Thể tích Khối Chóp Tam Giác Đều khi biết cạnh đáy a và mặt bên hợp đáy góc β.

Thể tích Khối Chóp Tam Giác Đều khi biết cạnh đáy a và mặt bên hợp đáy góc β.

Đặc điểm-tính chất:

+ Tất cả các cạnh bên đều bằng nhau và hợp đáy một góc bằng nhau. 

+ Tất cả các mặt bên đều là các tam giác cân tại S bằng nhau và hợp đáy một góc bằng nhau.

+  G là trọng tâm của tam giác đáy  và  SG $ \bot $ (ABC), suy ra: chiều cao h=SG.

Công thức thể tích tổng quát:

• ${S_d} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.
• $GD = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$.
• $h = GD.\tan \beta = \frac{{a\sqrt 3 \tan \beta }}{6}$.
• $V = \frac{1}{3}{S_d}.h = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\frac{{a\sqrt 3 \tan \beta }}{6} = \frac{{{a^3}\tan \beta }}{{24}}$
• Vậy: $V = \frac{{{a^3}\tan \beta }}{{24}}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:  Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng $2a\sqrt 3 $, mặt bên hợp đáy góc 60^0. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Giải

• ${S_d} = \frac{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3 $
• $GD = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}\frac{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)\sqrt 3 }}{2} = a$.
• $h = GD.\tan \beta = a\tan {60^0} = a\sqrt 3 $.
• $V = \frac{1}{3}{S_d}.h = \frac{1}{3}.3{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 = 3{a^3}$.

Áp dụng công thức cho trắc nghiệm:$V = \frac{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^3}\tan {{60}^0}}}{{24}} = 3{a^3}$

Phần trước: Thể tích khối chóp tam giác đều khi biết cạnh đáy a và cạnh bên hợp đáy góc α.

Phần tiếp theo: Thể tích khối chóp tam giác đều khi biết cạnh đáy a và mặt bên hợp đáy góc β.