Tích phân bằng phương pháp đổi biến loại 2

Tích phân bằng phương pháp đổi biến loại 2

Định lý:

Nếu hàm số $u=u(x)$ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên $\left[ a;b \right]$ sao cho $f(x)dx=g(u(x)){{u}^{‘}}(x)dx=g(u)du$ thì  $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}$.

Quy tắc đổi biến loại 2

1. Với $\int {\left( {x,\frac{1}{{{x^2} + {a^2}}}} \right)} d{\rm{x}}$

Đặt: ${\rm{x = a tan t;t}} \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

2. Với $\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$,

Đặt $x=a\sin t,\,\,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\ \frac{\pi }{2} \right]$ hoặc $x=a\cos t,\,\,\,\,t\in \left[ 0;\ \pi  \right]$

3. Với $\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$,

Đặt : ${\rm{x = a tan t;t}} \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

4. Với $\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$,

Đặt  $x=\frac{a}{\sin t},\,\,\,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$ Hoặc $x=\frac{a}{\cos t};$ $\,\,\,t\in \left[ 0;\pi  \right]\backslash \left\{ \frac{\pi }{2} \right\}$.

5. $\int{\left( x,\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \right)}d\text{x}$.

Đặt x=acos 2t với $t \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

6. Với $\int{\left( x,\sqrt{(x-a)(x-b)} \right)}d\text{x}$.

Đặt $x=a+(b-a)si{{n}^{2}}t $ với $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$

7. với ${I_7} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right)} }}} $

Đặt: $t = \sqrt {ax + b} + \sqrt {cx + d} $

Dạng 1. $\int {\left( {x,\frac{1}{{{x^2} + {a^2}}}} \right)} d{\rm{x}}$

Ví dụ

Tính: $\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} $

Giải

Đặt: $x=\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$.

Khi $x=0$ thì $t=0$, khi $x=1$ thì $t=\frac{\pi }{4}$.

Ta có: $x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{dt}{{{\cos }^{2}}t}$.

$\begin{array}{l}
\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}} .\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt} \\
= t\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{4}\\
0
\end{array} \right. = \frac{\pi }{4}.
\end{array}$

Bài tập: Tính tích phân sau

$a)\int\limits_0^{2\sqrt 3 } {\frac{{d{\rm{x}}}}{{{x^2} + 4}}} $.

$b)\int\limits_0^1 {\frac{{d{\rm{x}}}}{{{x^2} + 3}}} $.

$c)\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{d{\rm{x}}}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 2}}} $

Dạng 2: $\int{\left( x,\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}d\text{x}$

Phương pháp: Đặt x=asint với $t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$

Ví dụ 2

Tính: $I = \int\limits_0^4 {\sqrt {4 – {x^2}} } dx$

Giải

Đặt: $x=2\sin t,\,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2} \right]$.

Khi x = 0 thì t = 0.

Khi $x=2$ thì $t=\frac{\pi }{2}$.              

Từ $x=2\sin t\Rightarrow $ $dx=2\cos tdt$.

$\begin{array}{l}
\int\limits_0^4 {\sqrt {4 – {x^2}} } dx\\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {4 – 4{{\sin }^2}t} .2\cos tdt} \\
= 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = \pi
\end{array}$

Bài tập: Tính các tích phân sau

$a)\int\limits_0^1 {\sqrt {4 – {x^2}} } d{\rm{x}}$.

$b)\int\limits_0^2 {\sqrt {4 – {x^2}} } d{\rm{x}}$.

$c)\int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\sqrt {1 – {x^2}} } d{\rm{x}}$.

$d)\int\limits_{ – 1}^0 {\sqrt { – {x^2} – 2{\rm{x}} + 4} } d{\rm{x}}$

Dạng 3: $\int{\left( x,\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right)}d\text{x}$.

Phương pháp: Đặt $x = \frac{a}{{\cos t}}$ với $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Ví dụ

Tính: $I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}d\text{x}$

Giải

Đặt $x = \frac{1}{{cost}}=> dx=\frac{{\sin t}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}t}}dt$

Đổi cận : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 \to t = 0}\\
{x = 2 \to t = \frac{\pi }{3}}
\end{array}} \right.$

$\sqrt {{x^2}-1}= \sqrt {\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{ t}}}} -1}= \left| {{\mathop{\rm tant}\nolimits} } \right| = {\mathop{\rm tant}\nolimits} $ Vì $0\le t\le \frac{\pi }{3}$ .

$\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan t.\frac{{\sin t}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}t}}dt} \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\sin }^2}t}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}dt} \\
= \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\sin }^2}t.c{\rm{os}}t}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^4}t}}dt}
\end{array}$

Đặt u=sin t=>du=cos t dt

Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 0 \to u = 0}\\
{t = \frac{\pi }{3} \to \frac{{\sqrt 3 }}{2}}
\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{{u^2}}}{{1 – {u^2}}}du} \\
= \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{1 – (1 – {u^2})}}{{1 – {u^2}}}du} \\
= \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left( {\frac{1}{{1 – {u^2}}} – 1} \right)du} \\
= \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left( {\frac{1}{2}(\frac{1}{{1 – u}} + \frac{1}{{1 + u}}) – 1} \right)du} \\
= \left( {\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 – u}}} \right| – u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\
0
\end{array}} \right.\\
= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 – \sqrt 3 }}} \right| – \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array}$

Bài tập: Tính các tích phân sau

$a)\int\limits_1^{\frac{4}{{\sqrt 3 }}} {\sqrt {{x^2} – 4} } d{\rm{x}}$.

$b)\int\limits_1^{2\sqrt 2 } {\sqrt {{x^2} – 4} } d{\rm{x}}$.

$c)\int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}}} } d{\rm{x}}$.

Dạng 4: $\int{\left( x,\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}d\text{x}$.

Phương pháp: Đặt x=atant với $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Ví dụ

Tính: $I = \int_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^5}} }}{{{x^8}}}} $

Giải

Đặt : $x = \tan t;t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \to t = \frac{\pi }{6}}\\
{x = 1 \to t = \frac{\pi }{4}}
\end{array}} \right.$

$dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$

$\begin{array}{l}
= > I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt {{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)}^5}} }}{{{{\tan }^8}t}}\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}} \\
= \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos tdt}}{{{{\sin }^8}t}}} \\
= \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d(\sin t)}}{{{{\sin }^8}t}}} \\
= \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {\sin t} \right)}^{ – 8}}d(\sin t)} \\
= – \frac{1}{{7{{\sin }^7}t}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{\pi }{4}}\\
{\frac{\pi }{6}}
\end{array}} \right. = \frac{{128 – 8\sqrt 2 }}{7}
\end{array}$

$a)\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}d{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $.

$b)\int\limits_{ – 1}^0 {{x^3}.\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 2} d{\rm{x}}} $

$c)\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{{x^3}d{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 2} }}} $.

Dạng 5: $\int{\left( x,\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \right)}d\text{x}$.

Phương pháp: Đặt x=acos 2t với $t \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Ví dụ

Tính: $I = \int_0^{\frac{5}{2}} {\sqrt {\frac{{5 + x}}{{5 – x}}} }dx $

Giải

Đặt: $x = 5\cos 2t;t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$

Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0 \to t = \frac{\pi }{4}}\\
{x = \frac{5}{2} \to t = \frac{\pi }{6}}
\end{array}} \right.;dx = – 10\sin 2tdt$

$ = > I = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{6}} {\sqrt {\frac{{5(1 + \cos 2t)}}{{5(1 – \cos 2t)}}} } \left( { – 10\sin 2t} \right)dt$

$ = 10\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {\frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} } \left( {2\sin t\cos t} \right)dt$

$ = 10\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {2{{\cos }^2}t} dt$

$ = 10\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} $

$ = 10\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{\pi }{4}}\\
{\frac{\pi }{6}}
\end{array}} \right.$

$ = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{5(2 – \sqrt 3 )}}{2}$

Bài tập thực hành

Tính các tích phận sau:

a)$I = \int_0^1 {\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} } dx$

b)$I = \int_0^{\frac{3}{2}} {{x^2}\sqrt {\frac{{3 + x}}{{3 – x}}} } dx$

Dạng 6: $\int{\left( x,\sqrt{(x-a)(x-b)} \right)}d\text{x}$.

Phương pháp: Đặt $x=a+(b-a)si{{n}^{2}}t $ với $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$

Ví dụ

Tính: $I = \int_{\frac{5}{4}}^{\frac{5}{2}} {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {2 – x} \right)} }}}$

Giải

Đặt: $x = 1 + (2 – 1){\sin ^2}t;t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$

Đổi cận : $\left\{ \begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{5}{4} \to t = \frac{\pi }{6}}\\
{x = \frac{3}{2} \to t = \frac{\pi }{4}}
\end{array}\\
dx = \sin 2tdt
\end{array} \right.$

$ = > I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 2tdt}}{{\sqrt {{{\sin }^2}t(1 – {{\sin }^2}t)} }}} $

$ = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2\sin t\cos tdt}}{{\sqrt {{{\sin }^2}t{{\cos }^2}t} }}} $

$ = 2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {dt} = \frac{\pi }{6}$

Bài tập thực hành

Tính các tích phân sau

a) Chứng minh rằng: $\int_{\frac{{3a + b}}{4}}^{\frac{{a + b}}{2}} {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x – a} \right)\left( {b – x} \right)} }}} = \frac{\pi }{6}$

b) $I = \int_{\frac{3}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {3 – x} \right)} }}} $

TRẮC NGHIỆM

Câu 1.      Có bao nhiêu số thực a để $ \int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{a+{{x}^{2}}}dx}=1$.

A. $2$                             

B. $1$                             

C. $0$                             

D. $3$

Câu 2.      Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\sqrt{16-{{x}^{2}}}\text{d}x}$ và $x=4\sin t$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $I=8\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)\text{d}t}$.        

B. $I=16\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\sin }^{2}}t\text{d}t}$.

C. $I=8\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1-\cos 2t \right)\text{d}t}$.         

D. $I=-16\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}t\text{d}t}$.

Câu 3.      Cho biết $\int\limits_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}}\text{d}x}=\frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là một phân số tối giản. Tính $m-7n$

A. 0.                                

B. 1.                                

C. 2.                                

D. 91.

Câu 4.      Tính $I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{{{x}^{3}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\text{d}x}$.

A. $I=\left( {{a}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{a}^{2}}+1}-1$.                                    

B. $I=\frac{1}{3}\left[ \left( {{a}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{a}^{2}}+1}-1 \right]$.

C. $I=\frac{1}{3}\left[ \left( {{a}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{a}^{2}}+1}+1 \right]$. 

D. $I=\left( {{a}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{a}^{2}}+1}+1$.

Câu 5.      Cho tích phân$\int\limits_{1}^{4}{\frac{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}{x}dx}=a+b\sqrt{6}+c\,\ln \left( \frac{5\sqrt{6}+12}{5\sqrt{6}-12} \right)+d\,\,\ln 2$với $a,b,c,d$ là các số hữu tỉ. Tính tổng $a+b+c+d$.

A. $-\frac{1}{3}$.            

B. $-\frac{3}{25}$.          

C. $-\frac{3}{2}$.            

D. $-\frac{3}{20}$.

Câu 6.      Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}}$ nếu đổi biến số $x=2\sin t,t\in \left( -\frac{\pi }{2}\text{;}\frac{\pi }{2} \right)$ thì ta được.

A. $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\text{d}t}$.          

B. $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\text{d}t}$.          

C. $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{t\text{d}t}$.        

D. $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\text{d}t}{t}}$.

———————–

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

• Phương pháp tính tích phân
• Phương pháp tính tích phân từng phần
• Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 1
• Phương pháp tính tích phân bằng đổi biến loại 2
• Phương pháp tính tích phân bằng nhân liên hợp
• Phương pháp tính tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
• Phương pháp tính tích phân các hàm có dạng đặc biệt
• Một số dạng thường gặp trong tính tich phân
• Ứng dụng tich phân vào tính thể tích
• Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng

———————–