Phương trình mũ và logarit

Phương pháp hàm số

I. Phương pháp hàm

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f (x) tăng, g(x) giảm trên khoảng (a;b) và f(c)=g(c), cÎ(a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có duy nhất nghiệm x=c.

Hệ quả: Nếu $f'(x)>0$với mọi $x\in K$và tồn tại ${{x}_{0}}\in K$ sao cho: $f({{x}_{0}})=0$thì phương trình $f(x)=0$có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}$thuộc k.

II. Một số dạng thường gặp

Dạng 1. Dạng $A.{{a}^{x}}+B.{{b}^{x}}=C.{{c}^{x}}$

Ví dụ 1: Giải phương trình ${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}$.

Hướng dẫn và lời giải

Chia hai vế cho ${{5}^{x}}>0$ta được: ${{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}=1$.

Đặt: $f(x)={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}$

Khi đó:$f'(x)={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{3}{5}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{5}<0;\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra hàm số $f(x)$luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Suy ra phương trình:$f(x)=1$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác:$f(2)={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1.$

Do đó: Phương trình có nghiệm duy nhất x=2.

Bài tập

Giải các phương trình sau:

a)${{6}^{x}}+{{8}^{x}}={{10}^{x}}$

b)${{5}^{x}}+{{12}^{x}}={{13}^{x}}$

c) ${{4}^{x}}+3={{7}^{x}}$

Dạng 2. Dạng $A.{{a}^{x}}=B.(b\text{x}+c)$

Ví dụ: Giải phương trình: ${{3}^{x}}=5-2x.$

Hướng dẫn và lời giải

Cách 1.

Đặt: $f(x)={{3}^{x}}=>f'(x)={{3}^{x}}\ln 3>0;\forall x\in \mathbb{R}.$ Hàm số $f(x)$đồng biến trên $\mathbb{R}$.

$g(x)=5-2\text{x}=>g'(x)=-2<0;\forall x\in \mathbb{R}.$ Hàm số $g(x)$nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Phương trình $f(x)=g(x)$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(1)=g(1)$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$x=1$.

Cách 2.

Phương trình đã cho tương đương với:${{3}^{x}}+2\text{x}-5=0.$

Đặt: $f(x)={{3}^{x}}+2\text{x}-5=>f'(x)={{3}^{x}}\ln 3+2>0;\forall x\in \mathbb{R}.$ Hàm số $f(x)$đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Phương trình $f(x)=0$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(1)=0$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$x=1$.

Bài tập

Giải các phương trình sau:

a) ${{7}^{x-1}}=6x-5$

b) ${{7}^{x}}=x+3$

Dạng 3. Dạng $\log (ax+b)=c\text{x}+d$

Ví dụ. Giải phương trình sau:${{\log }_{3}}(x+1)=3-x.$

Hướng dẫn và lời giải

Cách 1.

Điều kiện: $D=\left( -1;+\infty  \right)$.

Đặt: $f(x)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=>f'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 3}>0;\forall x>-1.$ Hàm số $f(x)$đồng biến trên $\left( -1;+\infty  \right)$.

$g(x)=3-\text{x}=>g'(x)=-1<0;\forall x>-1.$ Hàm số $g(x)$nghịch biến trên $\left( -1;+\infty  \right)$.

Phương trình $f(x)=g(x)$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(2)=g(2)$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$x=2.$

Cách 2.

Phương trình đã cho tương đương với:${{\log }_{3}}(x+1)+\text{x}-3=0.$

Đặt: $f(x)={{\log }_{3}}(x+1)+x-3=>f'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 3}+1>0;\forall x>-1.$

Hàm số $f(x)$đồng biến trên $(-1;+\infty )$.

Phương trình $f(x)=0$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(2)=0$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$x=2.$

Dạng 4. Dạng ${{\log }_{a}}(b\text{x}+c)={{\log }_{d}}(ex+h)$

Ví dụ 1. Giải phương trình ${{\log }_{7}}x={{\log }_{3}}(\sqrt{x}+2)$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện:$x>0$.

Đặt: $t={{\log }_{7}}x\left( * \right)$.

Khi đó $x={{7}^{t}}$

Phương trình trở thành: $t={{\log }_{3}}(\sqrt{{{7}^{t}}}+2)\Leftrightarrow {{3}^{t}}=\sqrt{{{7}^{t}}}+2\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}-1=0.(**)$

Đặt: $f(t)={{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}-1$

$f'(t)={{\left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)+2.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{1}{3} \right)<0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Suy ra $f(x)$đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên phương trình $f(t)=0$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(2)=0$. Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất $t=2$.

Thay vào (*) ta được: ${{\log }_{7}}x=2\Leftrightarrow x={{7}^{2}}=49$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=49.$

Ví dụ 2. Giải phương trình:${{\log }_{6}}\left( x+1 \right)={{\log }_{5}}x$

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện:$x>0$.

Đặt: $t={{\log }_{5}}x\left( * \right)$.

Khi đó $x={{5}^{t}}$

Phương trình trở thành: $t={{\log }_{6}}({{5}^{t}}+1)\Leftrightarrow {{6}^{t}}={{5}^{t}}+1\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}-1=0.(**)$

Đặt: $f(t)={{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}-1$

$f'(t)={{\left( \frac{5}{6} \right)}^{t}}\ln \frac{5}{6}+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{t}}\ln \frac{1}{6}<0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Suy ra $f(x)$đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên phương trình $f(t)=0$có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(1)=0$. Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất

Thay vào (*) ta được: ${{\log }_{5}}x=1\Leftrightarrow x={{5}^{1}}=5$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5.$

Bài tập

Giải phương trình sau:

a) ${{\log }_{5}}\left( x+2 \right)={{\log }_{3}}x$

b) ${{\log }_{7}}\left( x+5 \right)={{\log }_{2}}x$

Dạng 5. Dạng ${{\log }_{a}}g(x)=h(x).$

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}=3-x$

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $0<x<3.$

Phương trình đã cho tương đương với:${{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}+x-3=0$

Đặt: $f(x)={{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}+x-3=>f'(x)={{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}.\frac{1}{x\ln 2}+1>0;\forall x\in \left( 0;3 \right).$

Hàm số $f(x)$đồng biến trên $(0;3)$.

Phương trình $f(x)=0$có nghiệm duy nhất thuộc $(0;3)$ .

Mặt khác: $f(1)=0$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$x=1.$

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${{\log }_{2}}\left( x+{{3}^{{{\log }_{6}}x}} \right)={{\log }_{6}}x$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $x>0.$

Đặt $t={{\log }_{6}}x\Leftrightarrow x={{6}^{t}}(*)$, phương trình tương đương: ${{6}^{t}}+{{3}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{3}^{t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1=0$.

Đặt: $f(x)={{3}^{t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1$

$f'(x)={{3}^{t}}\ln 3+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}\ln \frac{3}{2}>0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Hàm số $f(t)$đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Phương trình $f(t)=0$có nghiệm duy nhất .

Mặt khác: $f(-1)=0$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$t=-1.$

Thế vào (*) ta được: $x={{6}^{-1}}=\frac{1}{6}$

Bài tập

Giải phương trình sau:

a) ${{7}^{x-1}}=6{{\log }_{7}}(6x-5)+1$

b) ${{\log }_{5}}\left( x+{{3}^{{{\log }_{2}}x}} \right)={{\log }_{2}}x$

Dạng 6. Dạng ${{a}^{{{\log }_{b}}\left( x+c \right)}}=x$.

Điều kiện: b = a + c.

Phương pháp: Đặt $t={{\log }_{b}}(x+c)$

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${{4}^{{{\log }_{7}}\left( x+3 \right)}}=x$.

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${{3}^{{{\log }_{7}}\left( x+4 \right)}}=x$.

——————-

Xem thêm: