Phương trình lượng giác- Phương pháp nhóm nhân tử chung (Tích)

Phương trình lượng giác- Phương pháp nhóm nhân tử chung

Xu hướng trong đề thi đại học những năm gần đây việc giải phương trình lượng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung…

Dạng tổng quát: $f(x).g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = 0}\\
{g(x) = 0}
\end{array}} \right.$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình sau: $1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0$

Giải

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin x + \cos x + 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x – \cos x = 0}\\
{1 + 2\cos x = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = \sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)}\\
{\cos x = – \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \pm \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + k2\pi }\\
{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\
{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: $\left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin 2x – \sin x$.

Giải

$\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin x\left( {2\cos x – 1} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2\cos x – 1 = 0}\\
{\sin x + \cos x = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = \frac{1}{2}}\\
{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\
{x + \frac{\pi }{4} = k\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\
{x = – \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}} \right.
\end{array}$

Bài tập

Bài tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos 2x+3\sin 2x+5\sin x-3\cos x=3$                        

b) $2\sin x\left( 1+\cos 2x \right)+\sin 2x=1+2\cos x$

c) $\sin 2x-\cos 2x+3\sin x-\cos x-1=0$        

d) $\left( \sin 2x+\cos 2x \right)\cos x+2\cos 2x-\sin x=0$

Bài tập2. Giải các phương trình sau

 a) $2\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}$    

b) $\tan 2x+\cot x=8{{\cos }^{2}}x$

c) $2\tan x+\cot x=\sqrt{3}+\frac{2}{\sin 2x}$       

d) $\cos 2x+\cos x\left( 2{{\tan }^{2}}x-1 \right)=2$

d) $\frac{1}{\tan x+\cot 2x}=\frac{\sqrt{2}\left( \cos x-\sin x \right)}{\cot x-1}$

e) $\cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x$

Xem thêm:

• Phương trình lượng giác-Phương pháp đổi biến.
• Phương trình lượng giác-Phương pháp Bất đẳng thức.