.

Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình: $\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1$ và 3x + 4y – 10 = 0

A. Song song                                                                         B. Trùng nhau

C. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau      D. Vuông góc với nhau

Giải

Ta có: $\frac{x}{3} – \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x – 3y – 12 = 0$.

Xét $4.3 + ( – 3).4 = 0$. suy ra hai đường thẳng vuông góc.

Chọn D.

Ví dụ 3. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình  $\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1$ và 3x + 4y – 10 = 0

A. Song song                                                                         B. Trùng nhau

C. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau                          D. Vuông góc với nhau

Giải

Ta có: $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x – 3y – 6 = 0$.

Do $\frac{2}{3} \ne \frac{{ – 3}}{4}$ suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Mặt khác: $2.3 + ( – 3).4 = – 6 \ne 0$ suy ra không vuông góc.

Vậy: Chọn C.

Ví dụ 4. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây song song 2x + (m² + 1)y – 50 = 0 và mx + y – 100 = 0

A. m = 0                B. m = 1                    C. m = – 1                   D. Không có m nào

Giải

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi:

$\frac{2}{m} = \frac{{{m^2} + 1}}{1} \ne \frac{{ – 50}}{{ – 100}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {{m^2} + 1} \right)m = 2}\\
{m \ne 4}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 1$

Vậy chọn: B.

Bài tập tự luyện:

Câu 1. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng :

$\left\{ \begin{align}
x=4+2t \\
y=1-5t \\
\end{align} \right.$ và 5x + 2y – 14 = 0

A. Trùng nhau                                                                       B. Vuông góc với nhau

C. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau                          D. Song song

Câu 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng  có phương trình 11x – 12y + 1 = 0  và 12x – 11y + 9 = 0

A. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau                         B. Trùng nhau

C. Vuông góc với nhau                                                           D. Song song

Câu 3. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau đây: 

$\left\{ \begin{align}
& x=4+2t \\
& y=1-5t \\
\end{align} \right.$ và 5x + 2y – 14 = 0

A. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau                          B. Trùng nhau

C. Vuông góc với nhau                                                           D. Song song

Câu 4. Cho các đường thẳng :    d₁: 2x – 5y + 3 = 0;  d₂: 2x + 5y – 1 = 0;                                 d₃: 2x – 5y + 1 = 0  ;  d₄: 4x + 10y – 2 = 0

Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. d₁ cắt d₂ và d₂ trùng d₄         B. d₁ // d₃ và d₂ cắt d₄              

C. d₁ cắt d₂ và d₁//d₃                D. d₁ cắt d₄ và d₂ trùng d₃

Câu 5. Với giá trị nào của m hai đường thẳng sau đây vuông góc 2x + (m² + 1)y – 5 = 0 và mx + y – 1= 0

A. m = 0                                 B. m = 1                                

C. m = – 1                              D. Không có m nào

Dạng 3. Giao điểm của hai đường thẳng

Ví dụ 1. Tọa độ giao điểm của đường thẳng 15x – 2y – 10 = 0 và trục tung.

A. (0; 5)                                 

B. (-5; 0)                                

C. $\left( \frac{2}{3};0 \right)$

D. (0; – 5)

Giải

Trục tung có phương trình y=0=>15x-10=0=>$x = \frac{2}{3}$=> tọa độ giao điểm là: ($\frac{2}{3};0$

Vậy chọn: C.

Ví dụ 2.

Cho các đường thẳng :    d₁: 2x – 5y + 3 = 0; d₂: 2x + 5y – 1 = 0. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là :

A.$\left( { – \frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right)$         

B. $\left( {\frac{1}{2}; – \frac{2}{5}} \right)$    

C. $\left( { – \frac{1}{2}; – \frac{2}{5}} \right)$        

D. $\left( {\frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right)$

Giải

Xét hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x{\rm{ }}–{\rm{ }}5y{\rm{ }} = {\rm{ – 3}}}\\
{2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ = }}1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{1}{2}}\\
{y = \frac{2}{5}}
\end{array}} \right.$

Vậy chọn: A.

Câu 3. Phần đường thẳng 5x + 3y = 15 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?

A. 5     

B. 3     

C. 15   

D. 7,5

Giải

Đường thẳng giao trục Ox: Cho y=0=>x=3, A(3;0).

Đướng thẳng giao với Oy: x=0=>y=5, B(0;5).

Tam giác OAB vuông tại O có cạnh OA=3; OB=5=> diện tích tam giác OAB là: $S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.3.5 = \frac{{15}}{2}$.

Vậy chọn D.

---

Xem thêm:

Phương trình đường thẳng- Lý thuyết cơ bản

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán cơ bản-Phần 1

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán cơ bản-Phần 2

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán nâng cao