PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I – LÝ THUYẾT

Phương trình bậc nhất hai ẩn.

Có dạng $ ax+by=c\text{  (}a,b,c\in \mathbb{R},\text{ }{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0)$.

Cặp số $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ gọi là nghiệm của phương trình $ax+by=c$nếu  $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$thỏa mãn phương trình $ax+by=c$.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình $ax+by=c$ trong mặt phẳng là một đường thẳng $d:ax+by=c\Leftrightarrow y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}$.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Có dạng :

\[\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ a’x + b’y = c’ \end{array} \right.\]

với $x,y$là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.

Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.

Ký hiệu:

\[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}\]

\[{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}}\\ {{c_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = {c_1}{b_2} – {c_2}{b_1}\]

\[{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{c_2} – {a_2}{c_1}\]

Xét D Kết quả
$D\ne 0$ Hệ có nghiệm duy nhất $x=\frac{{{D}_{x}}}{D},\text{ }y=\frac{{{D}_{y}}}{D}\cdot $
$D=0$ ${{D}_{x}}\ne 0$ hoặc ${{D}_{y}}\ne 0$. Hệ vô nghiệm.
${{D}_{x}}={{D}_{y}}=0$ Hệ có vô số nghiệm:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \in R}\\
{y =  – \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}}
\end{array}} \right.$

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm $(x;y)$ của hệ $(I)$ là tọa độ điểm $M(x;y)$ thuộc cả 2 đường thẳng:

$({{d}_{1}}):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}$ và $({{d}_{2}}):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}.$

   Hệ $(I)$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow ({{d}_{1}})$ và $({{d}_{2}})$ cắt nhau $\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\ne \frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}$

   Hệ $(I)$ vô nghiệm $\Leftrightarrow ({{d}_{1}})$ và $({{d}_{2}})$ song song với nhau$\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}\ne \frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$

   Hệ $(I)$ có vô số nghiệm $\Leftrightarrow ({{d}_{1}})$ và $({{d}_{2}})$ trùng nhau $\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$

II – DẠNG TOÁN

Dạng 1: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải: Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình $ax+by=c$ trong mặt phẳng $Oxy$ là một đường thẳng $d:ax+by=c$. Vẽ đường thẳng $d:ax+by=c$ đi qua hai điểm $A(0;\frac{c}{b}),B(\frac{c}{a};0)$ thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình $ax+by=c$.

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

A. $x-y2=0$.                 

B. $x+y+2=0$.            

C. $2x+y+2=0$.          

D. $2x-y2=0$.

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Giải theo tự luận

Gải sử đường thẳng có phương trình $y=ax+b$ . Đường thẳng đi qua 2 điểm$(1;0),(0;-2)$ nên tọa độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ :

\[\left\{ \begin{array}{l}
– 2a + b = 0\\
b = 3
\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{3}{2}\\
b = 3
\end{array} \right.\]

Vậy đường thẳng có phương trình: $y=2x-2\Leftrightarrow 2x-y-2=0$

Ta chọn đáp án D.

Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:

Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm $(1;0),(0;-2)$, ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình, phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.

Thay điểm  vào đáp án A, ta được: $1-=0$ không thỏa mãn. Loại A, tương tự ta loại B và C. Chọn  đáp án D.

Ví dụ 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

A. $3x-2y+6=0$.           

B. $3x+2y+6=0$.          

C. $-3x-2y+6=0$.          

D. $3x-2y+3=0$.

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Giải theo tự luận

Gải sử đường thẳng có phương trình $y=ax+b$ . Đường thẳng đi qua 2 điểm $(-2;0),(0;3)$ nên tọa độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta giải hệ

Vậy đường thẳng có phương trình: $y=\frac{3}{2}x+3\Leftrightarrow 3x-2y+6=0$

Ta chọn đáp án A.

Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:

Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm $(-2;0),(0;3)$, ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình, phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.

Thay điểm $(-2;0),(0;3)$ vào đáp án A: thỏa mãn. Chọn đáp án A.

Dạng 2: Xác định được nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải: Cặp số $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$là nghiệm của phương trình $ax+by=c$ nếu $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=c$thỏa mãn.

A. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình $3x-2y-6=0$?

A. $\left( 1;\,\frac{3}{2} \right)$.                       

B. $\left( -2;\,-6 \right)$.        

C. $\left( 3;\,-2 \right)$.                          

D. $\left( 2;\,6 \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương trình.

Dạng 3: Giải hệ phương trình hai ẩn với hệ số tường minh

Phương pháp giải:

Tự luận: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, hoặc định thức  Crame.

Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.

Xét D Kết quả
\[D\ne 0\] Hệ có nghiệm duy nhất \[x=\frac{{{D}_{x}}}{D},\text{ }y=\frac{{{D}_{y}}}{D}\cdot \]
\[D=0\] ${{D}_{x}}\ne 0$ hoặc ${{D}_{y}}\ne 0$ . Hệ vô nghiệm.
\[{{D}_{x}}={{D}_{y}}=0\] Hệ có vô số nghiệm.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \in R}\\
{y =  – \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}}
\end{array}} \right.$

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình $ax+by=c$ trong mặt phẳng $Oxy$ là một đường thẳng $d:ax+by=c$. Vẽ đường thẳng $d:ax+by=c$ đi qua hai điểm $A(0;\frac{c}{b}),B(\frac{c}{a};0)$ thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình $ax+by=c$.

A. VÍ DỤ MINH HỌA

                 Ví dụ 1: Nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{align} & \sqrt{2}x+y=1 \\ & 3x+\sqrt{2}y=2 \\ \end{align} \right.$ là:

A.$\left( \sqrt{2}-2;2\sqrt{2}-3 \right).$                                                 

B.$\left( \sqrt{2}+2;2\sqrt{2}-3 \right).$                         

C.$\left( 2-\sqrt{2};3-2\sqrt{2} \right).$                                                 

D.$\left( 2-\sqrt{2};2\sqrt{2}-3 \right).$

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: Giải theo tự luận: Phương pháp thế

Ta có: $\begin{array}{l}
y = 1 – \sqrt 2 x \Rightarrow 3x + \sqrt 2 \left( {1 – \sqrt 2 x} \right) = 2\\
\Rightarrow x = 2 – \sqrt 2 \\
\Rightarrow y = 3 – 2\sqrt 2
\end{array}$

Ta chọn đáp án C

Cách 2: Bấm máy

Sử dụng MTCT: Bấm theo cú pháp: MODE – 5 -1, nhập các hệ số ở 2 phương trình của hệ, bấm tiếp phím =, = để đọc nghiệm của hệ.

 Chọn  đáp án C.

Dạng 4. Giải và biện luận phương trình

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered}
  mx + y = m + 1 \\
  x + my = 2 \\
\end{gathered}  \right.$

Giải
Trước hết, ta tính các định thức
$D = \left| \begin{gathered}
  m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \\
  1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m \\
\end{gathered}  \right| = {m^2} – 1 = (m – 1)(m + 1)$
${D_x} = \left| \begin{gathered}
  m\, + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \\
  2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m  \\
\end{gathered}  \right| = {m^2} + m – 2 = (m – 1)(m + 2)$
${D_y} = \left| \begin{gathered}
  m\,\,\,\,\,\,\,\,m + 1  \\
  1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2  \\
\end{gathered}  \right| = {m^{}} – 1$

Ta phải xét các trường hợp sau:

1)$D \ne 0$, tức là $m \ne  \pm 1$. Ta có:
$x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{(m – 1)(m + 2)}}{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \frac{{m + 2}}{{m + 1}}$
$y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{m – 1}}{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \frac{1}{{m + 1}}$
Hệ có một nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{m + 2}}{{m + 1}};\frac{1}{{m + 1}}} \right)$
2)$D = 0$, tức là m = 1 hoặc m = -1
– Nếu m = 1 thì $D = {D_x} = {D_y} = 0$và hệ trở thành $\left\{ \begin{gathered}
  x + y = 2  \\
  x + y = 2  \\
\end{gathered}  \right.$. Ta có
$\left\{ \begin{gathered}
  x + y = 2 \\
  x + y = 2 \\
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x + y = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x \in \mathbb{R}  \\
  y = 2 – x  \\
\end{gathered}  \right.$
– Nếu m= -1 thì $D = 0$, nhưng ${D_x} \ne 0$nên hệ vô nghiệm

Kết luận

Với $m \ne  \pm 1$, hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{m + 2}}{{m + 1}};\frac{1}{{m + 1}}} \right)$
Với m = -1, hệ vô nghiệm;
Với m = 1, hệ có vô số nghiệm (x; y) tính theo công thức
$\left\{ \begin{gathered}
  x \in \mathbb{R}  \\
  y = 2 – x  \\
\end{gathered}  \right.$


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder