Phương trình logarit

Định nghĩa :

Phương trình logarit cơ bản có dạng: $lo{{g}_{a}}x=b,\left( a>0,a\ne 1 \right)$

Theo  định nghĩa ta có: $lo{{g}_{a}}x=b~\Leftrightarrow x={{a}^{b}}$

* Minh hoạ bằng đồ thị

* Với a > 1.

• 

* Với 0 < a < 1.

• 

*Kết luận: Phương trình $lo{{g}_{a}}x=b,\left( a>0,a\ne 1 \right)~$luôn có nghiệm duy nhất x = a^b, với mọi b.

 I. Cách giải một số phương trình logarit thường gặp   

Phương pháp 1. Đưa về cùng cơ số.

Ví dụ

Giải phương trình sau: log₃x + log₉x + log₂₇x = 11

Giải

Pt$\Leftrightarrow $ log₂x+log₃x+log₃x =11 $\Leftrightarrow $log₃x = 6 $\Leftrightarrow $x = 3⁶ = 729

Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ loại 1

Ví dụ

Giải phương trình sau: $\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2=0$

  Giải

Đặt t = logx

$\begin{array}{l}
\log _2^2x – 3{\log _2}x + 2 = 0\\
{t^2} – 3t + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\log }_2}x = 1}\\
{{{\log }_2}x = 2}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2}\\
{x = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ

Giải phương trình sau: $\frac{\text{1}}{\text{5-logx}}\text{+}\frac{\text{2}}{\text{1+logx}}\text{=1}$

Điều kiện: $x > 0,logx \ne 5,logx \ne – 1$

Đặt t = logx

Ta được phương trình : t² – 5t + 6 = 0

Giải phương trình ta được t =2, t = 3 (thoả mãn ĐK)

Vậy: logx = 2, logx = 3

=> Pt đã cho có nghiệm : x₁ = 100, x₂ = 1000

Phương pháp 3. Mũ hóa

Ví dụ

Giải phương trình sau: log₂(5 – 2^x) = 2 – x

Giải

Phương trình:   log₂(5 – 2^x) = 2 – x     

ĐK : 5 – 2^x > 0.

+ Phương trình đã cho $\Leftrightarrow $ 5 – 2^x = 4/2^x. $\Leftrightarrow $2^2x – 5.2^x + 4 = 0.

Đặt t = 2^x, t > 0.

Phương trình trở thành: t² -5t + 4 = 0.

Phương trình có nghiệm : t = 1, t = 4.

Vậy 2^x = 1, 2^x = 4, nên phương trình đã cho có nghiệm : x = 0, x = 2.

Phương pháp 4. Phương pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f (x) tăng, g(x) giảm trên khoảng (a;b) và f(c)=g(c), cÎ(a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có duy nhất nghiệm x=c.

Hệ quả: Nếu $f'(x)>0$với mọi $x\in K$và tồn tại ${{x}_{0}}\in K$sao cho: $f({{x}_{0}})=0$thì phương trình $f(x)=0$có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}$thuộc k.

Dạng 4.1. Dạng $\log (ax+b)=c\text{x}+d$

Ví dụ. Giải phương trình sau:${{\log }_{3}}(x+1)=3-x.$

Hướng dẫn và lời giải

Cách 1.

Điều kiện: $D=\left( -1;+\infty  \right)$.

Đặt: $f(x)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=>f'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 3}>0;\forall x>-1.$ Hàm số $f(x)$đồng biến trên $\left( -1;+\infty  \right)$.

$g(x)=3-\text{x}=>g'(x)=-1<0;\forall x>-1.$ Hàm số $g(x)$nghịch biến trên $\left( -1;+\infty  \right)$.

Phương trình $f(x)=g(x)$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(2)=g(2)$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$x=2.$

Cách 2.

Phương trình đã cho tương đương với:${{\log }_{3}}(x+1)+\text{x}-3=0.$

Đặt: $f(x)={{\log }_{3}}(x+1)+x-3=>f'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 3}+1>0;\forall x>-1.$

Hàm số $f(x)$đồng biến trên $(-1;+\infty )$.

Phương trình $f(x)=0$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(2)=0$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$x=2.$

4.2. Dạng ${{\log }_{a}}(b\text{x}+c)={{\log }_{d}}(ex+h)$

Ví dụ 1. Giải phương trình ${{\log }_{7}}x={{\log }_{3}}(\sqrt{x}+2)$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện:$x>0$.

Đặt: $t={{\log }_{7}}x\left( * \right)$.

Khi đó $x={{7}^{t}}$

Phương trình trở thành: $t={{\log }_{3}}(\sqrt{{{7}^{t}}}+2)\Leftrightarrow {{3}^{t}}=\sqrt{{{7}^{t}}}+2\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}-1=0.(**)$

Đặt: $f(t)={{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}-1$

$f'(t)={{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{1}{3} \right)<0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Suy ra $f(x)$đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên phương trình $f(t)=0$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(2)=0$. Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất $t=2$.

Thay vào (*) ta được: ${{\log }_{7}}x=2\Leftrightarrow x={{7}^{2}}=49$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=49.$

Ví dụ 2. Giải phương trình:${{\log }_{6}}\left( x+1 \right)={{\log }_{5}}x$

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện:$x>0$.

Đặt: $t={{\log }_{5}}x\left( * \right)$.

Khi đó $x={{5}^{t}}$

Phương trình trở thành: $t={{\log }_{6}}({{5}^{t}}+1)\Leftrightarrow {{6}^{t}}={{5}^{t}}+1\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}-1=0.(**)$

Đặt: $f(t)={{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}-1$

$f'(t)={{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}\ln \frac{5}{6}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}\ln \frac{1}{6}<0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Suy ra $f(x)$đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên phương trình $f(t)=0$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(1)=0$. Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất $t=1.$

Thay vào (*) ta được: ${{\log }_{5}}x=1\Leftrightarrow x={{5}^{1}}=5$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5.$

Bài tập

Giải phương trình sau:

a) ${{\log }_{5}}\left( x+2 \right)={{\log }_{3}}x$

b) ${{\log }_{7}}\left( x+5 \right)={{\log }_{2}}x$

Phương pháp 5. Đổi biến loại 2(Đưa một phần biến cũ theo biến mới)

Ví dụ 3: Giải phương trình:$\log _{3}^{2}\left( x+1 \right)+\left( x-5 \right){{\log }_{3}}\left( x+1 \right)-2x+6=0$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $x>-1$

Đặt t = log₃(x+1), ta có: ${{t}^{2}}+\left( x-5 \right)t-2x+6=0(*)$

Có $\Delta ={{(x-5)}^{2}}-4(-2\text{x}+6)={{x}^{2}}-2\text{x}+1={{(x-1)}^{2}}$

Phương trình (*) có nghiệm: $t=2,t=3-x$

*Với $t=2$: Ta có: ${{\log }_{3}}(x+1)=2\Leftrightarrow x+1={{3}^{2}}\Leftrightarrow x=8$.

* Với $t=3-x$: ta có: ${{\log }_{3}}(x+1)=3-x\Leftrightarrow {{\log }_{3}}(x+1)+x-3=0(**)$

Đặt : $g(x)={{\log }_{3}}(x+1)+x-3$

$g'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 3}+1>0;\forall x>-1.$Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất.

Mặt khác, $g(2)=0$. Vậy (**) có nghiệm duy nhất x=2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 8 và x = 2.

Bài tập

a) Giải phương trình sau: ${{\log }^{2}}_{2}x-\left( x-1 \right).{{\log }_{2}}x-2x+6=0.$

b) Giải phương trình sau: ${{\log }^{2}}_{7}\left( x+5 \right)-\left( x+1 \right).{{\log }_{7}}\left( x+5 \right)-2x-2=0.$

c) Giải phương trình:$\text{(x + 1) }\!\![\!\!\text{ log}2\text{x}{{\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{\mathbf{2}}}\text{ + (2x + 5)log }2\text{x + 6 = 0}$

d) Giải phương trình: ${{4}^{\log (x+1)}}-(x-1){{.2}^{\log (x+1)}}-x=0$

Phương pháp 6. Nhóm nhân tử chung

Ví dụ 1: Giải phương trình: $2{{\left( {{\log }_{9}}x \right)}^{2}}={{\log }_{3}}x.{{\log }_{3}}\left( \sqrt{2x+1}-1 \right)$.

Hướng dẫn và lời giải

$\begin{array}{l} 2{\left( {{{\log }_9}x} \right)^2} = {\log _3}x.{\log _3}\left( {\sqrt {2x + 1} – 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_3}x – 2{{\log }_3}\left( {\sqrt {2x + 1} – 1} \right)} \right].{\log _3}x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_3}x = 0}\\ {{{\log }_3}x = 2{{\log }_3}\left( {\sqrt {2x + 1} – 1} \right)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = {{\left( {\sqrt {2x + 1} – 1} \right)}^2}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 4} \end{array}} \right. \end{array}$

Bài tập thực hành

Bài 1: Giải các phương trình sau

a)${{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x+x.{{\log }_{3}}x+3={{\log }_{2}}x+3{{\log }_{3}}x+x$      

b) $\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+2=3.{{\log }_{2}}x+2.{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)$

c) ${{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x+3=3.{{\log }_{3}}x+{{\log }_{2}}x$                             

d) $2.\log _{4}^{2}x={{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}\left( \sqrt{x-7}+1 \right)$

Phương pháp 7. Đổi biến đưa về hệ

Ví dụ 1: Giải phương trình ${{7}^{x-1}}=6{{\log }_{7}}(6x-5)+1$.

Hướng dẫn và lời giải Đặt $y-1={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)$. Khi đó chuyển thành hệ

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {7^{x – 1}} = 6\left( {y – 1} \right) + 1\\ y – 1 = {\log _7}\left( {6x – 5} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {7^{x – 1}} = 6y – 5\\ {7^{y – 1}} = 6x – 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {7^{x – 1}} + 6x = {7^{y – 1}} + 6y \end{array}$

Xét hàm số:$f\left( t \right)={{7}^{t-1}}+6t$

Có:$f’\left( t \right)={{7}^{t-1}}\ln 7+6>0;\forall t$, Suy ra hàm số đồng biến.

Mặt khác có:$f(x)=f(y)$, Suy ra x=y.

Khi đó: ${{7}^{x-1}}-6x+5=0$.

Xét hàm số$g\left( x \right)={{7}^{x-1}}-6x+5$

$g’\left( x \right)={{7}^{x-1}}\ln 7-6$

$g”\left( x \right)={{7}^{x-1}}{{\left( \ln 7 \right)}^{2}}>0$

Có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g'(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{7}^{x-1}}\ln 7-6)=+\infty $

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g'(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,({{7}^{x-1}}\ln 7-6)=-6$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình $g'(x)=0$có nghiệm duy nhất x₀.

Từ đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình $g(x)=0$có nhiều nhất 2 nghiệm.

Mặt khác: $g(1)=g(2)=0$

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm: x = 1 và x = 2.

Dạng tổng quát: ${{s}^{ax+b}}=c{{\log }_{s}}\left( dx+e \right)+\alpha x+\beta $, Điều kiện: $d=ac+\alpha ,e=bc+\beta $

Phương pháp:  Đặt $ay+b={{\log }_{s}}(dx+e)$rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ${{s}^{ax+b}}+acx={{s}^{ay+b}}+acy$. Xét $f\left( t \right)={{s}^{at+b}}+act$.

Chúc các bạn thành công!