Phương trình đường thẳng- Các dạng phương trình cơ bản

I. Các khái niệm mở đầu

1. Vectơ chỉ phương

Vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $\Delta $ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta $.

Lưu ý : Nếu $\overrightarrow{u}$ là VTCP của  $\Delta $ thì $k\overrightarrow{u}\left( k\ne 0 \right)$ cũng là VTCP của $\Delta $.

2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

 Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của $\Delta $ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta $.

Lưu ý : Nếu $\overrightarrow{n}$ là VTPT của $\Delta $ thì $k\overrightarrow{n}\left( k\ne 0 \right)$ cũng là VTPT của $\Delta $.

3. Phương trình tham số của đường thẳng 

Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ và $\overrightarrow{u}=(a;b)$ là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

\[\left\{ \begin{align}
& x={{x}_{0}}+at \\
& y={{y}_{0}}+bt \\
\end{align} \right.\text{ }t\in R. (*)\]

Lưu ý‎‎‎‎ :

+$A\in \Delta \Leftrightarrow A({{x}_{0}}+at;{{y}_{0}}+bt)$

+ $A(x;y)\in \Delta $ khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm t duy nhất.

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ và $\overrightarrow{u}=(a;b)$ (với $a\ne 0,\,\,b\ne 0$) là VTCP.

Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}$

5. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=(A;B)$. Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

$Ax+By+C=0$

Chú ý :

– Nếu đường thẳng $\Delta $ :$Ax+By+C=0$ thì $\overrightarrow{n}=(A;B)$ là VTPT của $\Delta $.

6. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

  • $\Delta $ song song hoặc trùng với trục $Ox\Leftrightarrow \Delta :by+c=0$
  • $\Delta $ song song hoặc trùng với trục $Oy\Leftrightarrow \Delta :ax+c=0$
  • $\Delta $ đi qua gốc tọa độ $\Leftrightarrow \Delta :ax+by=0$
  • $\Delta $ đi qua hai điểm $A\left( a;0 \right),\,\,B\left( 0;b \right)\Leftrightarrow \Delta :\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $\left( ab\ne 0 \right)$
  • Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là $y=kx+m$ với $k=\tan \alpha $, $\alpha $ là góc hợp bởi tia $Mt$ của $\Delta $ ở phía trên trục $Ox$ và tia $Mx$ ( $M$ là giao điểm của $\Delta $ và $\text{O}x$).

7. Liên hệ giữa VTCP và VTPT

VTPT $\overrightarrow{n}$ và VTCP $\overrightarrow{u}$ vuông góc với nhau.

Do đó nếu $\Delta $ có VTCP $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì $\overrightarrow{n}=(-b;a)$ là một VTPT của $\Delta $.

8. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

\[\begin{align}
& {{\Delta }_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0 \\
& {{\Delta }_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0 \\
\end{align}\].

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}\ v\grave{a}\ {{\Delta }_{2}}$ ta xét số nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0 \\
& {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0 \\
\end{align} \right.\quad \ (I)\]

Chú ý 1:  Nếu ${{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}\ne 0$ thì :

\[\begin{align}
& {{\Delta }_{1}}\cap {{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\ne \frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}} \\
& {{\Delta }_{1}}//{{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}\ne \frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}} \\
& {{\Delta }_{1}}\equiv {{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}} \\
\end{align}\]

Chú ý 2: Đường thẳng d: $y=ax+b$và đường thẳng d’:$y=a’x+b’$vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a.a’=-1$.

9. Góc giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}\ v\grave{a}\ {{\Delta }_{2}}$ có VTPT $\overset{\to }{\mathop{{{n}_{1}}}}\,=\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}} \right)\ $ và $\overset{\to }{\mathop{{{n}_{2}}}}\,=\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}} \right)\ $ được tính theo công thức:

\[\cos ({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}})=\cos (\overset{\to }{\mathop{{{n}_{1}}}}\,,\overset{\to }{\mathop{{{n}_{2}}}}\,)=\frac{|\overset{\to }{\mathop{{{n}_{1}}}}\,.\overset{\to }{\mathop{{{n}_{2}}}}\,|}{|\overset{\to }{\mathop{{{n}_{1}}}}\,||\overset{\to }{\mathop{{{n}_{2}}}}\,|}=\frac{|{{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\]

10. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$ cho bởi công thức:

d(M0,$\Delta $) = $\frac{|a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$


Xem thêm:

Phương trình đường thẳng- Lý thuyết cơ bản

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán cơ bản-Phần 1

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán cơ bản-Phần 2

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán nâng cao