PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A.    TÓM TẮT LÝ THUYẾT

$1.$ Vectơ pháp tuyến của mp $(P)$:  $\overrightarrow{n} \ne \overrightarrow{0}$ là vectơ pháp tuyến của $(P)\Leftrightarrow \overrightarrow{n} \perp (P)$.

$2.$ Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)$ : hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng  $(P)\Leftrightarrow\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  có giá cùng song song với $(P)$.

$3.$ Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$  và cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ :  $\overrightarrow{n}=\left[ {\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} \right]$

$4.$ Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M_0(x_0,y_0,z_0)$  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$ :

         $(P): A(x-x_0)+b(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát $(P) : Ax+By+Cz+D=0$  thì có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$ .

$5.$ Phương trình mặt phẳng đi qua $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ :

          $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

$6.$ Phương trình các mặt phẳng tọa độ: $(Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0$.

$7.$ Khoảng cách từ $M_0(x_0,y_0,z_0)$ đến $(P) : Ax+By+Cz+D=0$

           d$(M;(P))=\frac{\left| {Ax_0+By_0+Cz_0+D} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$8.$ Góc giữa hai mặt phẳng:  $(P) : Ax+By+Cz+D=0$ và $(Q) : A’x+B’y+C’z+D’=0$
          $\cos \left ((P), (Q) \right )=\frac{\left| {AA’+BB’+CC’} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A’^2+B’^2+C’^2}}$

$9.$ Góc giữa đường thẳng $d$: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ và mặt phẳng:  $(P) : Ax+By+Cz+D=0$

$\sin \left( {d,(Q)} \right) = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
         

B. DẠNG CƠ BẢN

Phương trình tổng quát của mặt phẳng: $Ax+By+Cz+D=0$

Dạng cơ bản $1$. Biết $1$ điểm thuộc mặt phẳng và $1$ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 1;2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;1} \right)$

A. 2x – 3y+ z + 2 = 0    B. 2x – 3y + z + 3=0

C. 2x – 3y+ z = 0    D. 2x – 3y + z – 3= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

=> M(2; 1; 2)

+ Mặt phẳng đi qua điểm M( 2; 1; 2) và có vecto pháp tuyến có phương trình là:

2( x – 2) -3( y- 1)+ 1( z – 2 ) = 0

Hay 2x -3y + z – 3= 0

Chọn D.

Dạng cơ bản $2$. Biết $1$ điểm thuộc mặt phẳng và cặp véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $; khi đó: ${\overrightarrow n _p} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ .

$(P):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {Qua:M({x_0};{y_0};{z_0})}\\ {VTPT:{{\vec n}_{(P)}} = [\vec u,\vec v]} \end{array}} \right.$

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và nhận hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) làm vecto chỉ phương?

A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0    B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0

C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0    D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0

Hướng dẫn và lời giải

Ta có hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) là vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nên một vecto pháp tuyến của mp (P) là: $\overrightarrow n = {\rm{ }}[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( { – {\rm{ }}3;{\rm{ }} – {\rm{ }}6;{\rm{ }}5} \right)$

Mặt phẳng (P) nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M( 2; -1; 2 ) nên phương trình mặt phẳng ( P) là:

-3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z – 10= 0

Chọn B.

C. PHÂN LOẠI

I. Mặt phẳng chứa quan hệ vuông góc

Dạng 1. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và nhận vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$

1. Phương pháp.

$\begin{array}{l} (P):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {QuaM({x_0};{y_0};{z_0})}\\ {VTPT:{{\vec n}_{(P)}} = (A;B;C)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow (P):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0 \end{array}$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; -1) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;3;4} \right)$

A. y – z + 1 = 0   

B. 2x + y – z- 3= 0

C. 2x + 3y + 4z +1= 0   

D. 2x- 3y – 4z – 1 = 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0;1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4) có phương trình là:

2( x- 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0

Hay: 2x + 3y + 4z + 1 = 0

Chọn C.

Dạng 2.  Mặt phẳng trung trực $(P)$ của đoạn thẳng $AB.$

1. Phương pháp.

$(P):\left\{ \begin{array}{l} {\rm{ }}Qua{\rm{ }}I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\\ VTPT:{{\vec n}_{(P)}} = \overrightarrow {AB} \end{array} \right.$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB?

A. 3x + 2y – z+ 6= 0    B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0

C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0    D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.

=> Mặt phẳng ( P) nhận AB→ (- 6; -4; 2) làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ ( 3; 2; -1)

+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:

=> I( -1; – 1; 1)

+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là:

3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0

Chọn A.

Dạng 3. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và vuông góc đoạn thẳng $AB$

1. Phương pháp.

$\begin{array}{l} (P):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {Qua:{\rm{M(}}{{\rm{x}}_M};{y_M};{z_M})}\\ {VTPT:{{\vec n}_{(P)}} = \overrightarrow {AB} } \end{array}} \right.\\ \Rightarrow (P):({x_B} – {x_A})(x – {x_M}) + \left( {{y_B} – {y_A}} \right)\left( {y – {y_M}} \right) + \left( {{z_B} – {z_A}} \right)\left( {z – {z_m}} \right) = 0 \end{array}$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1), B(–1;1;3) $ . Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A$ và vuông góc với $AB$
 Lời giải
mp$ (Q)$ đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ nên $\overrightarrow{AB}=(-3,-3,2)$ là VTPT của mp$(Q)$.
$(Q) : -3(x-2)-3(y-4)+2(z-1)=0$
$(Q) : 3x+2y -2z -16 = 0$ .

Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$                                   

1. Phương pháp

+ Đường thẳng d: nhận vecto $\overrightarrow u = (a;b;c)$ làm vecto chỉ phương và là VTPT của $(P)$.

+ Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và nhận VTPT: $\overrightarrow u = (a;b;c)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $O$ và vuông góc với đường thẳng $d$:

A. $2x – z = 0$    B. $–y+ 2z= 0$     C. $x- y+ 2z= 0$     D. $x + z = 0$

Hướng dẫn giải:

+Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→(2;0;-1)

+Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến là:

n_P→ ^→= u_d→(2; 0; -1)

+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến n_P→ là:

2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0

Chọn A.

Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ qua $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau

1. Phương pháp.

$\begin{array}{l} (P):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0;VTPT:\overrightarrow {{n_p}} = (A;B;C)\ (Q):A’x + B’y + C'{\rm{z}} + D’ = 0;VTPT:\overrightarrow {{n_Q}} = (A’;B’;C’)\ \overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (a;b;c)\ (R):a(x – {x_M}) + b(y – {y_M}) + c(z – {z_M}) = 0 \end{array}$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua ba điểm A(1; -2; 0) và vuông góc với (P): 3y+z=0 và (Q) -x+3y-2z=0.

A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0    B. 9x+ y- 3z – 7= 0

C. 9x- y- 3z- 11=0    D. 9x- y+ 3z- 10= 0

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;3;1} \right);\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { – 1;3; – 2} \right)$

$ = > \overrightarrow {{n_R}} = {\rm{ }}[\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} ] = \left( { – 9; – 1;3} \right)$

Phương trình mặt phẳng (R) là: 9.( x – 1)+1.(y + 2) – 3( z – 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0

Chọn B.

Dạng 6.  Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A,\text{ }B$ và $(P)\bot (Q).$                                   

1. Phương pháp.

+${VTPT:{{\vec n}{(P)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,{{\vec n}{(Q)}}} \right]}$.

+ (P) đi qua A.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2; 1; -3) và vuông góc mặt phẳng (Q): 2x+z+1=0 ?

A. 2x- 7y- 4z- 9= 0    B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0

C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0    D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB^→(0; 4; -7)

+ Lại có mặt phẳng ( P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương nên một vecto pháp tuyến của mp( P) là: n→ = [u→;AB→] = (-4; 14; 8)= -2( 2; -7; -4)

=> Phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A(2; -3; 4) và nhận n→ làm VTPT là:

2( x-2) – 7( y+ 3) – 4( z- 4) =0 hay 2x – 7y – 4z- 9=0

Chọn A.

Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và vuông góc $(Q)$.

1. Phương pháp

• Tìm vecto pháp tuyến của (Q) là ${{n_Q}}$.

• Tìm vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow {{u_d}} $.

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]$

• Lấy một điểm M trên d.

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có VTPT $\overrightarrow {{n_P}} $.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}$ và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y – z+ 10 = 0

A. x+ z = 0    B. x+ y +1= 0    C. y – z + 1= 0     D. x – y + 2z= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và có vecto chỉ phương u→ (-1;2;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→ = (1;2;-1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ =[u→ ,n_Q→ ]= ( – 4; 0; -4) = – 4(1; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và có VTPT n’→ (1; 0; 1) là:

1( x + 1) + 0( y – 2) + 1( z – 1) = 0 hay x+ z = 0

Chọn A.

II. Mặt phẳng chứa quan hệ thuộc

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

1. Phương pháp giải

* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

1. Tìm tọa độ các vecto AB→, AC→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [AB→, AC→]

3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C)

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ = [AB→, AC→]

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2).

A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0    B. 9x+ y- 3z – 7= 0

C. 9x- y- 3z- 11=0    D. 9x- y+ 3z- 10= 0

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→(0;3;1); AC→ => [AB→, AC→]= ( – 9; -1; 3)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên n^→ cùng phương với [AB^→, AC^→]

Chọn n→( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là

9.( x – 1)+1.(y + 2) – 3( z – 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0

Chọn B.

Dạng 9. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

1.Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) cắt các tia $Ox, Oy, Oz$ tại các điểm $A, B, C$ và $A (a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c) ; ( a;b;c \ne 0)$

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0) và C(0; 0; 2). Viết phương trình mặt phẳng (P).

A. 2x+ y + z – 6= 0     B. 2x -4 y + 2z+4 = 0

C. 2x – 4y + 2z -4 = 0     D. 2x+ y – z + 6 = 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0) và C(0; 0; 2)

=> Phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1

Chọn C.

Dạng 10. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm M không thuộc d

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u^→ . Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độ vecto MN^→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n^→ = [u^→, MN^→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.

A. 10x+ 6y – 13z + 1= 0    B. 10 x – 6y- 13z + 12 = 0

C. 10x + 6y – 13z – 9 = 0    D. 10x – 6y – 13z+ 19 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và có vecto chỉ phương u^→(2;1; 2); AN^→( – 5; 4; -2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n^→ = [u^→; AN^→] = ( – 10; -6; 13) = – (10; 6; -13)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

10(x – 4) + 6 ( y+ 3) – 13( z- 1) = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0

Chọn C.

Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song d và d’

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u₁^→;u₂^→ lấy M thuộc d; N thuộc d’

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n^→ = [u₁^→; MN^→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và đường thẳng

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ \begin{array}{l} y = – 1\\ z = 5 + 2t \end{array} \end{array}} \right.$

A. x+ 3x= 0     B. y+ 3z= 0     C. x+ 3y= 0     D. z= 0

Hướng dẫn giải:

Trục Oz đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u₁→(0; 0; 1).

Đường thẳng d đi qua điểm N (3; -1;5) và có vecto chỉ phương u₂→( 0; 0; 2)

Ta có: [u₁→, u₁→] = (0; 0; 0); ON^→ = (3; -1; 5)

Do [u₁→, u₂→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng Oz và d song song.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Oz và d song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u₁→, ON→] = (1; 3; 0)

Phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n→ (1; 3; 0) và đi qua điểm O (0; 0; 0) là: x+ 3y = 0

Chọn C.

Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d’

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u₁^→; u₂^→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n^→ = [u₁^→; u₂^→]

• Lấy 1 điểm M trên d

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{1}$ và ${d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}$ có phương trình là

A. (P): x+ y- z+ 2= 0     B. (P) : x- y- z+ 2= 0

C. (P) : x- z+ 2= 0     D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M(-2; -1; 1) và có vecto chỉ phương u₁→ (2; 1; 1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N(-1; 0; 1) và có vecto chỉ phương u₂→ (1; -1; 2)

Ta có: [u₁→,u₂→] = ( 3; -3; -3); MN₁→ (1; 1;0)

Do MN→ . [u₁→,u₂→] = 3. 1+ (- 3).1+ (- 3). 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u₁→,u₂→] = (3; -3; -3) = 3( 1; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x+ 2) – 1( y+ 1) – 1( z- 1) = 0 hay x- y – z + 2= 0

Chọn B.

Dạng 13. Viết $(P)$ đi qua $M$ và giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng: $(Q):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0$ và $(T):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0.$

1. Phương pháp:

Khi đó mọi mặt phẳng chứa $d$ đều có dạng: $(P):m({{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}})+n({{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}})=0,\text{ }{{m}^{2}}+{{n}^{2}}\ne 0.$ Vì $M\in (P)\Rightarrow $ mối liên hệ giữa $m$ và $n.$ Từ đó chọn $m\Rightarrow n$ sẽ tìm được $(P).$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm $M(1;1;2)$ và chứa giao hai mặt phẳng $(P):x + y = 0;(Q):x + 2z + 1 = 0$.

A. 6x+ 3y+ z-10= 0    B. 2x+ 3y-2z- 1 = 0

C. 6x- 3y+ z- 14= 0    D . 2x+ 3y-2z+ 1 = 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng $(R)$ qua giao của $(P)$ và $(Q)$ có dạng: $m(x + y) + n(x + 2{\rm{z}} + 1) = 0$

Vì $(R)$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ nên suy ra: $m + 3n = 0$. Chọn: $m = 3;n = – 1$, thế vào ta được:

$(R): 2x + 3y -2z – 1 = 0$.

Chọn B.

III. Mặt phẳng chứa quan hệ song song

Dạng 14. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x_o; y_o; z_o) và song song với một mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz + D= 0.

1. Phương pháp giải

Cách 1:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n^→(A;B;C)

Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→(A;B;C)

Phương trình mặt phẳng (α):

A(x- x_o) + B. (y – y_o) + C( z- z_o) = 0

Cách 2:

Mặt phẳng (α ) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:

Ax+ By + Cz + D’= 0 (*) với D’ ≠ D

Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x_o; y_o; z_o) nên thay tọa độ điểm M vào (*) tìm đươc D’

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M (-1; 2; 0)$ và song song với mặt phẳng $(Q): x + 2y – 3z + 10 = 0$.

A. x + 2y – 3z – 3= 0    B. x – 2y+ 3z + 5 = 0

C. x+ 2y – 3z +3 = 0    D. – x+ 2y + 10 = 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→(1;2-3) .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến n→(1;2-3) nên có phương trình:

1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0

Chọn A.

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ’; (Δ; Δ’ chéo nhau).

1. Phương pháp giải

Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u₁→ ; u₂→

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n_α→ = [u₁→, u₂→]

Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

$\begin{array}{l} {d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {y = 1 – 2t}\\ {z = 1 + t} \end{array}} \right.\\ {d_2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{2} \end{array}$

A.– 6x+ y+ 2z- 3= 0    B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0

C. 6x+ y- 2z+ 1= 0    D. 6x- y- 2z+ 4= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u₁^→(0;-2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u₂^→(1;2;2)

Ta có: [u₁^→,u₂^→] = ( – 6; 1; 2)

Gọi n^→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có: nên ^→ cùng phương với [u₁^→,u₂^→] . Chọn n^→ ( -6; 1; 2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n^→ (-6; 1; 2) có phương trình là:

– 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z – 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

A. x+ 4y+ z- 27= 0     B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0

C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0    D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→(-4;5-1); CD→(-1;0;-2) => [AB→, CD→] = (10; 9; 5)

Gọi n^→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: nên n^→ cùng phương với [AB^→, CD^→].

Chọn n→ = (10;9;5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n^→ và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:

10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0

Chọn B.

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với (P); (Δ song song (P)).

1. Phương pháp giải

Tìm vecto chỉ phương của ∆ là u→

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n_α→

Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến n_α→ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{2}$ và $(P):4{\rm{x}} – y – z + 1 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và song song với $(P)$.

A. 4x- y- z- 3= 0    B. 2x+ y- z+ 3=0

C. 2x+ z- 3= 0    D. 4x- y- z- 6= 0

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng đi qua điểm M(1; 0; 1) và // $(P)$.

+ Mặt phẳng $(P)$ có vecto pháp tuyến n→(4;-1;-1).

$(Q)$ có phương trình là: $4( x- 1) – 1( y -0) – 1.( z – 1) = 0$

Hay $4x- y- z – 3= 0$.

Chọn A.

IV. Mặt phẳng chứa yếu tố khoảng cách

Dạng 17. Lập phương trình mặt phẳng song song và cách một mặt phẳng cho trước một khoảng cho trước.

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng $(P): 2x+2y+z-1=0$. có bao nhiêu mặt phẳng $(Q)$ song song và cách $(P)$ khoảng bằng 2.

A. $0$                          B. $2$                              C. $3$                                      D. $1$

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng $(Q)$ song song $(P)$ nên có phương trình: $(P): 2x+2y+z+m=0$ và đi qua $M(0;0;-m)$

+ Khoảng cách $d((P),(Q)) = d(M,(P)) = \frac{{\left| { – m – 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 2$ $ \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = 6$ $ \Leftrightarrow m = 5;m = – 7$.

+ Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: $(P): 2x+2y+z+5=0$ hoặc $(P): 2x+2y+z-7=0$

Chọn B.

Dạng 18. Lập phương trình mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng song song cho trước

1. Hướng dẫn

+ Mặt phẳng cần tìm là tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng đã cho.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng $(P):x + y + z = 0;(Q):x + y + z + 2 = 0$. Phương trình mặt phẳng cách đều $(P)$ và $(Q)$ làCách

A. 4x- y- z- 3= 0    

B. x+ y+ z+ 4=0

C. x+y+ z+1= 0    

D. 3x- 2y- z- 6= 0

Hướng dẫn giải

Gọi điểm $M(x;y;z)$ cách đều $(P)$ và $(Q)$. Khi đó: $d(M,(P)) = d(M,(Q))$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + y + z} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {x + y + z + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}$ $\left| {x + y + z} \right| = \left| {x + y + z + 2} \right|$ $ \Leftrightarrow x + y + z = \pm (x + y + z + 2)$ $ \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0$.

Chọn C.

Cách 2:

+ Mặt phẳng song song với (P) và (Q) có dạng: $x+y+z+m=0$ và đi qua $M(0;0;-m)$.

+ Khoảng cách $d(M,(P)) = d(M,(Q))$, suy ra phương trình cần tìm.

Cách 3:

+ mặt phẳng cần tìm song song với (P) và (Q) loại A và D.

+ Chọn M(0;0;-4) thuộc đáp án B, $d(M,(P)) \ne d(M,(Q))$ loại B và chọn C.

Dạng 19. Lập phương trình mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng cắt nhau

1. Phương pháp

+ Mặt phẳng cần tìm là tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng đã cho.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $(P):x + 2y + 2z = 0;(Q):4x + 3y + 1 = 0$. Phương trình mặt phẳng cách đều $(P)$ và $(Q)$ là:

A. $7{\rm{x}} – y – 10{\rm{z}} + 1 = 0 \vee 17{\rm{x}} + 19y + 10{\rm{z}} -1 = 0$    

B. $7{\rm{x}} – y – 10{\rm{z}} + 5 = 0 \vee 17{\rm{x}} + 19y + 10{\rm{z}} + 8 = 0$

C. $10{\rm{x}} – y – 7{\rm{z}} + 3 = 0 \vee 19{\rm{x}} + 17y + 10{\rm{z}} + 3 = 0$    

D. $7{\rm{x}} – y – 10{\rm{z}} + 3 = 0 \vee 17{\rm{x}} + 19y + 10{\rm{z}} + 3 = 0$

Hướng dẫn giải

Gọi $M(x;y;z)$ cách đều $(P)$ và $(Q)$,

$d(M,(P)) = d(M,(Q))$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2y + 2z} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {4x + 3y + 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {0^2}} }}$ $ \Leftrightarrow 5\left| {x + 2y + 2z} \right| = 3\left| {4x + 3y + 1} \right|$ $ \Leftrightarrow 5\left( {x + 2y + 2z} \right) = \pm 3(4x + 3y + 1)$ $ \Leftrightarrow 7{\rm{x}} – y – 10{\rm{z}} + 3 = 0 \vee 17{\rm{x}} + 19y + 10{\rm{z}} + 3 = 0$

Vậy chọn D.

Dạng 20. Lập phương trình mặt phẳng qua một điểm, cách một điểm một khoảng cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + y + z = 0$ và cách điểm $M(1; 2; –1)$ một khoảng bằng $\sqrt 2$.
Hướng dẫn giải
Phương trình mp$(P)$ đi qua $O(0,0,0)$ nên có dạng : $Ax+By+Cz=0                (A^2+B^2+C^2 \ne 0)$.
Vì $(P) \perp (Q)$ nên $\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}=0\Leftrightarrow 1.A+1.B+1.C=0\Leftrightarrow C=-A-B           (1)$
d$(M,(P)) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{\left| {A +2B -C} \right|}{\sqrt{A^2+ B^2+ C^2}}=\sqrt 2 \Leftrightarrow (A + 2B -C)^2 = 2(A^2 + B^2 +C^2)           (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được: $(2A + 3B )^2 = 2(2A^2 + 2B^2 +2AB) \Leftrightarrow 8AB + 5B^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}B=0        (3)\\ 8A+5B=0       (4) \end{matrix}} \right.$
Từ $(3): B = 0, C = –A$. Chọn $A = 1, C = –1 \Rightarrow (P): x – z = 0$
Từ $(4): 8A + 5B = 0$. Chọn $ A = 5, B = –8 \Rightarrow C = 3\Rightarrow (P): 5x – 8y + 3z = 0$ .
 

Dạng 21. Lập phương trình mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau và cách một điểm một khoảng cho trước

Ví dụ 1. (Đại học Khối $D-2010$)
Trong không gian toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x + y + z − 3 = 0$ và $(Q): x − y + z − 1 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ vuông góc với $(P)$ và $(Q)$ sao cho khoảng cách từ $O $ đến $(R)$ bằng $\sqrt 2.$
Hướng dẫn giải :
Ta có vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là
$\overrightarrow{n_P}= (1; 1; 1) $ và $\overrightarrow{n_Q}= (1; − 1; 1)$, suy ra:
$\left[ {\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}} \right]= (2; 0; −2) $ là vectơ pháp tuyến của $(R)$.
Mặt phẳng $(R)$ có phương trình dạng $x − z + D = 0. $
Ta có d$(O,(R)) = \frac{|D|}{\sqrt 2}$, suy ra: $\frac{|D|}{\sqrt 2}=  2 \Leftrightarrow D = 2\sqrt 2 $  hoặc $D = −2 \sqrt 2 .$
Vậy phương trình mặt phẳng $(R): x − z + 2\sqrt 2 = 0$  hoặc $ x − z − 2\sqrt 2 = 0.$

Dạng 22. Lập phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và tiếp xúc mặt cầu

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 2y – 4z + 2 = 0$ . Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với $d$ và trục $Ox$, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S).$
Lời giải :
$(S)$ có tâm $I(1; 1; 2),$ bán kính $R = 2$.
$d$ có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;2;1)$ .
$\begin{cases}(P) \parallel d \\(P) \parallel Ox \end{cases} \Rightarrow (P) $ có VTPT $\overrightarrow{n} = \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}} \right] = (0;1;-2)$. Trong đó $\overrightarrow{u}=(1,0,0)$ là VTCP của trục $Ox$.
Suy ra PT của $(P)$ có dạng: $y – 2z + D = 0$ .
$(P)$ tiếp xúc với $(S) \Leftrightarrow $ d$(I,(P)) = R \Leftrightarrow \frac{\left| {1-4+D} \right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2\Leftrightarrow |D-3|=2\sqrt 5\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} D=3+2\sqrt 5\\ D=3-2\sqrt 5\end{matrix}} \right.$
Vậy
$(P): y – 2z + 3+2\sqrt 5 = 0 $  hoặc   $(P): y – 2z + 3 – 2\sqrt 5 = 0$ .

Dạng V: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

 Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $(d): \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2}$ và tạo với mặt phẳng $(P) : 2x – 2y – z +1 = 0$ một góc $60^\circ$. Tìm tọa độ giao điểm $M$ của mặt phẳng $(Q)$ với trục $Oz.$
Hướng dẫn giải
$(d)$ qua điểm $A(1;0;0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (1;-1;-2)$
$(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_P} = (2;-2;-1) .$
Giao điểm $M(0;0;m)$ cho $\overrightarrow{AM} = (-1;0;m)$
$(Q)$ có VTPT $\overrightarrow{n_Q} =\left[ {\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}} \right]= (m;m – 2;1)$
$(Q)$ và $(P): 2x – 2y – z +1 = 0 $ tạo thành góc $60^\circ$ nên :
$|\cos (\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_P})|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2m^2-4m+5}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2m^2-4m+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}m=2 – \sqrt 2\\ m=2 + \sqrt 2 \end{matrix}} \right.$
Kết luận : $M(0;0;2 – \sqrt 2)$ hay $M(0;0;2 + \sqrt 2)$.

VI. CÁC BÀI TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC

Bài $1$. (Đại học Khối $B-2010$)
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm $A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$, trong đó $b, c$ dương và mặt phẳng $(P): y − z + 1 = 0.$ Xác định $b$ và $c$, biết mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\frac{1}{3}$.
Hướng dẫn :
Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình: $\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P): y − z + 1 = 0$, suy ra: $\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0        (1)$
Ta có: d$(O, (ABC)) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{\displaystyle{1+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}}= \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=8         (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, do $b, c > 0$ suy ra $b = c =\frac{1}{2} $.
Bài $2$. (Đại học Khối $B-2009$)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1)$ và $D(0;3;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ sao cho khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$.
Hướng dẫn :
Trường hợp $1 : (P) \parallel  CD$. Ta có : $\overrightarrow{AB}= (-3;-1;2),\overrightarrow{CD} =(-2;4;0)$
$\Rightarrow (P)$  có VTPT $\overrightarrow{n}= ( -8; -4; -14)$ hay $\overrightarrow{n}=(4;2;7)$
$\Rightarrow (P) :4(x- 1)+ 2(y- 2) +7(z -1)= 0\Leftrightarrow 4x+ 2y +7z -15= 0$
Trường hợp $2:  (P) $ qua $I(1;1;1)$ là trung điểm $CD$
Ta có $\overrightarrow{AB}= ( 3; 1;2), \overrightarrow{AI}= (0; 1;0)$
$\Rightarrow (P)$  có VTPT $\overrightarrow{n}= ( 2;0;3)$
$(P) :2(x -1) +3(z-1)= 0\Leftrightarrow 2x +3z- 5= 0$

VII. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI
$1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho $2$ đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2 )$ có phương trình:
$(d_1) : \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}, (d_2) : \frac{x-4}{6}=\frac{y-1}{9}=\frac{z-3}{3}$.
Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $(d_1 )$ và $(d_2 )$.
$2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x – 4y – 4 = 0$ và
mặt phẳng $(P): x + z – 3 = 0 $. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(3;1;-1)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S).$
$3.$ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm $A(1;2;3) , B(0;-1;2) ,C(1;1;1) $. Viết phương trình mặt phẳng $ (P) $ đi qua $A$ và gốc tọa độ $O$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ .
$4.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 5x – 2y + 5z -1 = 0$ và $(Q) : x – 4y – 8z +12 = 0 $. Lập phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $M$ trùng với gốc tọa độ $O$, vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tạo với mặt phẳng $(Q)$ một góc $45^\circ.$

———————–