Phương trình lượng giác cơ bản mở rộng

Phương trình lượng giác cơ bản mở rộng

Khi giải các bài tập giải phương trình lượng giác đa phần ta phải đưa về một trong các dạng sau, gọi là phương trình lượng giác cơ bản mở rộng.

$\begin{array}{l}
\sin u(x) = \sin v(x)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(1)}
\end{array}\\
\cos u(x) = \cos v(x)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(2)}
\end{array}\\
\tan u(x) = \tan v(x)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(3)}
\end{array}\\
\cot u(x) = \cot v(x)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(4)}
\end{array}
\end{array}$

Như vậy, vai trò của $v(x)$ trong phương trình (1) tương đương với vai trò $\alpha$ trong phương trình  của phương trình lượng giác cơ bản. Chính vì vậy lúc này vai trò của m đóng vai trò “trung gian“.

Phương trình lượng giác cơ bản mở rộng

Khi giải các bài tập giải phương trình lượng giác đa phần ta phải đưa về một trong các dạng sau, gọi là phương trình lượng giác cơ bản mở rộng.

$\begin{array}{l}
\sin u(x) = \sin v(x)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(1)}
\end{array}\\
\cos u(x) = \cos v(x)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(2)}
\end{array}\\
\tan u(x) = \tan v(x)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(3)}
\end{array}\\
\cot u(x) = \cot v(x)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(4)}
\end{array}
\end{array}$

Như vậy, vai trò của $v(x)$ trong phương trình (1) tương đương với vai trò $\alpha$ trong phương trình $ sinx=m=\sin \alpha$ của phương trình lượng giác cơ bản. Chính vì vậy lúc này vai trò của m đóng vai trò “trung gian“.

Việc giải các phương trình dạng này như đối với các phương trình lượng giác cơ bản.

Công thức nghiệm:

• $\sin u(x) = \sin v(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u(x) = v(x) + k2\pi }\\
  {u(x) = \pi – v(x) + k2\pi }
  \end{array}} \right.$
• $\cos u(x) = \cos v(x) \Leftrightarrow u(x) = \pm v(x) + k2\pi $
• $\tan u(x) = \tan v(x) \Leftrightarrow u(x) = v(x) + k\pi $
• $\cot u(x) = \cot v(x) \Leftrightarrow u(x) = v(x) + k\pi $

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sin 2x = \sin \frac{\pi }{3}$

Giải

$\begin{array}{l}
\sin 2x = \sin \frac{\pi }{3}\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\
{2x = \pi – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\cos \left( {2x – \frac{\pi }{5}} \right) = \sin \frac{\pi }{7}$.

Giải

$\begin{array}{l}
\cos \left( {2x – \frac{\pi }{5}} \right) = \sin \frac{\pi }{7}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2x – \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \frac{\pi }{7}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos \left( {} \right) = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{{14}}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – \frac{\pi }{5} = \frac{{5\pi }}{{14}} + k2\pi }\\
{2x – \frac{\pi }{5} = – \frac{{5\pi }}{{14}} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = \frac{{39\pi }}{{70}} + k2\pi }\\
{2x = – \frac{{11\pi }}{{70}} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{39\pi }}{{140}} + k\pi }\\
{x = – \frac{{11\pi }}{{140}} + k\pi }
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ 3. Giải phương trình: $\cos \left( {3\pi \sin x} \right) = \cos \left( {\pi \sin x} \right)$.

Giải

$pt \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3\pi \sin x = \pi \sin x + k2\pi \\
3\pi \sin x = – \pi \sin x + k2\pi
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\pi \sin x = k2\pi \\
4\pi \sin x = k2\pi
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = k\\
\sin x = \frac{k}{2}
\end{array} \right.$

Do: $\left\{ \begin{array}{l}
k \in Z\\
\left| {\sin x} \right| \le 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| k \right| \le 1\\
\left| {\frac{k}{2}} \right| \le 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left| {\frac{k}{2}} \right| \le 1$

$ \Leftrightarrow k \in \left\{ {0; \pm 1; \pm 2} \right\}$

$pt \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = \pm \frac{1}{2}\\
\sin x = \pm 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 2x = 0\\
\sin x = \frac{1}{2}\\
\sin x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{l\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{l\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{l\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.$

Nhận xét: Đây là một  PTLG mà việc giải nó rất đơn giản, mấu chốt của bài này là vị trí quan trọng của ‘k’ và ghi nhớ:  $k \in Z$.

Ví dụ 4. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

\[\sin \left( \pi {{x}^{2}} \right)=\sin \left[ \pi {{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]\]

Giải.

$\sin \left( \pi {{x}^{2}} \right)=\sin \left[ \pi {{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\pi {x^2} = \pi {\left( {x + 1} \right)^2} + k2\pi \\
\pi {x^2} = \pi – \pi {\left( {x + 1} \right)^2} + k2\pi
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – \frac{{2k + 1}}{2}\\
{x^2} + x – k = 0
\end{array} \right.$

 ($k\in \mathbb{Z}$

+Xét   $x=-\frac{2k+1}{2}\text{}0$, $k\in \mathbb{Z}$ suy ra: , ta được $x=\frac{1}{2}$ là nghiệm dương nhỏ   nhất.

+Xét phương trình ${{x}^{2}}+x-k=0$ có: $\Delta {\rm{ }} = 1 + 4k \ge 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ge – \frac{1}{4}\\
k \in Z
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow k \ge 0$

Thử trực tiếp ta thấy khi $k=1$ thì phương trình{*} có nghiệm nhỏ nhất là:

$\text{x = }\frac{\text{-1+}\sqrt{\text{5}}}{\text{2}}\text{}\frac{1}{2}$(loại)

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là: $x=\frac{1}{2}$.

Việc giải các phương trình dạng này như đối với các phương trình lượng giác cơ bản.

Công thức nghiệm:

• $\sin u(x) = \sin v(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u(x) = v(x) + k2\pi }\\
  {u(x) = \pi – v(x) + k2\pi }
  \end{array}} \right.$
• $\cos u(x) = \cos v(x) \Leftrightarrow u(x) = \pm v(x) + k2\pi $
• $\tan u(x) = \tan v(x) \Leftrightarrow u(x) = v(x) + k\pi $
• $\cot u(x) = \cot v(x) \Leftrightarrow u(x) = v(x) + k\pi $

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sin 2x = \sin \frac{\pi }{3}$

Giải

$\begin{array}{l}
\sin 2x = \sin \frac{\pi }{3}\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\
{2x = \pi – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\cos \left( {2x – \frac{\pi }{5}} \right) = \sin \frac{\pi }{7}$.

Giải

$\begin{array}{l}
\cos \left( {2x – \frac{\pi }{5}} \right) = \sin \frac{\pi }{7}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2x – \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \frac{\pi }{7}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos \left( {} \right) = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{{14}}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – \frac{\pi }{5} = \frac{{5\pi }}{{14}} + k2\pi }\\
{2x – \frac{\pi }{5} = – \frac{{5\pi }}{{14}} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = \frac{{39\pi }}{{70}} + k2\pi }\\
{2x = – \frac{{11\pi }}{{70}} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{39\pi }}{{140}} + k\pi }\\
{x = – \frac{{11\pi }}{{140}} + k\pi }
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ 3. Giải phương trình: $\cos \left( {3\pi \sin x} \right) = \cos \left( {\pi \sin x} \right)$.

Giải

$pt \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3\pi \sin x = \pi \sin x + k2\pi \\
3\pi \sin x = – \pi \sin x + k2\pi
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\pi \sin x = k2\pi \\
4\pi \sin x = k2\pi
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = k\\
\sin x = \frac{k}{2}
\end{array} \right.$

Do: $\left\{ \begin{array}{l}
k \in Z\\
\left| {\sin x} \right| \le 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| k \right| \le 1\\
\left| {\frac{k}{2}} \right| \le 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left| {\frac{k}{2}} \right| \le 1$

$ \Leftrightarrow k \in \left\{ {0; \pm 1; \pm 2} \right\}$

$pt \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = \pm \frac{1}{2}\\
\sin x = \pm 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 2x = 0\\
\sin x = \frac{1}{2}\\
\sin x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{l\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{l\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{l\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.$

Nhận xét: Đây là một  PTLG mà việc giải nó rất đơn giản, mấu chốt của bài này là vị trí quan trọng của ‘k’ và ghi nhớ:  $k \in Z$.

Ví dụ 4. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

\[\sin \left( \pi {{x}^{2}} \right)=\sin \left[ \pi {{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]\]

Giải.

$\sin \left( \pi {{x}^{2}} \right)=\sin \left[ \pi {{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\pi {x^2} = \pi {\left( {x + 1} \right)^2} + k2\pi \\
\pi {x^2} = \pi – \pi {\left( {x + 1} \right)^2} + k2\pi
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – \frac{{2k + 1}}{2}\\
{x^2} + x – k = 0
\end{array} \right.$

 ($k\in \mathbb{Z}$

+Xét   $x=-\frac{2k+1}{2}\text{}0$, $k\in \mathbb{Z}$ suy ra: , ta được $x=\frac{1}{2}$ là nghiệm dương nhỏ   nhất.

+Xét phương trình ${{x}^{2}}+x-k=0$ có: $\Delta {\rm{ }} = 1 + 4k \ge 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ge – \frac{1}{4}\\
k \in Z
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow k \ge 0$

Thử trực tiếp ta thấy khi $k=1$ thì phương trình{*} có nghiệm nhỏ nhất là:

$\text{x = }\frac{\text{-1+}\sqrt{\text{5}}}{\text{2}}\text{}\frac{1}{2}$(loại)

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là: $x=\frac{1}{2}$.