SỐ PHỨC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định nghĩa số phức

Định nghĩa:

· Một số phức là một biểu thức dạng z=a+bi với  $a,b\in \mathbb{R}$ và ${{i}^{2}}=-1$, trong đó: $i$ được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức: z=a+bi

· Tập hợp các số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$.  $\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$.

· Chú ý:

            –  Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a$ là số thực.

            –  Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$ là số thuần ảo.

            –  Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.

2. Hai số phức bằng nhau, đối nhau

$ \cdot $ Hai số phức bằng nhau: $a + bi = c + di \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = c}\\ {b = d} \end{array}} \right.$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

· Hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi;\text{  }{{z}_{2}}=-a-bi$ được gọi là hai số phức đối nhau.

+ Các tập số: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

3. Số phức liên hợp.

· Số phức liên hợp của $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ là $a-bi$ và được kí hiệu bởi $\overline{z}$ . Rõ ràng $\overline{\overline{z}}=z$

4. Biểu diễn hình học.

· Trong mặt phẳng phức Oxy (Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức  $z=a+bi$ với  $a,b\in \mathbb{R}$ được biểu diễn bằng điểm $M\left( a;b \right)$.

$\begin{array}{l} P( – 2;1) \Rightarrow {z_1} = – 2 + i\\ Q( – 1;2) \Rightarrow {z_2} = – 1 + 2i\\ N(2;1) \Rightarrow {z_3} = 2 + i\\ M(2; – 1) \Rightarrow {z_4} = 2 – i \end{array}$

5. Mô đun của số phức.

· Môđun của số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là  $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

Ví dụ: $z = – 2 + i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 5 .$

Các tính chất:

.$\centerdot \left| z.{z}’ \right|=\left| z \right|\left| {{z}’} \right|$

· $\left| \frac{z}{{{z}’}} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| {{z}’} \right|}$

· $\left| \left| z \right|-\left| {{z}’} \right| \right|\le \left| z+{z}’ \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}’} \right|$

· $\left| \left| z \right|-\left| {{z}’} \right| \right|\le \left| z-{z}’ \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}’} \right|$

6. Các phép toán trên tập số phức.

Cho hai số phức: $z=a+bi; z’=a’+b’i\text{ }$ với $a,b,a’,b’\in \mathbb{R}$ và số $k\in \mathbb{R}$.

· Tổng hai số phức: $z+z’=a+a’+(b+b’)i$.

· Hiệu hai số phức: $z-z’=a-a’+(b-b’)i\text{ }\text{.}$

· Nhân hai số phức:  $z.z’=\left( a+bi \right)\left( a’+b’i \right)=\left( a.a’-b.b’ \right)+\left( a.b’+a’.b \right)i$.

·Nhân một số với một số phức: $\centerdot k.z=k.(a+bi)=ka+kbi$.

· Nếu $z\ne 0$ thì $\frac{z’}{z}=\frac{z’.\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}$, nghĩa là nếu muốn chia số phức $z’$ cho số phức $z\ne 0$ thì ta nhân cả tử và mẫu của thương $\frac{z’}{z}$ cho $\overline{z}$.

$\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{z_1}.{{\bar z}_2}}}{{{z_2}.{{\bar z}_2}}} = \frac{{{z_1}.{{\bar z}_2}}}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} = \frac{{\left( {a + b.i} \right).\left( {a’ – b’.i} \right)}}{{{a’^2} + {b’^2}}} = \frac{{\left( {aa’ + bb’} \right) + \left( {ba’ – ab’} \right)i}}{{{a’^2} + {b’^2}}} = \frac{{aa’ + bb’}}{{{a’^2} + {b’^2}}} + \frac{{ba’ – ab’}}{{{a’^2} + {b’^2}}}i.$

7. Lũy thừa của đơn vị ảo

Ta có:

$\begin{array}{l} \cdot {i^1} = i\\ \cdot {i^2} = – 1\\ \cdot {i^3} = – i\\ \cdot {i^4} = 1\\ \cdot {i^5} = i\\ \cdot {i^6} = – 1\\ \cdot {i^7} = – i\\ \cdot {i^8} = 1 \end{array}$

Từ phân tích trên, ta có:

$\begin{array}{l} \cdot {i^{4k}} = 1\\ \cdot {i^{4k + 1}} = i\\ \cdot {i^{4k + 2}} = – 1\\ \cdot {i^{4k + 3}} = – i;\forall k \in \mathbb{N}. \end{array}$

8. Căn bậc 2 của số thực âm.

· Căn bậc hai của số thực a âm là $\pm i\sqrt{\left| a \right|}$.

9. Giải phương trình bậc 2 trên tập số phức.

Cho phương trình bậc 2: $a{{z}^{2}}+bz+c=0\text{   }(1)$ Trong đó $a,b,c$ là những số thực và $a\ne 0$.

· Xét biệt thức: $\Delta = {b^2} – 4ac$ .

· Nếu $\Delta >0$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt: ${x_{1/2}} = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$.

· Nếu $\Delta <0$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt: ${x_{1/2}} = \frac{{ – b \pm i\sqrt \Delta }}{{2a}}$.

· Nếu $\Delta =0$ thì phương trình (1) có nghiệm kép: ${x_{1/2}} = \frac{{ – b}}{{2a}}$.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP

  • Thực hiện các phép toán.
    • Tìm phần thực, phần ảo.
    • Số phức liên hợp.
    • Tính mô đun của số phức.
  • Phương trình trên tập phức.
  • Biểu diễn một số phức-tập hợp điểm.
  • Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
  • Cực trị của số phức.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Cho số phức $z$ thoả mãn $\frac{z}{3+2i}=1-i$ Số phức liên hợp $\bar{z}$ là.

A. $\bar{z}=5+i$.           B. $\bar{z}=-5-i$.         C. $\bar{z}=-1-5i$.      D. $\bar{z}=-1+5i$.

Lời giải

Chọn A

$z=\left( 3+2i \right)\left( 1-i \right)=5-i$.

Số phức liên hợp $\bar{z}=5+i$.

Ví dụ 2.

Cho hai số phức $z=1+3i$, $w=2-i$. Tìm phần ảo của số phức $u=\overline{z}.w$.

A. $5$.                            B. $-7i$.                        C. $-7$.                         D. $5i$.

Lời giải.

Chọn C

$\overline{z}=1-3i$; $u=\overline{z}.\text{w}=\left( 1-3i \right)\left( 2-i \right)=-1-7i$.

Vậy phần ảo của số phức $u$ bằng $-7$.

Ví dụ 3.

Gọi ${{z}_{1}}$; ${{z}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-3z+5=0$. Mô đun của số phức $\left( 2\overline{{{z}_{1}}}-3 \right)\left( 2\overline{{{z}_{2}}}-3 \right)$ bằng

A. $7$.                            B.  $11$.                       C. $29$.                        D. $1$.

Lời giải.

Chọn B

Phương trình ${{z}^{2}}-3z+5=0$ có nghiệm là $z=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{11}}{2}i$

Không mất tính tổng quát, giả sử: ${{z}_{1}}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{11}}{2}i$ và ${{z}_{2}}=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}i$

Ta có: $\left( 2\overline{{{z}_{1}}}-3 \right)\left( 2\overline{{{z}_{2}}}-3 \right)=\left( 3-i\sqrt{11}-3 \right)\left( 3+i\sqrt{11}-3 \right)=\left( -i\sqrt{11} \right)\cdot i\sqrt{11}=-11{{i}^{2}}=11$

Vậy mô đun của số phức $\left( 2\overline{{{z}_{1}}}-3 \right)\left( 2\overline{{{z}_{2}}}-3 \right)$ bằng $11$.

Ví dụ 4.

Cho số phức $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}},\,$$m$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m\in \left[ 1;10 \right]$ để $z$ là số thuần ảo?

A. 2.                              B. 3.                            C. 5.                            D. 10.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}={{(2i)}^{m}}={{2}^{m}}.{{i}^{m}}\,$

$z$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $m=2k+1,\,\,k\in \mathbb{N}$ (do $z\ne 0;\text{ }\forall m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$).

Vậy có 5 giá trị $m$ thỏa yêu cầu đề bài.

Ví dụ 5.

Cho hai số phức ${{z}{1}}$, ${{z}{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}{1}} \right|=1$, $\left| {{z}{2}} \right|=2$ và $\left| {{z}{1}}+{{z}{2}} \right|=3$. Giá trị của $\left| {{z}{1}}-{{z}{2}} \right|$ là:
A. $0$.

B. $1$.

C. $2$.

D. $3$.
Lời giải
Chọn B
Giả sử ${{z}{1}}={{a}{1}}+{{b}{1}}i,\,\,\,\,\left( {{a}{1}},\,\,{{b}{1}}\in \mathbb{R} \right)$, ${{z}{2}}={{a}{2}}+{{b}{2}}i,\,\,\,\,\left( {{a}{2}},\,\,{{b}{2}}\in \mathbb{R} \right)$.
Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{align} & \left| {{z}_{1}} \right|=1 \\ & \left| {{z}_{2}} \right|=2 \\ & \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=1 \\ & a_{2}^{2}+b_{2}^{2}=4 \\ & {{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}} \right)}^{2}}=9 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=1 \\ & a_{2}^{2}+b_{2}^{2}=4 \\ & 2{{a}_{1}}{{a}_{2}}+2{{b}_{1}}{{b}_{2}}=4 \\ \end{align} \right.$.

Khi đó, ta có:
$\left| {{z}{1}}-{{z}{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{a}{1}}-{{a}{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{b}{1}}-{{b}{2}} \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{\left( a_{1}^{2}+b_{1}^{2} \right)+\left( a_{2}^{2}+b_{2}^{2} \right)-\left( 2{{a}{1}}{{a}{2}}+2{{b}{1}}{{b}{2}} \right)}$ $=1$.
Vậy $\left| {{z}{1}}-{{z}{2}} \right|=1$.

Dạng 1. Tìm số phức

Câu 1.     (Mã 104 2018) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 3-i \right)=5x-4i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=-1;y=-1$.             

B. $x=-1;y=1$.            

C. $x=1;y=-1$.            

D. $x=1;y=1$.

Câu 2.      (Mã 105 2017) Tìm tất cả các số thực $x,y$ sao cho ${{x}^{2}}-1+yi=-1+2i$.

A. $x=\sqrt{2},\,\,y=2$  

B. $x=-\sqrt{2},\,\,y=2$                                   

C. $x=0,\,\,y=2$        

D. $x=\sqrt{2},\,\,y=-2$

Câu 3.      (Mã 101 2018) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 1-3i \right)=x+6i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=1;y=-1$               

B. $x=1;y=-3$             

C. $x=-1;y=-3$            

D. $x=-1;y=-1$

Câu 4.      (Mã 104  2019) Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 2-i \right)z+3+16i=2\left( \overline{z}+i \right)$. Môđun của $z$ bằng

A. $\sqrt{13}$.              

B. $5$.                         

C. $\sqrt{5}$.              

D. $13$.

Câu 5.      (Mã 103 2019) Cho số $z$ thỏa mãn $\left( 2+i \right)z-4\left( \overline{z}-i \right)=-8+19i$. Môđun của $z$bằng

A. $13$.                         

B. $5$.                         

C. $\sqrt{13}$.            

D. $\sqrt{5}$.

Câu 6.      (Mã 102 2018) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 3x+2yi \right)+\left( 2+i \right)=2x-3i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=2;\,y=-2$             

B. $x=2;\,y=-1$           

C. $x=-2;\,y=-2$          

D. $x=-2;\,y=-1$

Câu 7.      (Đề Tham Khảo -2019) Tìm các số thực $a,b$ thỏa mãn $2a+(b+i)i=1+2i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $a=0,b=1.$                

B. $a=1,b=2.$             

C. $a=0,b=2.$             

D. $a=\frac{1}{2},b=1.$

Câu 8.      (Mã 103 2018) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 3x+yi \right)+\left( 4-2i \right)=5x+2i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=2$; $y=4$            

B. $x=-2$; $y=0$        

C. $x=2$; $y=0$         

D. $x=-2$; $y=4$

Câu 9.      (Mã 102 2019) Cho số phức $z$ thoả mãn $3\left( \overline{z}-i \right)-\left( 2+3i \right)z=7-16i.$ Môđun của $z$ bằng

A. $3.$                           

B. $\sqrt{5}.$              

C. $5.$                         

D. $\sqrt{3}.$

Câu 10.    (Mã 101 2019) Cho số phức $z$ thỏa mãn $3\left( \overline{z}+i \right)-\left( 2-i \right)z=3+10i$. Môđun của $z$ bằng

A. $\sqrt{3}$.                 

B. $3$.                         

C. $5$.                         

D. $\sqrt{5}$.

Câu 11.    (THPT Cẩm Giàng 2 Năm 2019) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 1-3i \right)=-1+6i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=1$; $y=-3$.          

B. $x=-1$; $y=-3$.      

C. $x=-1$; $y=-1$.      

D. $x=1$; $y=-1$.

Câu 12.    Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 3-i \right)=5x-4i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=-1,y=-1$              

B. $x=1,y=1$               

C. $x=-1,y=1$             

D. $x=1,y=-1$

Câu 13.    (Chuyên Sơn La 2019) Tìm các số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 3x-2 \right)+\left( 2y+1 \right)i=\left( x+1 \right)-\left( y-5 \right)i$, 2với $i$ là đ7ơn vị ả4o.

A. $x=\frac{3}{2},\,y=-2$.                                 

B. $x=-\frac{3}{2},\,y=-\frac{4}{3}$

C. $x=1,\,y=\frac{4}{3}$.   

D. $x=\frac{3}{2},\,y=\frac{4}{3}$.

Câu 14.    (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Cho số phức $z=a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left( 1+i \right)z+2\overline{z}=3+2i$. Tính $P=a+b$

A. $P=1$                        

B. $P=-\frac{1}{2}$    

C. $P=\frac{1}{2}$     

D. $P=-1$

Câu 15.    (Chuyên KHTN -2019) Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 2+3i \right)z+4-3i=13+4i$. Môđun của $z$ bằng

A. $2$.                           

B. $4$.                         

C. $2\sqrt{2}$.            

D. $\sqrt{10}$.

Câu 16.    (HSG Bắc Ninh 2019) Cho số phức $z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left( 1+2i \right)\overline{z}+z=3-4i$. Tính giá trị của biểu thức $S=3x-2y$.

A. $S=-12$                     

B. $S=-11$                  

C. $S=-13$                  

D. $S=-10$

Câu 17.    (Sở Bình Phước 2019) Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ thoả mãn $iz+\left( 1-i \right)\bar{z}=-2i$ bằng

A. $6$                            

B. $-2$                         

C. $2$                          

D. $-6$

Câu 18.    (Sở Bình Phước 2019) Cho $a,\,b\in \mathbb{R}$ và thỏa mãn $\left( a+bi \right)i-2a=1+3i$, với $i$ là đơn vị ảo. Giá trị $a-b$ bằng

A. $4$                            

B. $-10$                       

C. $-4$                         

D. $10$

Câu 19.    (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức $z=a+bi\text{ (}a,b\in \mathbb{R}\text{)}$ thoả mãn $(1+i)z+2\overline{z}=3+2i$. Tính $P=a+b$

A. $P=1$.                       

B. $P=-\frac{1}{2}$.   

C. $P=\frac{1}{2}$.    

D. $P=-1$

Câu 20.    (Chuyên Hạ Long -2019) Tìm số phức $z$ biết $4z+5\overline{z}=27-7i$.

A. $z=-3+7i$.                 

B. $z=-3-7i$.                

C. $z=3-7i$.                 

D. $z=3+7i$.

Câu 21.    (THPT Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 3+2i \right)z+{{\left( 2-i \right)}^{2}}=4+i$. Mô đun của số phức $w=\left( z+1 \right)\overline{z}$ bằng.

A. $2$.                           

B. $\sqrt{10}$.            

C. $\sqrt{5}$.              

D. $4$.

Câu 22.    (THPT Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tìm các số thực $a,b$ thỏa mãn$\left( a-2b \right)+\left( a+b+4 \right)i=\left( 2a+b \right)+2bi$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $a=-3,\,b=1$.            

B. $a=3,\,b=-1$.          

C. $a=-3,\,b=-1$.         

D. $a=3,\,b=1$.

Câu 23.    Cho hai số phức ${{z}_{1}}=m+1-2i$ và ${{z}_{1}}=2-\left( m+1 \right)i$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để ${{z}_{1}}.\,{{z}_{2}}-8+8i$ là một số thực.

A. $1$.                           

B. $2$.                         

C. $3$.                         

D. $4$.

Câu 24.    (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm mô đun của số phức$z$biết $\left( 2z-1 \right)\left( 1+i \right)+\left( \overline{z}+1 \right)\left( 1-i \right)=2-2i$.

A. $\frac{1}{9}$            

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$                                     

C. $\frac{2}{9}$        

D. $\frac{1}{3}$

Câu 25.    Tính mô đun của số phức $z$ thỏa mãn $z\left( 1+2i \right)+\overline{z}\left( 1-i \right)+4-i=0$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $\sqrt{6}$.                 

B. $\sqrt{5}$.              

C. $\sqrt{2}$.              

D. $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn và lời giải

Câu 1.

  • (Mã 104 2018) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 3-i \right)=5x-4i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=-1;y=-1$.             

B. $x=-1;y=1$.            

C. $x=1;y=-1$.            

D. $x=1;y=1$.

Lời giải
Chọn D
$\left( {2x – 3yi} \right) + \left( {3 – i} \right) = 5x – 4i \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right) – \left( {3y + 1} \right)i = 5x – 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3 = 5x\\ 3y + 1 = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right.$

Câu 2.

  •  (Mã 105 2017) Tìm tất cả các số thực $x,y$ sao cho ${{x}^{2}}-1+yi=-1+2i$.

A. $x=\sqrt{2},\,\,y=2$  

B. $x=-\sqrt{2},\,\,y=2$                                   

C. $x=0,\,\,y=2$    

D. $x=\sqrt{2},\,\,y=-2$

Lời giải
Chọn C

Từ ${{x}^{2}}-1+yi=-1+2i$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} – 1 = – 1\\ y = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 2 \end{array} \right.$

Câu 3.

  • (Mã 101 2018) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 1-3i \right)=x+6i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=1;y=-1$                

B. $x=1;y=-3$            

C. $x=-1;y=-3$           

D. $x=-1;y=-1$

Lời giải
Chọn C

Ta có $\left( 2x-3yi \right)+\left( 1-3i \right)=x+6i$ $\Leftrightarrow x+1+\left( -3y-9 \right)i=0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ – 3y – 9 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ y = – 3 \end{array} \right.$

Câu 4.

  • (Mã 104  2019) Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 2-i \right)z+3+16i=2\left( \overline{z}+i \right)$. Môđun của $z$ bằng

A. $\sqrt{13}$.             

B. $5$.                        

C. $\sqrt{5}$.             

D. $13$.

Lời giải
Chọn A

Gọi $z=x+yi$.
$\left( 2-i \right)z+3+16i=2\left( \overline{z}+i \right)$
$\Leftrightarrow \left( 2-i \right)\left( x+yi \right)+3+16i=2\left( x-yi+i \right)$
$\Leftrightarrow 2x+2yi-xi+y+3+16i=2x-2yi+2i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y + 3 = 2x\\ 2y – x + 16 = – 2y + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y + 3 = 0\\ – x + 4y = – 14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = – 3 \end{array} \right.$

Suy ra $z=2-3i$. Vậy $\left| z \right|=\sqrt{13}$.

Câu 5.

  • (Mã 103 2019) Cho số $z$ thỏa mãn $\left( 2+i \right)z-4\left( \overline{z}-i \right)=-8+19i$. Môđun của $z$bằng

A. $13$.                        

B. $5$.                         

C. $\sqrt{13}$.            

D. $\sqrt{5}$.

Lời giải
Chọn A

Gọi $z=a+bi\,\,;\,\,\overline{z}=a-bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right).$
Ta có:

$\begin{array}{l} \left( {2 + i} \right)z – 4\left( {\bar z – i} \right) = – 8 + 19i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)\left( {a + bi} \right) – 4\left( {a – bi – i} \right) = – 8 + 19i\\ \Leftrightarrow – 2a – b + \left( {a + 6b + 4} \right) = – 8 + 19i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2a – b = – 8\\ a + 6b + 4 = 19 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $z=3+2i\,\,\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{13}\,.$

Câu 6.

  • (Mã 102 2018) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 3x+2yi \right)+\left( 2+i \right)=2x-3i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=2;\,y=-2$              

B. $x=2;\,y=-1$           

C. $x=-2;\,y=-2$          

D. $x=-2;\,y=-1$

Lời giải
Chọn A

Ta có: $\left( 3x+2yi \right)+\left( 2+i \right)=2x-3i$
$\Leftrightarrow 3x+2+\left( 2y+1 \right)=2x-3i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 2 = 2x\\ 2y + 1 = – 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – 2\\ y = – 2 \end{array} \right..$

Câu 7.

  • (Đề Tham Khảo -2019) Tìm các số thực $a,b$ thỏa mãn $2a+(b+i)i=1+2i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $a=0,b=1.$               

B. $a=1,b=2.$             

C. $a=0,b=2.$              

D. $a=\frac{1}{2},b=1.$

Lời giải

Chọn B
$2a+(b+i)i=1+2i$ $\Leftrightarrow 2a+bi+{{i}^{2}}=1+2i$
$\Leftrightarrow (2a-1)+bi=1+2i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a – 1 = 1\\ b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2 \end{array} \right.$

Câu 8.

  • (Mã 103 2018) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 3x+yi \right)+\left( 4-2i \right)=5x+2i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=2$; $y=4$            

B. $x=-2$; $y=0$        

C. $x=2$; $y=0$         

D. $x=-2$; $y=4$

Lời giải

Chọn A
$\left( 3x+yi \right)+\left( 4-2i \right)=5x+2i$$\Leftrightarrow $$2x-4+\left( 4-y \right)i=0$$\Leftrightarrow $

$\left\{ \begin{align} 2x-4=0 \\ 4-y=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{align} x=2 \\ y=4 \\ \end{align} \right.$.

Câu 9.

  • (Mã 102 2019) Cho số phức $z$ thoả mãn $3\left( \overline{z}-i \right)-\left( 2+3i \right)z=7-16i.$ Môđun của $z$ bằng

A. $3.$                           

B. $\sqrt{5}.$              

C. $5.$                        

D. $\sqrt{3}.$

Lời giải

Chọn B
Đặt $z=a+bi\,\,\,\left( a;\,\,b\in \mathbb{R} \right)$.
Theo đề ta có
$3\left( a-bi-i \right)-\left( 2+3i \right)\left( a+bi \right)=7-16i$$\Leftrightarrow 3a-3bi-3i-2a-2bi-3ai+3b=7-16i$

$ \Leftrightarrow \left( {a + 3b} \right) + \left( { – 3a – 5b – 3} \right) = 7 – 16i$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a + 3b = 7}\\ { – 3a – 5b – 3 = – 16} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a + 3b = 7}\\ { – 3a – 5b = – 13} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1}\\ {b = 2} \end{array}} \right.$

Vậy $\left| z \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$.

Câu 10.

  •  (Mã 101 2019) Cho số phức $z$ thỏa mãn $3\left( \overline{z}+i \right)-\left( 2-i \right)z=3+10i$. Môđun của $z$ bằng

A. $\sqrt{3}$.                

B. $3$.                         

C. $5$.                         

D. $\sqrt{5}$.

Lời giải

Chọn D
Đặt $z=x+yi,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$

$3\left( {\bar z + i} \right) – \left( {2 – i} \right)z = 3 + 10i$

$ \Leftrightarrow 3\left( {x – yi + i} \right) – \left( {2 – i} \right)\left( {x + yi} \right) = 3 + 10i$

$ \Leftrightarrow x – y + \left( {x – 5y + 3} \right)i = 3 + 10i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x – y = 3\\ x – 5y + 3 = 10 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = – 1 \end{array} \right.$

$z=2-i$

Vậy $\left| z \right|=\sqrt{5}$

Câu 11.

  • (THPT Cẩm Giàng 2 Năm 2019) Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 1-3i \right)=-1+6i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=1$; $y=-3$.          

B. $x=-1$; $y=-3$.      

C. $x=-1$; $y=-1$.      

D. $x=1$; $y=-1$.

Lời giải

Ta có: $\left( 2x-3yi \right)+\left( 1-3i \right)=-1+6i$$\Leftrightarrow 2x+1-\left( 3y+3 \right)i=-1+6i$.
Suy ra

$\left\{ \begin{array}{l} 2x + 1 = – 1\\ – 3y – 3 = 6 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – 1\\ y = – 3 \end{array} \right..$

Câu 12.

  • Tìm hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 2x-3yi \right)+\left( 3-i \right)=5x-4i$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=-1,y=-1$              

B. $x=1,y=1$               

C. $x=-1,y=1$             

D. $x=1,y=-1$

Lời giải


Chọn B
Từ $\left( 2x-3yi \right)+\left( 3-i \right)=5x-4i\Leftrightarrow \left( 2x+3 \right)-\left( 3y+1 \right)i=5x-4i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3 = 5\\ 3y + 1 = 4 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right.$

Vậy $x=1,y=1$.

Câu 13.

  • (Chuyên Sơn La 2019) Tìm các số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $\left( 3x-2 \right)+\left( 2y+1 \right)i=\left( x+1 \right)-\left( y-5 \right)i$, với $i$ là đơn vị ảo.

A. $x=\frac{3}{2},\,y=-2$.                                 

B. $x=-\frac{3}{2},\,y=-\frac{4}{3}$.          

C. $x=1,\,y=\frac{4}{3}$.  

D. $x=\frac{3}{2},\,y=\frac{4}{3}$.

Lời giải

Ta có $\left( 3x-2 \right)+\left( 2y+1 \right)i=\left( x+1 \right)-\left( y-5 \right)i\Leftrightarrow \left( 3x-2 \right)+\left( 2y+1 \right)i=\left( x+1 \right)+\left( 5-y \right)i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x – 2 = x + 1\\ 2y + 1 = 5 – y \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{3}{2}\\ y = \frac{4}{3} \end{array} \right..$

Câu 14.

  • (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Cho số phức $z=a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left( 1+i \right)z+2\overline{z}=3+2i$. Tính $P=a+b$

A. $P=1$                        

B. $P=-\frac{1}{2}$   

C. $P=\frac{1}{2}$    

D. $P=-1$

Lời giải

Ta có

$\left( {1 + i} \right)z + 2\bar z = 3 + 2i$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a – bi} \right) = 3 + 2i$ $ \Leftrightarrow 3a – b + \left( {a + b} \right)i = 3 + 2i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a – b = 3\\ a – b = 2 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = – \frac{3}{2} \end{array} \right.$

Vậy $P=a+b=-1$.

Câu 15.

  • (Chuyên KHTN -2019) Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 2+3i \right)z+4-3i=13+4i$. Môđun của $z$ bằng

A. $2$.                           

B. $4$.                         

C. $2\sqrt{2}$.            

D. $\sqrt{10}$.

Lời giải
$\left( {2 + 3i} \right)z + 4 – 3i = 13 + 4i$ $ \Leftrightarrow \left( {2 + 3i} \right)z = 9 + 7i$ $ \Leftrightarrow z = \frac{{9 + 7i}}{{2 + 3i}}$ $ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {9 + 7i} \right)\left( {2 – 3i} \right)}}{{4 + 9}}$ $ \Leftrightarrow z = \frac{{39 – 13i}}{{13}}$ $ \Leftrightarrow z = 3 – i$

Vậy $\left| z \right|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$.

Câu 16.

  • (HSG Bắc Ninh 2019) Cho số phức $z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left( 1+2i \right)\overline{z}+z=3-4i$. Tính giá trị của biểu thức $S=3x-2y$.

A. $S=-12$                     

B. $S=-11$                  

C. $S=-13$                  

D. $S=-10$

Lời giải
$\left( {1 + 2i} \right)\bar z + z = 3 – 4i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + 2y = 3\\ 2x = – 4 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – 2\\ y = – \frac{7}{3} \end{array} \right.$

$ \Rightarrow S = – 13.$

Câu 17.

  • (Sở Bình Phước 2019) Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ thoả mãn $iz+\left( 1-i \right)\bar{z}=-2i$ bằng

A. $6$                            

B. $-2$                         

C. $2$                          

D. $-6$

Lời giải

Chọn A
Giả sử số phức $z$ có dạng: $z=x+yi\,,\,x\,,\,y\in \mathbb{R}$.
Ta có:$iz+\left( 1-i \right)\bar{z}=-2i$$\Leftrightarrow i\left( x+yi \right)+\left( 1-i \right)\left( x-yi \right)=-2i$$\Leftrightarrow x-2y-yi=-2i$.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x – 2y = 0\\ – y = – 2 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = 2 \end{array} \right.$

$ \Rightarrow x + y = 6.$

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ bằng $6$.

Câu 18.

  • (Sở Bình Phước 2019) Cho $a,\,b\in \mathbb{R}$ và thỏa mãn $\left( a+bi \right)i-2a=1+3i$, với $i$ là đơn vị ảo. Giá trị $a-b$ bằng

A. $4$                            

B. $-10$                       

C. $-4$                         

D. $10$

Lời giải

Chọn D
Ta có

$\left( {a + bi} \right)i – 2a = 1 + 3i$ $ \Leftrightarrow – b – 2a + ai = 1 + 3i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – b – 2a = 1\\ a = 3 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = – 7 \end{array} \right.$

Vậy $a-b=10$.

Câu 19.

  •  (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức $z=a+bi\text{ (}a,b\in \mathbb{R}\text{)}$ thoả mãn $(1+i)z+2\overline{z}=3+2i$. Tính $P=a+b$

A. $P=1$.                       

B. $P=-\frac{1}{2}$.  

C. $P=\frac{1}{2}$.   

D. $P=-1$

Lời giải


$(1+i)z+2\overline{z}=3+2i\Leftrightarrow (1+i)(a+bi)+2(a-bi)=3+2i\Leftrightarrow (3a-b)+(a-b)i=3+2i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a – b = 3\\ a – b = 2 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = – \frac{3}{2} \end{array} \right..$

Suy ra: $P=a+b=-1$.

Câu 20.

  • (Chuyên Hạ Long -2019) Tìm số phức $z$ biết $4z+5\overline{z}=27-7i$.

A. $z=-3+7i$.                 

B. $z=-3-7i$.                

C. $z=3-7i$.                

D. $z=3+7i$.

Lời giải


Giả sử $z=a+bi\ \left( a,\ b\ \in R \right)$, khi đó $4(a+bi)+5(a-bi)=27-7i\Leftrightarrow 9a-bi=27-7i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9a = 27\\ – b = – 7 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 7 \end{array} \right.$

$ \Rightarrow z = 3 + 7i.$

Câu 21.

  • (THPT Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 3+2i \right)z+{{\left( 2-i \right)}^{2}}=4+i$. Mô đun của số phức $w=\left( z+1 \right)\overline{z}$ bằng.

A. $2$.                           

B. $\sqrt{10}$.            

C. $\sqrt{5}$.              

D. $4$.

Lời giải
$\left( {3 + 2i} \right)z + {\left( {2 – i} \right)^2} = 4 + i$ $ \Leftrightarrow \left( {3 + 2i} \right)z = 1 + 5i$ $ \Leftrightarrow z = 1 + i$

$w = \left( {z + 1} \right)\bar z = z\bar z + \bar z = \left( {1 + i} \right)\left( {1 – i} \right) + 1 – i = 2 + 1 – i = 3 – i$

$ \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{3^2} + 1} = \sqrt {10} $

Câu 22.

  • (THPT Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tìm các số thực $a,b$ thỏa mãn$\left( a-2b \right)+\left( a+b+4 \right)i=\left( 2a+b \right)+2bi$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $a=-3,\,b=1$.             

B. $a=3,\,b=-1$.           

C. $a=-3,\,b=-1$.         

D. $a=3,\,b=1$.

Lời giải


Ta có: $\left( a-2b \right)+\left( a+b+4 \right)i=\left( 2a+b \right)+2bi$.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a – 2b = 2a + b\\ a + b + 4 = 2b \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 3b = 0\\ a – b = – 4 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 3\\ b = 1 \end{array} \right.$

Câu 23.

  • Cho hai số phức ${{z}_{1}}=m+1-2i$ và ${{z}_{1}}=2-\left( m+1 \right)i$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để ${{z}_{1}}.\,{{z}_{2}}-8+8i$ là một số thực.

A. $1$.                           

B. $2$.                         

C. $3$.                         

D. $4$.

Lời giải


Ta có: $z1.{\mkern 1mu} z2 – 8 + 8i = \left( {m + 1 – 2i} \right)\left[ {2 – \left( {m + 1} \right)i} \right] – 8 + 8i = – 8 + \left( { – {m^2} – 2m + 3} \right)i.$
Để ${{z}{1}}.\,{{z}{2}}-8+i$ là một số thực thì

$ – {m^2} – 2m + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = – 3 \end{array} \right.$

Vậy có hai giá trị của tham số $m$ để ${{z}{1}}.\,{{z}{2}}-8+i$ là một số thực.

Câu 24.

  • (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm mô đun của số phức$z$biết $\left( 2z-1 \right)\left( 1+i \right)+\left( \overline{z}+1 \right)\left( 1-i \right)=2-2i$.

A. $\frac{1}{9}$           

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$                                   

C. $\frac{2}{9}$       

D. $\frac{1}{3}$

Lời giải


Chọn B
Giả sử $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$
Do đó $\left( 2z-1 \right)\left( 1+i \right)+\left( \overline{z}+1 \right)\left( 1-i \right)=2-2i$
$\Leftrightarrow \left( 2a+2bi-1 \right)\left( 1+i \right)+\left( a-bi+1 \right)\left( 1-i \right)=2-2i$
$\Leftrightarrow \left( 2a-2b-1 \right)+\left( 2a+2b-1 \right)i+\left( a-b+1 \right)-\left( a+b+1 \right)i=2-2i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {2a – 2b – 1} \right) + \left( {a – b + 1} \right) = 2\\ \left( {2a + 2b – 1} \right) – \left( {a + b + 1} \right) = – 2 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a – 3b = 2\\ a + b = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = – \frac{1}{3} \end{array} \right.$

Khi đó $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Câu 25.

  • Tính mô đun của số phức $z$ thỏa mãn $z\left( 1+2i \right)+\overline{z}\left( 1-i \right)+4-i=0$ với $i$ là đơn vị ảo.

A. $\sqrt{6}$.                

B. $\sqrt{5}$.              

C. $\sqrt{2}$.              

D. $\sqrt{3}$.

Lời giải


Giả sử: $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$.
Ta có: $z\left( 1+2i \right)+\overline{z}\left( 1-i \right)+4-i=0$$\Leftrightarrow $$\left( x+yi \right)\left( 1+2i \right)+\left( x-yi \right)\left( 1-i \right)+4-i=0$
$\Leftrightarrow $$\left( 2x-3y+4 \right)+\left( x-1 \right)i=0$$\Leftrightarrow $

$\left\{ \begin{array}{l} 2x – 3y + 4 = 0\\ x – 1 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2\\ x = 1 \end{array} \right.$

$\Rightarrow z=1+2i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{5}$.

Dạng 2. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 1.

Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| z-i \right|=5$ và ${{z}^{2}}$ là số thuần ảo?

A. $4$                            

B. $0$                             

C. $2$                            

D. $3$

Lời giải

Chọn A

Giả sử \[z=a+bi\Rightarrow {{z}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi\]

Vì $\left| z-i \right|=5$ và ${{z}^{2}}$ là số thuần ảo ta có hệ phương trình

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {(b – 1)^2} = 25\\ {a^2} – {b^2} = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = b\\ {b^2} + {(b – 1)^2} = 25 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = – b\\ {b^2} + {(b – 1)^2} = 25 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b = 4\\ a = b = – 3\\ b = – a = 4\\ b = – a = – 3 \end{array} \right.$

Câu 2.

Cho số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ thoả mãn $z+2+i=\left| z \right|$. Tính $S=4a+b$.

A. $S=-4$                       

B. $S=2$                      

C. $S=-2$                    

D. $S=4$

Lời giải

Chọn A

$z + 2 + i = \left| z \right| \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) + \left( {b + 1} \right)i = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 2 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} {\rm{ (1)}}\\ b + 1 = 0{\rm{ (2)}} \end{array} \right.$

Từ (2) ta có: $b=-1$. Thay vào (1):

$\sqrt {{a^2} + 1} = a + 2$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 2 \ge 0\\ {a^2} + 1 = {(a + 2)^2} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow a = \frac{{ – 3}}{4}$

Vậy $S=4a+b=-4$.

Câu 3.

Cho số phức $z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $z+2+i-\left| z \right|\left( 1+i \right)=0$ và $\left| z \right|>1$. Tính $P=a+b$.

A. $P=-1$                      

B. $P=-5$                    

C. $P=3$                     

D. $P=7$

Lời giải

Chọn D

Ta có: $z+2+i-\left| z \right|\left( 1+i \right)=0$$\Leftrightarrow a+bi+2+i-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( 1+i \right)=0$

$ \Leftrightarrow a + 2 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \left( {b + 1 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)i = 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 2 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0\,\,\left( 1 \right)\\ b + 1 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ ta được: $a-b+1=0\Leftrightarrow b=a+1$. Thế vào $\left( 1 \right)$ ta được:

$a + 2 – \sqrt {{a^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}} = 0 \Leftrightarrow a + 2 = \sqrt {2{a^2} + 2a + 1} $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge – 2\\ {a^2} + 4a + 4 = 2{a^2} + 2a + 1 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge – 2\\ {a^2} – 2a – 3 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge – 2\\ \left[ \begin{array}{l} a = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\ a = – 1\,\,\,\left( {tm} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.$

Với $a=3\Rightarrow b=4$; $a=-1\Rightarrow b=0$.

Vì $\left| z \right| > 1 \Rightarrow z = 3 + 4i$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 4 \end{array} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = 3 + 4 = 7$

Câu 4.

Có bao nhiêu số phức $z$thỏa mãn $|z+2-i|=2\sqrt{2}$ và ${{\left( z-1 \right)}^{2}}$ là số thuần ảo?

A. $0$                            

B. $2$                          

C. $4$                          

D. $3$

Lời giải

Chọn D Gọi số phức $z=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, vì ${{\left( z-1 \right)}^{2}}=\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-{{y}^{2}} \right]+2\left( x-1 \right)yi$ là số thuần ảo nên theo đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 8{\rm{ }} & (1)\\ {\left( {x – 1} \right)^2} = {y^2}{\rm{ }} & & (2) \end{array} \right.$

Từ $(2)$ suy ra: $y=\pm \text{ }(x-1)$

Ÿ Với $y=x-1$, thay vào $(1)$, ta được: ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0.$

Suy ra: $z=-i$.

Ÿ Với $y=-(x-1)$, thay vào $(1)$, ta được:

${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( -x \right)}^{2}}=8\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{3}.$

Suy ra: $z=\left( -1+\sqrt{3} \right)+\left( 2-\sqrt{3} \right)i$; $z=\left( -1-\sqrt{3} \right)+\left( 2+\sqrt{3} \right)i$

Vậy có 3 số phức thỏa mãn.

Câu 5.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z$?

A. $1$                            

B. $3$                             

C. $4$                            

D. $2$

Lời giải

Chọn B

Ta có $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i$$=\left( 6-i \right)z$$\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-6+i \right)z$$=5\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i$ $\left( 1 \right)$

Lây môđun hai vế của $\left( 1 \right)$ ta có:

$\sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|$$=\sqrt{25{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$

Bình phương và rút gọn ta được: ${{\left| z \right|}^{4}}-12{{\left| z \right|}^{3}}+11{{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|-4=0$$\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4 \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| z \right| = 1\\ {\left| z \right|^3} – 11{\left| z \right|^2} + 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| z \right| = 1\\ \left| z \right| = 10,9667…\\ \left| z \right| = 0,62…\\ \left| z \right| = – 0,587… \end{array} \right.$

Do $\left| z \right|\ge 0$, nên ta có $\left| z \right|=1$, $\left| z \right|=10,9667…$, $\left| z \right|=0,62…$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta có $3$ số phức thỏa mãn đề bài.

Câu 6.

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z$?

A. $1$                            

B. $4$                             

C. $2$                            

D. $3$

Lời giải

Chọn D

Đặt $\left| z \right|=a\ge 0,a\in \mathbb{R}$, khi đó ta có

$\left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z$$\Leftrightarrow a\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z$$\Leftrightarrow \left( a-7+i \right)z=6a+ai-2i$$\Leftrightarrow \left( a-7+i \right)z=6a+\left( a-2 \right)i$$\Leftrightarrow \left| \left( a-7+i \right) \right|\left| z \right|=\left| 6a+\left( a-2 \right)i \right|$ $\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-7 \right)}^{2}}+1 \right]{{a}^{2}}=36{{a}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow {{a}^{4}}-14{{a}^{3}}+13{{a}^{2}}+4a-4=0$

$ \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {{a^3} – 13{a^2} + 4} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ {a^3} – 12{a^2} + 4 = 0 \end{array} \right.$

Xét hàm số $f\left( a \right)={{a}^{3}}-13{{a}^{2}}\left( a\ge 0 \right)$, có bảng biến thiên là

Đường thẳng $y=-4$ cắt đồ thị hàm số $f\left( a \right)$ tại hai điểm nên phương trình ${{a}^{3}}-12{{a}^{2}}+4=0$ có hai nghiệm khác $1$ (do $f\left( 1 \right)\ne 0$). Mỗi giá trị của $a$ cho ta một số phức $z$.

Vậy có $3$ số phức thỏa mãn điều kiện.

Câu 7.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-3-i \right)+2i=\left( 4-i \right)z$?

A. $1$                            

B. $3$                             

C. $2$                            

D. $4$

Lời giải

Chọn B

$\left| z \right|\left( z-3-i \right)+2i=\left( 4-i \right)z$$\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-4+i \right)z=3\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i$ (*)

$\Rightarrow \sqrt{{{\left( \left| z \right|-4 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|=\sqrt{9{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$ (1). Đặt $m=\left| z \right|\ge 0$ ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( {{\left( m-4 \right)}^{2}}+1 \right).{{m}^{2}}=9{{m}^{2}}+{{\left( m-2 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow {{m}^{4}}-8{{m}^{3}}+7{{m}^{2}}+4m-4=0$

$ \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {{m^3} – 7{m^2} + 4} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ {m^3} – 7{m^2} + 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m \approx 6,91638\\ m \approx 0.80344\\ m \approx – 0.71982 & \left( {\rm{L}} \right) \end{array} \right.$

Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi $\left| z \right|=m$ sẽ có một số phức $z=\frac{3m+\left( m-2 \right)i}{m-4+i}$ thỏa mãn đề bài.

Vậy có $3$ số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 8.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+3 \right|=5$ và $\left| z-2i \right|=\left| z-2-2i \right|$. Tính $\left| z \right|$.

A. $\left| z \right|=17$   

B. $\left| z \right|=\sqrt{17}$                              

C. $\left| z \right|=\sqrt{10}$                              

D. $\left| z \right|=10$

Lời giải

Chọn C

Đặt $z=x+yi;x,y\in \mathbb{R}$. Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25\\ {x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25\\ – 4x + 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y^2} = 9\\ x = 1 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \pm 3\\ x = 1 \end{array} \right.$

Vậy $\left| z \right|=\sqrt{10}$

Câu 9.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+3i \right|=\sqrt{13}$ và $\frac{z}{z+2}$ là số thuần ảo?

A. $0$                            

B. $2$                             

C. Vô số                         

D. $1$

Lời giải

Chọn B

Gọi số phức $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$

Ta có $\left| z+3i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| a+bi+3i \right|=\sqrt{13}$$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}=13$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b-4=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-6b\left( 1 \right)$

$\frac{z}{z+2}=1-\frac{2}{z+2}=1-\frac{2}{a+2+bi}=1-\frac{2\left( a+2-bi \right)}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

$=\frac{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-4}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2b}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i$$=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2b}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i$ Do $\frac{z}{z+2}$ là số thuần ảo nên:

$\frac{{{a^2} + {b^2} + 2a}}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}}} = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + 2a = 0\,\left( 2 \right)\\ a \ne – 2\\ b \ne 0 \end{array} \right.$

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta có $4-6b+2a=0\Leftrightarrow a=3b-2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta có ${{\left( 3b-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-4+6b=0\Leftrightarrow 10{{b}^{2}}-6b=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0(L)\\ b = \frac{3}{5} \Rightarrow a = \frac{{ – 1}}{5} \end{array} \right.$

Vậy có 1 số phức cần tìm.

Câu 10.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z.\overline{z}+z \right|=2$ và $\left| z \right|=2$?

A. $2$.                           

B. $3$.                            

C. $1$.                           

D. $4$.

Lời giải

Đặt $z=x+yi$ ($x$; $y\in \mathbb{R}$; ${{i}^{2}}=-1$). Theo bài ra ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{x^2} + {y^2} + x + yi} \right| = 2}\\ {\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {4 + x + yi} \right| = 2}\\ {{x^2} + {y^2} = 4\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {4 + x} \right)}^2} + {y^2} = 4}\\ {{x^2} + {y^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = – 2}\\ {y = 0} \end{array}} \right.$

Dạng 3. Một số bài toán liên quan đến số phức có lũy thừa bậc cao, chứa tham số

Câu 1.

Vậy có $1$ số phức thỏa yêu cầu bài toán là $z=-2$.

Cho số phức $z={{\left( 1+i \right)}^{2019}}$. Phần thực của $z$ bằng

A. $-{{2}^{1009}}$.       

B. ${{2}^{2019}}$.        

C. $-{{2}^{2019}}$.       

D. ${{2}^{1009}}$.

Lời giải

Cách 1: Phương pháp lượng giác

Xét số phức ${{z}_{1}}=1+i=\sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i \right)=\sqrt{2}\left( cos\frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \right)$

Ta có số phức $z={{z}_{1}}^{2019}={{\left( 1+i \right)}^{2019}}={{\sqrt{2}}^{2019}}\left( cos\frac{2019\pi }{4}+i\sin \frac{2019\pi }{4} \right)$

$={{\sqrt{2}}^{2019}}\left( cos\frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4} \right)={{\sqrt{2}}^{2019}}\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \right)=-{{2}^{1009}}+{{2}^{1009}}i$

Phần thực của $z$ bằng $-{{2}^{1009}}$.

Cách 2:

Ta có $z={{\left( 1+i \right)}^{2019}}=\frac{{{(1+i)}^{2020}}}{1+i}=\frac{{{(-4)}^{505}}}{(1+i)}={{(-4)}^{505}}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)=-{{2}^{1009}}+{{2}^{1009}}i$

Phần thực của $z$ bằng $-{{2}^{1009}}$.

Câu 2.

Số phức $z=\left( 1+i \right)+{{\left( 1+i \right)}^{2}}+…+{{\left( 1+i \right)}^{2018}}$ có phần ảo bằng

A. ${{2}^{1009}}+1$.    

B. $1-{{2}^{1009}}$.     

C. ${{2}^{1009}}-1$.     

D. $-\left( {{2}^{1009}}+1 \right)$.

Lời giải

$z=\left( 1+i \right)+{{\left( 1+i \right)}^{2}}+…+{{\left( 1+i \right)}^{2018}}$

$=\left( 1+i \right)\frac{{{\left( 1+i \right)}^{2018}}-1}{\left( 1+i \right)-1}=\left( 1+i \right)\frac{{{2}^{1009}}i-1}{i}$

$=\left( 1+i \right)\left( {{2}^{1009}}+i \right)={{2}^{1009}}-1+\left( {{2}^{1009}}+1 \right)i$.

$\Rightarrow z$ có phần ảo bằng ${{2}^{1009}}+1$.

Câu 3.

Gọi $T$ là tổng phần thực, phần ảo của số phức $w=i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+…+2018{{i}^{2018}}$. Tính giá trị của T.

A. $T=0.$                      

B. $T=-1.$                     

C. $T=2.$                      

D. $T=-2.$

Lời giải

$w=i\left( 1+2i+3{{i}^{2}}+…+2018{{i}^{2017}} \right)$

Xét $f(x)=x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+…+{{x}^{2018}}=x\frac{{{x}^{2018}}-1}{x-1}=\frac{{{x}^{2019}}-x}{x-1}$

$f'(x)=1+2x+3{{x}^{2}}+…+2018{{x}^{2017}}=\frac{\left( 2019{{x}^{2018}}-1 \right)(x-1)-\left( {{x}^{2019}}-x \right)}{{{(x-1)}^{2}}}$

$w=i\left( 1+2i+3{{i}^{2}}+…+2018{{i}^{2017}} \right)=i.f(i)=i\frac{\left( 2019{{i}^{2018}}-1 \right)(i-1)-\left( {{i}^{2019}}-i \right)}{{{(i-1)}^{2}}}$

$=i\frac{-2020(i-1)+2i}{-2i}=-1010+1009i$

$T=-1010+1009=-1$.

Câu 4.

Cho số phức $z$ thỏa mãn ${{z}^{2}}+z+1=0$. Tính giá trị biểu thức

$P={{\left( z+\frac{1}{z} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}} \right)}^{2}}+…+{{\left( {{z}^{2019}}+\frac{1}{{{z}^{2019}}} \right)}^{2}}$.

A. $P=4038$.                 

B. $P=2019$.                 

C. $P=673$.                   

D. $P=6073$.

Lời giải

Chọn A Ta có ${{z}^{2}}+z+1=0$ $\Rightarrow \left( z-1 \right)\left( {{z}^{2}}+z+1 \right)=0$ $\Rightarrow {{z}^{3}}=1$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z^{3n}} = 1\\ {z^{3n + 1}} = z\\ {z^{3n + 2}} = {z^2} \end{array} \right.$

Mà $P=\sum\limits_{k=1}^{2019}{{{\left( {{z}^{k}}+\frac{1}{{{z}^{k}}} \right)}^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{2019}{\left( {{z}^{2k}}+\frac{1}{{{z}^{2k}}}+2 \right)=}\sum\limits_{k=1}^{2019}{\left( {{z}^{2k}}+\frac{1}{{{z}^{2k}}} \right)+2.2019}$

Ta có ${{z}^{2}}+z+1={{z}^{2}}+{{z}^{4}}+{{z}^{6}}=…={{z}^{4034}}+{{z}^{4036}}+{{z}^{4038}}=0$,

$\frac{1}{{{z}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{4}}}+\frac{1}{{{z}^{6}}}=\frac{{{z}^{2}}+{{z}^{4}}+{{z}^{6}}}{{{z}^{6}}}=\frac{{{z}^{2}}+z+1}{{{z}^{6}}}=0$

Tương tự $\frac{1}{{{z}^{8}}}+\frac{1}{{{z}^{10}}}+\frac{1}{{{z}^{12}}}=…=\frac{1}{{{z}^{4034}}}+\frac{1}{{{z}^{4036}}}+\frac{1}{{{z}^{4038}}}=0$

Vậy $P=4038$.

Câu 5.

Khai triển của biểu thức ${{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2018}}$ được viết thành ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{4036}}{{x}^{4036}}$. Tổng $S={{a}_{0}}-{{a}_{2}}+{{a}_{4}}-{{a}_{6}}+…-{{a}_{4034}}+{{a}_{4036}}$ bằng

A. ${{2}^{1009}}$.        

B. $-{{2}^{1009}}$.       

C. $0$.                           

D. $-1$.

Lời giải

${{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2018}}$$={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{4036}}{{x}^{4036}}$.

Thay $x=i$ với ${{i}^{2}}=-1$ ta được:

${{\left( -1 \right)}^{1009}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}i+{{a}_{2}}{{i}^{2}}+{{a}_{3}}{{i}^{3}}+…+{{a}_{4034}}{{i}^{4034}}+{{a}_{4035}}{{i}^{4035}}+{{a}_{4036}}{{i}^{4036}}$.

Đối chiếu phần thực ở hai vế ta được: $-1={{a}_{0}}-{{a}_{2}}+{{a}_{4}}-{{a}_{6}}+…-{{a}_{4034}}+{{a}_{4036}}$.

Câu 6.

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại duy nhất số phức $z$ thỏa mãn $z.\overline{z}=1$ và $\left| z-\sqrt{3}+i \right|=m$. Tìm số phần tử của $S$.

A. $2$.                           

B. $4$.                            

C. $1$.                           

D. $3$.

Lời giải

Chọn A

Gọi $z=x+yi\,,\,(x,y\in \mathbb{R})$, ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1{\rm{ }}(1)\\ {\left( {x – \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {m^2}{\rm{ }}(m \ge 0) \end{array} \right.$

Ta thấy $m=0\Rightarrow z=\sqrt{3}-i$ không thỏa mãn $z.\overline{z}=1$ suy ra $m>0$.

Xét trong hệ tọa độ $Oxy$ tập hợp các điểm thỏa mãn $\left( 1 \right)$ là đường tròn $({{C}_{1}})$ có $O(0;0),{{R}_{1}}=1$, tập hợp các điểm thỏa mãn $\left( 2 \right)$ là đường tròn $({{C}_{2}})$ tâm $I\left( \sqrt{3};-1 \right),{{R}_{2}}=m$, ta thấy $OI=2>{{R}_{1}}$ suy ra $I$ nằm ngoài $({{C}_{1}})$.

Để có duy nhất số phức $z$ thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với $({{C}_{1}}),({{C}_{2}})$ tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi $OI={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow m+1=2\Leftrightarrow m=1$ hoặc ${{R}_{2}}={{R}_{1}}+OI\Leftrightarrow m=1+2=3$.

Dạng 4. Tìm Min, Max mođun của số phức.

Câu 1.

Xét hai số phức ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=1,\left| {{z}_{2}} \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$. Giá trị lớn nhất của $\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|$ bằng

A. $5-\sqrt{19}.$           

B. $5+\sqrt{19}.$        

C. $-5+2\sqrt{19}.$     

D. $5+2\sqrt{19}.$

Lời giải

Chọn B

Đặt ${{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}.$ Theo giả thiết thì

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1,\text{ }{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4,\text{ }{{(a-c)}^{2}}+{{(b-d)}^{2}}=3.$

Do đó ${{a}^{2}}-2ac+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-2bd+{{d}^{2}}=3\Rightarrow ac+bd=1.$

Ta có $3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=3(a+c)+(3b+d)i$ nên

$\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|={{(3a+c)}^{2}}+{{(3b+d)}^{2}}=9({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+({{c}^{2}}+{{d}^{2}})+6(ac+bd)=19.$

Áp dụng bất đẳng thức $\left| z+{z}’ \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}’} \right|$, ta có ngay

$\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|\le \left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| -5i \right|=\sqrt{19}+5.$

Câu 2.

Cho số phức $z$ thỏa mãn \left| z-2i \right|\le \left| z-4i \right| và \left| z-3-3i \right|=1. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| z-2 \right|$ là:

A. $\sqrt{13}+1$.              

B. $\sqrt{10}+1$.           

C. $\sqrt{13}$.                

D. $\sqrt{10}$.

Lời giải

Chọn C

Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ ta có:

$\left| {z – 2i} \right| \le \left| {z – 4i} \right|$

$ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} \le {x^2} + {\left( {y – 4} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow y \le 3;$

$\left| {z – 3 – 3i} \right| = 1$

$ \Leftrightarrow $ điểm M nằm trên đường tròn tâm $I\left( 3;3 \right)$ và bán kính bằng 1.

Biểu thức $P=\left| z-2 \right|=AM$ trong đó $A\left( 2;0 \right)$, theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của $P=\left| z-2 \right|$ đạt được khi $M\left( 4;3 \right)$ nên $\max P=\sqrt{{{\left( 4-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{13}$.

Câu 4.

Cho các số phức $z$,w thỏa mãn $z-w=3+4i$,$\left| z+2w \right|=10$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\left| z \right|+\left| w \right|$ .

A. $3\sqrt{3}$.                                     

B. $2\sqrt{3}$.                                     

C. $5\sqrt{2}$.                                     

D. $5\sqrt{3}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có

$z-w=3+4i\Rightarrow {{\left| z-w \right|}^{2}}={{\left| 3+4i \right|}^{2}}=25$.

$\Rightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| w \right|}^{2}}-\left( z.\overline{w}+\overline{z}.w \right)=25$.

$\left| z+2w \right|=10\Leftrightarrow {{\left| z+2w \right|}^{2}}=100$,$\left( 1 \right)$.

$\Rightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+4{{\left| w \right|}^{2}}-2\left( z.\overline{w}+\overline{z}.w \right)=100$,$\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow 3{{\left| z \right|}^{2}}+6{{\left| w \right|}^{2}}=150$.

$P=\left| z \right|+\left| w \right|\le \sqrt{\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right)\left( 2{{\left| z \right|}^{2}}+6{{\left| w \right|}^{2}} \right)}=5\sqrt{3}$.

Câu 5.

Cho số phức $z$ và w thỏa mãn $z+w=3+4i$ và $\left| z-w \right|=9$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| z \right|+\left| w \right|$.

A. $\max T=\sqrt{176}$.  

B. $\max T=14$.               

C. $\max T=4$.                 

D. $\max T=\sqrt{106}$.

Lời giải

Chọn D

Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Do $z+w=3+4i$ nên $ w=\left( 3-x \right)+\left( 4-y \right)i$.

Mặt khác $\left| z-w \right|=9$ nên $\left| z-w \right|=\sqrt{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12x-16y+25}=9$

$\Leftrightarrow $$2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y=28$$\left( 1 \right)$.

Suy ra $T=\left| z \right|+\left| w \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có ${{T}^{2}}\le 2\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y+25 \right) $$\left( 2 \right)$.

Dấu ”=” xảy ra khi $ \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có:

${T^2} \le 2.\left( {28 + 25} \right)$

$ \Leftrightarrow – \sqrt {106} \le T \le \sqrt {106} $

Vậy $MaxT=\sqrt{106}$.

————————————-

Chúc các em có những kỳ thi thành công rực rỡ!


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder