Phương trình lượng giác- Phương pháp bất đẳng thức

Phương trình lượng giác- Phương pháp bất đẳng thức

A. Nguyên lý 1. Nguyên lý đối lập

Dạng tổng quát: $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{A}} \ge {\rm{M}}\\ {\rm{B}} \le {\rm{M}}\\ {\rm{A = B}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{A}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{M}}\\ {\rm{B}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{M}} \end{array} \right.$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${\sin ^{1996}}x + {\cos ^{1996}}x = 1$

Giải

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\sin ^{1996}}x + {\cos ^{1996}}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x$

$ \Leftrightarrow {\sin ^2}x({\sin ^{1994}}x – 1) = {\cos ^2}x(1 – {\cos ^{1994}}x)$

Tha thấy: 

$\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x \ge 0\\
{\sin ^{1994}}x \le 1
\end{array} \right. \Rightarrow {\sin ^2}x({\sin ^{1994}}x – 1) \le 0,\forall x$

Lại có:

$\left\{ \begin{array}{l}
{\cos ^2}x \ge 0\\
1 – {\cos ^{1994}}x \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow {\cos ^2}x(1 – {\cos ^{1994}}x) \ge 0,\forall x$

Do đó: 

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x({\sin ^{1994}}x – 1) = 0\\
{\cos ^2}x(1 – {\cos ^{1994}}x) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = \pm 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = \pm 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = m\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + m\pi
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + n\pi \\
x = n\pi
\end{array} \right.
\end{array} \right.(m,n \in Z)
\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = k\frac{\pi }{2}(k \in Z)$.

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = 1$.

Giải

${\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = 1$

$ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x$

$ \Leftrightarrow {\sin ^2}x({\sin ^2}x – 1) = {\cos ^2}x(1 – {\cos ^{13}}x)$

Vì ${\sin ^2}x({\sin ^2}x – 1) \le 0,\forall x$

Và ${\cos ^2}x(1 – {\cos ^{13}}x) \ge 0,\forall x$

Do đó: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x({\sin ^2}x – 1) = 0\\
{\cos ^2}x(1 – {\cos ^{13}}x) = 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = \pm 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = m\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + m\pi
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + n\pi \\
x = 2n\pi
\end{array} \right.
\end{array} \right.(m,n \in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;$$x = 2k\pi $.

Ví dụ 3: Giải phương trình:  $\cos x\sqrt {\frac{1}{{\cos x}} – 1} + \cos 3x\sqrt {\frac{1}{{\cos 3x}} – 1} = 1$.

Giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x > 0\\
\cos 3x > 0
\end{array} \right.$

Khi đó: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {\cos x – {{\cos }^2}x} + \sqrt {\cos 3x – {{\cos }^2}3x} = 1$

Vì: ${a^2} – a + \frac{1}{4} = {(a – \frac{1}{2})^2} \ge 0 \Rightarrow a – {a^2} \le \frac{1}{4};a = \cos X$

Do đó: $\cos x – {\cos ^2}x \le \frac{1}{4}$ và $\cos 3x – {\cos ^2}3x \le \frac{1}{4}$

$ \Rightarrow \sqrt {\cos x – {{\cos }^2}x} \le \frac{1}{2}\; \sqrt {\cos 3x – {{\cos }^2}3x} \le \frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x – {{\cos }^2}x = \frac{1}{4}}\\
{\cos 3x – {{\cos }^2}3x = \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = \frac{1}{2}}\\
{\cos 3x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = \phi
\end{array}$

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: ( cos2x – cos4x)² = 6 + 2sin3x.

Giải

Ta có:

$\begin{array}{l}
– 1 \le cos2x \le 1; – 1 \le cos4x \le 1\\
\Rightarrow VT = {\left( {{\rm{ }}cos2x{\rm{ }}–{\rm{ }}cos4x} \right)^2} \le 4
\end{array}$

Mặt khác:

$\begin{array}{l}
cos2x{\rm{ }}–{\rm{ }}cos4x = \cos 2x – ({\cos ^2}2x – 1) = 2 – {\left( {\cos 2x – 1} \right)^2}\\
\Rightarrow VT = {\left( {{\rm{ }}cos2x{\rm{ }}–{\rm{ }}cos4x} \right)^2} = {\left( {2 – {{\left( {\cos 2x – 1} \right)}^2}} \right)^2} \le 4
\end{array}$

Do đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: VT=VP=4.

TH1:

$\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{cos2x{\rm{ }}–{\rm{ }}cos4x = 2}\\
{sin3x = – 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{cos2x = 1}\\
{cos4x = – 1}\\
{sin3x = – 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = k2\pi }\\
{4x = \pi + k2\pi }\\
{3x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = \phi
\end{array}$

TH2:

$\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{cos2x{\rm{ }}–{\rm{ }}cos4x = – 2}\\
{sin3x = – 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{cos2x = – 1}\\
{cos4x = 1}\\
{sin3x = – 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = \pi + k2\pi }\\
{4x = k2\pi }\\
{3x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x = k\frac{\pi }{2}}\\
{x = – \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow  x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $.

B. Nguyên lý 2. Nguyên lý cực biên

Dạng tổng quát: $\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{A}} \le {{\rm{A}}_{\rm{1}}}\\
{\rm{B}} \le {{\rm{B}}_{\rm{1}}}\\
{\rm{A + B = }}{{\rm{A}}_{\rm{1}}} + {{\rm{B}}_{\rm{1}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{A = }}{{\rm{A}}_{\rm{1}}}\\
{\rm{B = }}{{\rm{B}}_{\rm{1}}}
\end{array} \right.$

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${\sin ^{12}}x + {\cos ^{16}}x = 1$

Giải

Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^{12}}x \le {\sin ^2}x\\
{\cos ^{16}}x \le {\cos ^2}x
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {\sin ^{12}}x + {\cos ^{16}}x \le 1;\forall x$

Vì thế: 

${\sin ^{12}}x + {\cos ^{16}}x = 1$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^{12}}x = {\sin ^2}x\\
{\cos ^{16}}x = {\cos ^2}x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = 1$.

Giải

Ta có: ${\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = 1$

$ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x$

$ \Leftrightarrow {\sin ^2}x({\sin ^2}x – 1) = {\cos ^2}x(1 – {\cos ^{13}}x)$

Vì : ${\sin ^2}x({\sin ^2}x – 1) \le 0,\forall x$ và ${\cos ^2}x(1 – {\cos ^{13}}x) \ge 0,\forall x$

Do đó: 

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x({\sin ^2}x – 1) = 0\\
{\cos ^2}x(1 – {\cos ^{13}}x) = 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x = \pm 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = m\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + m\pi
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + n\pi \\
x = 2n\pi
\end{array} \right.
\end{array} \right.(m,n \in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $; $x = 2k\pi $ $(k \in Z)$.

Ví dụ 3: Giải phương trình: ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2 – {\sin ^4}x$.

Giải

Ta có:

$\begin{array}{l}
{\sin ^3}x \le {\sin ^2}x\;,\forall x\\
{\cos ^3}x \le {\cos ^2}x\;,\forall x\\
\Rightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x \le 1\;,\forall x\\
2 – {\sin ^4}x \ge 1\;,\forall x
\end{array}$

Vậy phương trình tương đương:

$\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1\\
2 – {\sin ^4}x = 1
\end{array} \right.$

ĐS: $x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \;(k \in Z)$.

Xem thêm: 

• Phương trình lượng giác cơ bản
• Phương trình lượng giác thường gặp-Phần 1.
• Phương trình lượng giác thường gặp-Phần 2.
• Phương trình lượng giác- Phương pháp nhóm nhân tử chung.
• Phương trình lượng giác- Phương pháp đặt ẩn phụ.
• Phương trình lượng giác- Phương pháp bất đẳng thức.
• Phương trình lượng giác-Phương pháp tổng bình phương.