Thể tích Khối chóp tam giác đều khi biết cạnh đáy a và cạnh bên b

Thể tích Khối chóp tam giác đều khi biết cạnh đáy a và cạnh bên b

Cách dựng

Đặc điểm-tính chất:

+ Tất cả các cạnh bên đều bằng nhau và hợp đáy một góc bằng nhau. 

+ Tất cả các mặt bên đều là các tam giác cân tại S bằng nhau và hợp đáy một góc bằng nhau.

+  G là trọng tâm của tam giác đáy  và  SG $ \bot $ (ABC).

Công thức thể tích tổng quát:

• ${S_d} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.
• $h = \sqrt {S{A^2} – A{G^2}} = \sqrt {S{A^2} – {{\left( {\frac{2}{3}AD} \right)}^2}}$ $= \sqrt {{b^2} – {{\left( {\frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {9{b^2} – 3{a^2}} }}{3}$.
• $V = \frac{1}{3}{S_d}h = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{\sqrt {9{b^2} – 3{a^2}} }}{3}$ $= \frac{{{a^2}\sqrt {27{b^2} – 9{a^2}} }}{{36}}$.

Vậy:$V= \frac{{{a^2}\sqrt {27{b^2} – 9{a^2}} }}{{36}}$.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:  Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng $a\sqrt 3 $, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Giải

• ${{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} =  \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}$.
• $h={\rm{AG = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AD = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a$.
• $SG = \sqrt {S{A^2} – A{G^2}} = a.\sqrt 3 $.
• ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SG = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}. 3 }}{4}$.

Áp dụng công thức cho trắc nghiệm:$V = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt {27{{(2a)}^2} – 9{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} }}{{36}} = \frac{{3 {a^3}}}{4}$

Phần trước: Các công thức thể tích.

Phần tiếp theo: Thể tích khối chóp tam giác đều khi biết cạnh đáy a và cạnh bên hợp đáy góc α.