PHƯƠNG TRÌNH MŨ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A. Phương trình mũ cơ bản

${a^x} = b{\rm{ }}\left( {a > 0,{\rm{ }}a \ne 1} \right)$

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi $b>0$.

●   Phương trình vô nghiệm khi $b\le 0$.

B. Các phương pháp giải phương trình mũ

1. Phương pháp biến đổi, quy về cùng cơ số

${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1$

Hoặc

$\left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1\\ f\left( x \right) = g\left( x \right) \end{array} \right.$

2. Phương pháp Đặt ẩn phụ loại I

Đặt ẩn phụ đưa phương trình hoàn toàn theo biến mới

+ dạng: A.t²+B.t+C=0

+ dạng: A.t3+B.t²+Ct+d=0

$f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0{;}\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = {a^{g\left( x \right)}} > 0\\ f\left( t \right) = 0 \end{array} \right.$

Ta thường gặp các dạng:

●   $m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{a}^{f\left( x \right)}}+p=0$

●   $m.{{a}^{f\left( x \right)}}+n.{{b}^{f\left( x \right)}}+p=0$, trong đó $a.b=1$.

Phương pháp giải:

Đặt $t={{a}^{f\left( x \right)}},\text{  }t>0$,

suy ra ${{b}^{f\left( x \right)}}=\frac{1}{t}$.

●   $m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( a.b \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{b}^{2f\left( x \right)}}=0$.

Phương pháp giải

Chia hai vế cho ${{b}^{2f\left( x \right)}}$  và đặt ${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f\left( x \right)}}=t>0$.

3. Phương pháp Logarit hóa

●   Phương trình

${a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,{\rm{ }}b > 0\\ f\left( x \right) = {\log _a}b \end{array} \right.$

●   Phương trình

${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b$

Hoặc

${\log _b}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _b}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{\log _b}a = g\left( x \right)$

4. Phương pháp đánh giá

Phương pháp đánh giá

Các tính chất

$\begin{matrix} \bullet & a>1;{{a}^{u(x)}} \\ \end{matrix}\underset{\left( \begin{matrix} > \\ \le \\ < \\ \end{matrix} \right)}{\mathop{\ge }}\,{{a}^{v(x)}}\Leftrightarrow u(x)\underset{\left( \begin{matrix} > \\ \le \\ < \\ \end{matrix} \right)}{\mathop{\ge }}\,v(x)$

$\begin{array}{*{20}{c}} \bullet &{0 < a < 1;{a^{u(x)}}} \end{array}\mathop \ge \limits_{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} > \\ \le \\ < \end{array}} \right)} {a^{v(x)}} \Leftrightarrow u(x)\mathop \le \limits_{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} < \\ \ge \\ > \end{array}} \right)} v(x)$

Ví dụ 1

Giải phương trình: ${{4}^{x}}+{{5}^{x}}=9$

Hướng dẫn và lời giải

Ta có:

$\begin{matrix} \bullet & x=1:{{4}^{1}} \\ \end{matrix}+{{5}^{1}}=9.$

Suy ra $x=1$ là nghiệm của phương trình.

$\begin{align} & \begin{matrix} \bullet & \forall x>1:\underline{\left\{ \begin{matrix} {{4}^{x}}>{{4}^{1}}=4 \\ {{5}^{x}}>{{5}^{1}}=5 \\ \end{matrix} \right.} \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \begin{matrix} {} & \Rightarrow \\ \end{matrix} & {{4}^{x}} \\ \end{matrix}+{{5}^{x}}>{{4}^{1}}+{{5}^{1}}=9 \\ \end{align}$.

Suy ra phương trình không có nghiệm với $\forall x>1.$

$\begin{align} & \begin{matrix} \bullet & \forall x<1:\underline{\left\{ \begin{matrix} {{4}^{x}}<{{4}^{1}}=4 \\ {{5}^{x}}<{{5}^{1}}=5 \\ \end{matrix} \right.} \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \begin{matrix} {} & \Rightarrow \\ \end{matrix} & {{4}^{x}} \\ \end{matrix}+{{5}^{x}}<{{4}^{1}}+{{5}^{1}}=9 \\ \end{align}$

Suy ra phương trình không có nghiệm với $\forall x>1.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất :$x=1.$

Ví dụ 2:

Giải phương trình:${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}$

Hướng dẫn và lời giải

Chia hai vế của phương trình cho ${{5}^{x}}>0.$Ta được: ${{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}=1.$

Ta có:

$\begin{matrix} \bullet & x=2:{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}} \\ \end{matrix}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1.$

Suy ra $x=2$ là nghiệm của phương trình.

$\begin{align} & \begin{matrix} \bullet & \forall x>2:\underline{\left\{ \begin{matrix} {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}<{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}=\frac{9}{25} \\ {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}<{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}=\frac{16}{25} \\ \end{matrix} \right.} \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \begin{matrix} {} & \Rightarrow \\ \end{matrix} & {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}<\frac{9}{25}+\frac{16}{25} \\ \end{matrix}=1 \\ \end{align}$

Suy ra phương trình không có nghiệm với $\forall x>2.$

$\begin{align} & \begin{matrix} \bullet & \forall x<2:\underline{\left\{ \begin{matrix} {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}>{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}=\frac{9}{25} \\ {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}>{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}=\frac{16}{25} \\ \end{matrix} \right.} \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \begin{matrix} {} & \Rightarrow \\ \end{matrix} & {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}>\frac{9}{25}+\frac{16}{25} \\ \end{matrix}=1 \\ \end{align}$

Suy ra phương trình không có nghiệm với $\forall x<2.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất :$x=2.$

Bài tập

Giải các phương trình sau:

a)${{6}^{x}}+{{8}^{x}}={{10}^{x}}$

b)${{5}^{x}}+{{12}^{x}}={{13}^{x}}$

c)${{3}^{x+1}}+{{4}^{x+2}}=19$

d)${{2}^{x}}=3-x$

5. Phương pháp hàm

5.1. Loại 1. Giao của hai hàm số đơn điệu.

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm $f(x)$ tăng, $g(x)$ giảm trên khoảng (a;b) và $f(x)=g(x)$, $c \in \left( {a;b} \right)$ thì phương trình $f(x) = g(x)$ có duy nhất nghiệm $x=c$.

Hệ quả: Nếu $f'(x)>0$ với mọi $x\in K$ và tồn tại ${{x}_{0}}\in K$ sao cho: $f({{x}_{0}})=0$ thì phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}$ thuộc $k$.

5.1.1. Dạng 1. Dạng $A.{{a}^{x}}+B.{{b}^{x}}=C.{{c}^{x}}$

Ví dụ 1:

Giải phương trình ${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}$.

Hướng dẫn và lời giải

Chia hai vế cho ${{5}^{x}}>0$ta được: ${{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}=1$.

Đặt: $f(x)={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}$

Khi đó:$f'(x)={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{3}{5}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{5}<0;\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra hàm số $f(x)$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Suy ra phương trình:$f(x)=1$ có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(2)={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1.$

Do đó: Phương trình có nghiệm duy nhất: x=2.

Bài tập

Giải các phương trình sau:

a) ${{6}^{x}}+{{8}^{x}}={{10}^{x}}$

b) ${{5}^{x}}+{{12}^{x}}={{13}^{x}}$

c) ${{4}^{x}}+3={{7}^{x}}$

5.1.2. Dạng 2. Dạng $A.{{a}^{x}}=B.(b\text{x}+c)$

Ví dụ: Giải phương trình: ${{3}^{x}}=5-2x$.

Hướng dẫn và lời giải

Cách 1.

Đặt: $f(x)={{3}^{x}}=>f'(x)={{3}^{x}}\ln 3>0;\forall x\in \mathbb{R}.$ Hàm số $f(x)$đồng biến trên $\mathbb{R}$.

$g(x)=5-2\text{x}=>g'(x)=-2<0;\forall x\in \mathbb{R}.$ Hàm số $g(x)$nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Phương trình $f(x)=g(x)$ có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(1)=g(1)$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$.

Cách 2.

Phương trình đã cho tương đương với:${{3}^{x}}+2\text{x}-5=0.$

Đặt: $f(x)={{3}^{x}}+2\text{x}-5=>f'(x)={{3}^{x}}\ln 3+2>0;\forall x\in \mathbb{R}.$ Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(1)=0$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$.

Bài tập

Giải các phương trình sau:

a) ${{7}^{x-1}}=6x-5$

b) ${{7}^{x}}=x+3$

5.1.3. Dạng 3. Kết hợp mũ và loga: $a.{{b}^{{{\log }_{c}}f(x)}}=g(x)$

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}=3-x$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $0<x<3.$

Phương trình đã cho tương đương với:${{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}+x-3=0$

Đặt: $f(x)={{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}+x-3=>f'(x)={{2.3}^{{{\log }_{2}}x}}.\frac{1}{x\ln 2}+1>0;\forall x\in \left( 0;3 \right).$

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0;3)$.

Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất thuộc $(0;3)$ .

Mặt khác: $f(1)=0$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1.$

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${{\log }_{2}}\left( x+{{3}^{{{\log }_{6}}x}} \right)={{\log }_{6}}x$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện: $x>0.$

Đặt $t={{\log }_{6}}x\Leftrightarrow x={{6}^{t}}(*)$, phương trình tương đương: ${{6}^{t}}+{{3}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{3}^{t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1=0$.

Đặt: $f(x)={{3}^{t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1$

$f'(x)={{3}^{t}}\ln 3+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}\ln \frac{3}{2}>0;\forall t\in \mathbb{R}.$

Hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Phương trình $f(t)=0$ có nghiệm duy nhất .

Mặt khác: $f(-1)=0$. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $t=-1.$

Thế vào (*) ta được: $x={{6}^{-1}}=\frac{1}{6}$

Bài tập

Giải phương trình sau:

a) ${{7}^{x-1}}=6{{\log }_{7}}(6x-5)+1$

b) ${{\log }_{5}}\left( x+{{3}^{{{\log }_{2}}x}} \right)={{\log }_{2}}x$

5.1.4. Dạng 4. Dạng ${{a}^{{{\log }_{b}}\left( x+c \right)}}=x$

( Điều kiện: b = a + c )

Phương pháp: Đặt $t={{\log }_{b}}(x+c)$

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${{4}^{{{\log }_{7}}\left( x+3 \right)}}=x$.

Hướng dẫn và lời giải

Điều kiện:$\mathbf{x}>-\mathbf{3}$.

Đặt:$t={{\log }_{7}}(x+3)$, suy ra: $x={{7}^{t}}-3(*)$.

Khi đó phương trình đã cho có dạng: ${{4}^{t}}={{7}^{t}}-3\Leftrightarrow {{4}^{t}}+3={{7}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{7} \right)}^{t}}+3.{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}-1=0.(**)$

Đặt: $f(t)={{\left( \frac{4}{7} \right)}^{t}}+3.{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}-1$

$f'(t)={{\left( \frac{4}{7} \right)}^{t}}\ln \frac{4}{7}+3.{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}\ln \frac{1}{7}<0;\forall t$

Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên $f(t)=0$ có nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f(1)=0$, vậy phương trình (**) có nghiệm duy nhất $t=1.$

Thay vào (*) ta có: $x={{7}^{1}}-3=4.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=4$.

Bài tập: Giải phương trình: ${{3}^{{{\log }_{7}}\left( x+4 \right)}}=x$.

5.1.5. Dạng 5. Đạo hàm cấp 2

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}=3x+2$.

Hướng dẫn và lời giải

Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2$

$f’\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3+{{2}^{x}}\ln 2-3$

$f”\left( x \right)={{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3+{{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2>0$

Có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f'(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{3}^{x}}\ln 3+{{2}^{x}}\ln 2-3)=+\infty $

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f'(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,({{3}^{x}}\ln 3+{{2}^{x}}\ln 2-3)=-3$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm duy nhất x₀.

Từ đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình $f(x)=0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Mặt khác: $f(0)=f(1)=0$

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm: x = 0 và x = 1.

5.2. Loại 2: Hàm đơn điệu.

Các tính chất

Tính chất 2: Nếu hàm f  tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì “u, v Î(a,b) ta có:$f(u)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$.

Ví dụ 1. Giải phương trình:$-{{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{2}^{x-1}}={{(x-1)}^{2}}$.

Hướng dẫn và lời giải

Viết lại phương trình dưới dạng: ${{2}^{x-1}}+x-1={{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{x}^{2}}-x$.

Xét hàm số: $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$

Có: $f\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0;\forall t$, Suy ra $f(t)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Mặt khác:  $f\left( x-1 \right)=f\left( {{x}^{2}}-x \right)$.

Do vậy: $x-1={{x}^{2}}-x\Leftrightarrow x=1$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.

6. Phương pháp nhóm nhân tử chung

Ví dụ 1: Giải phương trình: ${{2}^{{{x}^{2}}+x}}-{{4.2}^{{{x}^{2}}-x}}-{{2}^{2x}}+4=0$.

Lời giải

${{2}^{{{x}^{2}}+x}}-{{4.2}^{{{x}^{2}}-x}}-{{2}^{2x}}+4=0\Leftrightarrow \left( {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-1 \right).\left( {{2}^{2x}}-4 \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^{{x^2} – x}} = 1}\\ {{2^{2{\rm{x}}}} = 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} – x = 0}\\ {2{\rm{x}} = 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.$

Bài tập: Giải các phương trình sau

a) _{${{6}^{x}}-{{3}^{x}}-{{2}^{x+1}}-2=0$}                                      

b) x².2^x + 4x + 8 = 4.x² + x.2^x + 2^{x + 1}

c) ${{18}^{x}}-{{9}^{x}}-{{2.6}^{x}}+{{2.3}^{x}}-{{3.2}^{x}}+3=0$                             

d) 8 -x.2^x + 2^{3 – x} – x = 0

7. Phương pháp đặt ẩn phụ loại 2

(đưa một phần biến cũ theo biến mới)

Ví dụ 1:  Giải phương trình: ${{9}^{x}}+2(x-2){{3}^{x}}+2x-5=0$.

Hướng dẫn và lời giải

Đặt $t=\text{ }{{3}^{x}}>0$(*), khi đó ta có: ${{t}^{2}}+2\left( x-2 \right)t+2x-5=0$.

Có $a-b+c=1-2\left( x-2 \right)+2x-5=0$

Phương trình có nghiệm: $t=-1(loai);t=5-2x$

Thay vào (*) ta được:${{3}^{x}}=5-2\text{x}\Leftrightarrow {{3}^{x}}+2\text{x-5=0}$.

Đặt $f(x)={{3}^{x}}+2\text{x-5}=>f'(x)={{3}^{x}}\ln 3+2>0;\forall x$

Suy ra $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất.

Mặt khác $f(1)=0$, Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=1.$

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi Delta là số chính phương.

Bài tập:

a) Giải phương trình: ${{4}^{x}}+\left( x-5 \right){{.2}^{x}}-2x+6=0$.

b) Giải phương trình: ${{9}^{x}}+\left( 5x+2 \right){{.3}^{x}}+15x-3=0.$

8. Phương pháp đặt ẩn phụ loại 3

(Đặt ẩn phụ đưa về hệ)

Ví dụ 1: Giải phương trình ${{7}^{x-1}}=6{{\log }_{7}}(6x-5)+1$.

Hướng dẫn và lời giải

Đặt $y-1={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)$.

Đưa về hệ:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {7^{x – 1}} = 6\left( {y – 1} \right) + 1\\ y – 1 = {\log _7}\left( {6x – 5} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {7^{x – 1}} = 6y – 5\\ {7^{y – 1}} = 6x – 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {7^{x – 1}} + 6x = {7^{y – 1}} + 6y \end{array}$

Xét hàm số:$f\left( t \right)={{7}^{t-1}}+6t$

Có:$f’\left( t \right)={{7}^{t-1}}\ln 7+6>0;\forall t$, Suy ra hàm số đồng biến.

Mặt khác có:$f(x)=f(y)$, Suy ra x=y.

Khi đó: ${{7}^{x-1}}-6x+5=0$.

Xét hàm số: $g\left( x \right)={{7}^{x-1}}-6x+5$

$g’\left( x \right)={{7}^{x-1}}\ln 7-6$

$g”\left( x \right)={{7}^{x-1}}{{\left( \ln 7 \right)}^{2}}>0$

Có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g'(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{7}^{x-1}}\ln 7-6)=+\infty $

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g'(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,({{7}^{x-1}}\ln 7-6)=-6$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình $g'(x)=0$ có nghiệm duy nhất x₀.

Từ đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình $g(x)=0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Mặt khác: $g(1)=g(2)=0$

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm: x = 1 và x = 2.

Dạng tổng quát: ${{s}^{ax+b}}=c{{\log }_{s}}\left( dx+e \right)+\alpha x+\beta $, Điều kiện: $d=ac+\alpha ,e=bc+\beta $

Phương pháp:  Đặt $ay+b={{\log }_{s}}(dx+e)$rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ${{s}^{ax+b}}+acx={{s}^{ay+b}}+acy$. Xét $f\left( t \right)={{s}^{at+b}}+act$.

C. Luyện tập

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Cho phương trình ${{3}^{{{x}^{2}}-4x+5}}=9$ tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là:

A.$28$                      B.$27$                          C.$26$                          D.$25$

Hướng dẫn giải

${3^{{x^2} – 4x + 5}} = 9 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\
x = 3
\end{array} \right.$

Suy ra ${{1}^{3}}+{{3}^{3}}=28$. Chọn đáp án A

Câu 2. Cho phương trình : ${{3}^{{{x}^{2}}-3x+8}}={{9}^{2\text{x}-1}}$ , khi đó tập nghiệm của phương trình là:

A.$S=\left\{ 2;5 \right\}$                                     

B. $S=\left\{ \frac{-5-\sqrt{61}}{2};\frac{-5+\sqrt{61}}{2} \right\}$

C. $S=\left\{ \frac{5-\sqrt{61}}{2};\frac{5+\sqrt{61}}{2} \right\}$       

D. $S=\left\{ -2;-5 \right\}$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}
{3^{{x^2} – 3x + 8}} = {9^{2{\rm{x}} – 1}}\
\Leftrightarrow {3^{{x^2} – 3x + 8}} = {3^{4{\rm{x}} – 2}}\
\Leftrightarrow {x^2} – 3x + 8 = 4{\rm{x}} – 2\
\Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 5}\
{x = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Vậy $S=\left\{ 2;5 \right\}$

Câu 3. Phương trình ${{3}^{1-x}}=2+{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}$ có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 1.                         B. 3.                              C. 2.                              D. 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với:

$\frac{3}{{{3}^{x}}}=2+{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}=2+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x}}$.

Đặt $t={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}$, $t>0$. Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}
3t = 2 + {t^2}\
\Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\
t = 2
\end{array} \right.
\end{array}$

● Với $t=1$, ta được ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$.

● Với $t=2$, ta được ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}=2\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{1}{3}}}2=-{{\log }_{3}}2<0$.

Vậy phương trình có một nghiệm âm.

Câu 4. Số nghiệm của phương trình ${{9}^{\frac{x}{2}}}+9.{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2x+2}}-4=0$ là:

A. 2.                         B. 4.                              C. 1.                              D. 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với

$\begin{array}{l}
{3^x} + 9.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x + 1}} – 4 = 0\
\Leftrightarrow {3^x} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} – 4 = 0\
\Leftrightarrow {3^x} + 3.\frac{1}{{{3^x}}} – 4 = 0\
\Leftrightarrow {3^{2x}} – {4.3^x} + 3 = 0
\end{array}$

Đặt $t={{3}^{x}}$, $t>0$.

Phương trình trở thành

$\begin{array}{l}
3t = 2 + {t^2}\
\Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\
t = 2
\end{array} \right.
\end{array}$

● Với $t=1$, ta được ${{3}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$.

● Với $t=3$, ta được ${{3}^{x}}=3\Leftrightarrow x=1$.

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$, $x=1$.

Câu 5. Cho phương trình : ${{2}^{\left| \frac{28}{3}x+4 \right|}}={{16}^{{{\text{x}}^{2}}-1}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên .

C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D. Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right|}} = {16^{{{\rm{x}}^2} – 1}}$

$ \Leftrightarrow \left| {\frac{{28}}{3}x + 4} \right| = 4\left( {{{\rm{x}}^2} – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le – 1 \vee x \ge 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {7x + 3 = 3{{\rm{x}}^2} – 3}\\ {7x + 3 = – 3{{\rm{x}}^2} + 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le – 1 \vee x \ge 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 \vee x = – \frac{2}{3}}\\ {x = 0 \vee x = – \frac{7}{3}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\ {x = – \frac{7}{3}} \end{array}} \right.$

Nghiệm của phương trình là : $S=\left\{ -\frac{7}{3};3 \right\}$.

Vì $-\frac{7}{3}.3=-7<0$. Chọn đáp án A

Câu 6. Phương trình  ${{2}^{8-{{x}^{2}}}}{{.5}^{8-{{x}^{2}}}}=0,001.{{\left( {{10}^{5}} \right)}^{1-x}}$ có tổng các nghiệm là:

A. 5                           B. 7                               C. 7                               D. – 5

Hướng dẫn giải

${\left( {2.5} \right)^{8 – {x^2}}} = {10^{ – 3}}{.10^{5 – 5x}}$

$ \Leftrightarrow {10^{8 – {x^2}}} = {10^{2 – 5x}}$

$ \Leftrightarrow 8 – {x^2} = 2 – 5x$

Ta có : $-1+6=5$. Chọn đáp án A

Câu 7. Phương trình ${{9}^{x}}-{{5.3}^{x}}+6=0$ có nghiệm là:

A.$x=1,x={{\log }_{3}}2$                               

B. $x=-1,x={{\log }_{3}}2$

C. $x=1,x={{\log }_{2}}3$

D. $x=-1,x=-{{\log }_{3}}2$

Hướng dẫn giải

Đặt $t={{3}^{x}}$ ($t>0$), khi đó phương trình đã cho tương đương với

${t^2} – 5t + 6 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\
t = 3
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {\log _3}2\
x = 1
\end{array} \right.$

Câu 8. Cho phương trình ${{4.4}^{x}}-{{9.2}^{x+1}}+8=0$. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó,   tích ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$ bằng :

A.$-2$                      B. $2$                          

C. $-1$                          D. $1$

Hướng dẫn giải

Đặt $t={{2}^{x}}$ ($t>0$), khi đó phương trình đã cho tương đương với

$4{t^2} – 18t + 8 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 4\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 2\
{x_2} = – 1
\end{array} \right.$

Vậy ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1.2=-2$. Chọn đáp án A

Câu 9. Cho phương trình ${{4}^{x}}-{{4}^{1-x}}=3$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Phương trình vô nghiệm

B. Phương trình có một nghiệm

C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0

D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: ${{4}^{2\text{x}}}-{{3.4}^{x}}-4=0$

Hướng dẫn giải

Đặt $t={{4}^{x}}$ ($t>0$), khi đó phương trình đã cho tương đương với

${t^2} – 3t – 4 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 4\
t = – 1(L)
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow x = 1$

Chọn đáp án A

Câu 10. Cho phương trình ${{9}^{{{x}^{2}}+x-1}}-{{10.3}^{{{x}^{2}}+x-2}}+1=0.$ Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

A.$-2$                      B. $2$                          

C. $1$                           D. $0$

Hướng dẫn giải

Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}+x-1}}$ ($t>0$), khi đó phương trình đã cho tương đương với

$3{t^2} – 10t + 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3\
t = \frac{1}{3}
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{3^{{x^2} + x – 1}} = 3\
{3^{{x^2} + x – 1}} = \frac{1}{3}
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 2\
x = 1\
x = 0\
x = – 1
\end{array} \right.$

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng $-2.$

Chúc các bạn thành công!