HÃY THỬ SỨC VỚI ĐỀ LUYỆN TẬP SAU

Đề gồm 50 câu trắc nghiệm

0
Created on By ADMIN

Tìm số phức theo 4 cấp độ

1 / 56

Cho số phức $z$ thỏa mãn ${{\left( 1-\sqrt{3}i \right)}^{2}}z=4-3i$. Môđun của $z$ bằng

2 / 56

Cho $z=\frac{3+i}{x+i}$. Tổng phần thực và phần ảo của $z$ là

3 / 56

Cho số phức $z$ thỏa mãn $z\left( 1+i \right)=3-5i$. Tính môđun của $z$

4 / 56

Tìm số phức liên hợp của số phức $z=-i$.

5 / 56

Cho số phức $z=-2+3i$. Số phức liên hợp của $z$ là?

6 / 56

Số phức $z$ thỏa mãn $\overline{z}=-3-2i$ là

7 / 56

Tìm số phức liên hợp của số phức $z=\left( 2+i \right)\left( -3i \right).$

8 / 56

Tìm số phức liên hợp của số phức $z=\left( 2-3i \right)\left( 3+2i \right)$.

9 / 56

Tìm số phức liên hợp của số phức $z=3\left( 2+3i \right)-4\left( 2i-1 \right)$.

10 / 56

Tìm số phức liên hợp của số phức $z$ biết $z=i.z+2$.

11 / 56

Cho các số phức ${{z}_{1}}=2+3i$, ${{z}_{2}}=4+5i$. Số phức liên hợp của số phức $w=2\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$ là

12 / 56

Kí hiệu $a,b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $z=-4-3i$. Tìm $a,b$.

13 / 56

Cho điểm $M$ là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z$.

14 / 56

Cho số phức $z$ có số phức liên hợp $\bar{z}=3-2i$. Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ bằng.

15 / 56

Cho số phức $z=3-2i$. Tìm phần ảo của của số phức liên hợp $z$.

16 / 56

Cho số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Phần thực và phần ảo của số phức ${{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ là.

17 / 56

Cho số phức $z=1-\sqrt{2}i$. Tìm phần ảo của số phức $P=\frac{1}{\overline{z}}$.

18 / 56

Cho số phức $z$ thoả mãn $\frac{z}{3+2i}=1-i$ Số phức liên hợp $\bar{z}$ là.

19 / 56

Tìm số phức liên hợp của số phức $z=\left( 2+i \right)\left( -1+i \right){{\left( 2i+1 \right)}^{2}}$.

20 / 56

Số phức liên hợp của số phức $z=\frac{{{\left( 1-\sqrt{3}i \right)}^{3}}}{1-i}$ là

21 / 56

Tìm số phức $\bar{z}$ thỏa mãn $\frac{2+i}{1-i}z=\frac{-1+3i}{2+i}$.

22 / 56

Cho hai số phức $z=1+3i$, $w=2-i$. Tìm phần ảo của số phức $u=\overline{z}.w$.

23 / 56

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 3+2i \right)z=7+5i$. Số phức liên hợp $\overline{z}$ của số phức $z$ là

24 / 56

Cho số phức $z$ thỏa mãn: $\left( 1+i \right)z=14-2i$. Tổng phần thực và phần ảo của $\bar{z}$ bằng:

25 / 56

Cho số phức $z$ thỏa mãn: $(3+2i)z+{{(2-i)}^{2}}=4+i$. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức $z$ là:

26 / 56

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 4+7i \right)z-\left( 5-2i \right)=6iz$. Tìm phần ảo của số phức $z$?

27 / 56

Cho số phức $z=1+2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $w=2z+\bar{z}$.

28 / 56

Cho số phức $z=a+bi$. Số phức ${{z}^{2}}$ có phần ảo là?

29 / 56

Gọi ${{z}_{1}}$; ${{z}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-3z+5=0$. Mô đun của số phức $\left( 2\overline{{{z}_{1}}}-3 \right)\left( 2\overline{{{z}_{2}}}-3 \right)$ bằng

30 / 56

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left| \frac{z+1}{i-z} \right|=1$ và $\left| \frac{z-i}{2+z} \right|=1?$

31 / 56

Cho số phức $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}},\,$$m$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m\in \left[ 1;50 \right]$ để $z$ là số thuần ảo?

32 / 56

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1+i \right)z+\overline{z}$ là số thuần ảo và $\left| z-2i \right|=1$.

33 / 56

Cho số phức $z={{\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} \right)}^{3}}$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\bar{z}$?

34 / 56

Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left( 3+2i \right)z+{{\left( 2-i \right)}^{2}}=4+i.$ Tìm phần ảo của số phức $w=\left( 1+z \right)\bar{z}$.

35 / 56

Tìm phần ảo của số phức $z$ thỏa mãn $z+2\overline{z}={{\left( 2-i \right)}^{3}}\left( 1-i \right)$.

36 / 56

Nếu số phức $z\ne 1$ thoả mãn $\left| z \right|=1$ thì phần thực của $\frac{1}{1-z}$ bằng:

37 / 56

Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=1$, $\left| {{z}_{2}} \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3$. Giá trị của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là:

38 / 56

Cho $2$ số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa $\left| {{z}_{1}} \right|=1$, $\left| {{z}_{2}} \right|=1$,$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$. Khi đó $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng:

39 / 56

Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $z+1+3i-\left| z \right|i=0$. Tính $S=a+3b$.

40 / 56

Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $z+1+3i-\left| z \right|i=0$. Tính $S=a+3b$.

41 / 56

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}$ và ${{\left( z+2i \right)}^{2}}$ là số thuần ảo?

42 / 56

Cho số phức ${z}$thỏa ${\overline{z}=\frac{{{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{3}}}{1-i}}$. Môđun của số phức ${\overline{z}+iz}$ bằng

43 / 56

Cho số phức $z$ thỏa điều kiện ${\frac{1+5i}{1+i}z+\bar{z}=10-4i}$. Tính môđun của số phức ${w=1+iz+{{z}^{2}}}$.

44 / 56

Biết số phức $z$ có phần ảo khác $0$ và thỏa mãn $\left| z-\left( 2+i \right) \right|=\sqrt{10}$ và $z.\bar{z}=25$. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức $z$ trên?

45 / 56

Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,b\in \mathbb{R},a>0 \right)$ thỏa mãn $\left| z-1+2i \right|=5$ và $z.\bar{z}=10$. Tính $P=a-b$.

46 / 56

Số phức $z=a+bi$ ( với $a$, $b$ là số nguyên) thỏa mãn $\left( 1-3i \right)z$ là số thực và $\left| \overline{z}-2+5i \right|=1$. Khi đó $a+b$ là

47 / 56

Cho số phức $w=1+\left( 1+i \right)+{{\left( 1+i \right)}^{2}}+{{\left( 1+i \right)}^{3}}+...+{{\left( 1+i \right)}^{20}}$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\bar{w}$.

48 / 56

Cho số phức $z\ne 0$ thỏa mãn $\frac{iz-\left( 3i+1 \right)\overline{z}}{1+i}={{\left| z \right|}^{2}}$. Số phức $w=\frac{13}{3}iz$ có môđun bằng:

49 / 56

Cho hai số phức $z$, $w$ thỏa mãn $\left| z+2w \right|=3$, $\left| 2z+3w \right|=6$ và $\left| z+4w \right|=7$. Tính giá trị của biểu thức $P=z.\overline{w}+\overline{z}.w$.

50 / 56

Cho các số phức${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$và ${{z}_{1}}^{3}+{{z}_{2}}^{3}+{{z}_{3}}^{3}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}=0$. Đặt $z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}$, giá trị của ${{\left| z \right|}^{3}}-3{{\left| z \right|}^{2}}$ bằng:

51 / 56

Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

52 / 56

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-4-i \right)+2i=\left( 5-i \right)z$?

53 / 56

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z$?

54 / 56

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-3-i \right)+2i=\left( 4-i \right)z$?

55 / 56

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|$ và $\frac{z-2i}{\overline{z}+i}$ là một số thuần ảo ?

56 / 56

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z$?

Your score is

The average score is 0%

0%

HƯỚNG DẪN VÀ LỜI GIẢI

Câu 1.      Tìm số phức liên hợp của số phức $z=-i$.

A. $\bar{z}=i$.        B. $\bar{z}=1$.     C. $\bar{z}=-i$.     D. $\bar{z}=-1$.

 Lời giải

Chọn A

Câu 2.      Cho số phức $z=-2+3i$. Số phức liên hợp của $z$ là?

A. $\bar{z}=\sqrt{13}$.                         B. $\bar{z}=2-3i$. C. $\bar{z}=3-2i$.                                D. $\bar{z}=-2-3i$.

Lời giải

Chọn D

$\bar{z}=-2-3i$.

Câu 3.      Số phức $z$ thỏa mãn $\overline{z}=-3-2i$ là

A. $z=-3-2i$            B. $z=-3+2i$          C. $z=3-2i$            D. $z=3+2i$

Lời giải

Chọn B

Ta có $\overline{z}=-3-2i$ suy ra $z=-3+2i$.

Câu 4.      Tìm số phức liên hợp của số phức $z=\left( 2+i \right)\left( -3i \right).$

A. $\bar{z}=3-6i$.   B. $\bar{z}=3+6i$. C. $\bar{z}=-3+6i$.        D. $\bar{z}=-3-6i$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $z=\left( 2+i \right)\left( -3i \right)=3-6i$$\Rightarrow \bar{z}=3+6i$.

Câu 5.      Tìm số phức liên hợp của số phức $z=\left( 2-3i \right)\left( 3+2i \right)$.

A. $\overline{z}=12-5i$.                 B. $\overline{z}=-12+5i$.                     C. $\overline{z}=-12-5i$.                           D. $\overline{z}=12+5i$.

Lời giải:

Chọn D

Ta có $z=\left( 2-3i \right)\left( 3+2i \right)$$=6-5i-6{{i}^{2}}=12-5i$$\Rightarrow \overline{z}=12+5i$.

Câu 6.      Tìm số phức liên hợp của số phức $z=3\left( 2+3i \right)-4\left( 2i-1 \right)$.

A. $10+i$.               B. $-10-i$.             C. $1-10i$.            D. $10-i$.

Lời giải:

Chọn D

Ta có: $z=3(2+3i)-4(2i-1)=6+9i-8i+4=10+i\Rightarrow \overline{z}=10-i$.

Câu 7.      Tìm số phức liên hợp của số phức $z$ biết $z=i.z+2$.

A. $1-i$.                  B. $-1+i$.              C. $-1-i$.               D. $1+i$.

Lời giải:

Chọn A

Ta có $z=i.z+2\Leftrightarrow z=\frac{2}{1-i}=\frac{2\left( 1+i \right)}{2}=1+i$. Vậy $\bar{z}=1-i$.

Câu 8.      Cho các số phức ${{z}_{1}}=2+3i$, ${{z}_{2}}=4+5i$. Số phức liên hợp của số phức $w=2\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$ là

A. $\bar{w}=28i$.   B. $\bar{w}=8+10i$.                            C. $\bar{w}=12-16i$.                                D. $\bar{w}=12+8i$.

Lời giải:

Chọn C

Ta có $w=2\left( 6+8i \right)=12+16i\Rightarrow \bar{w}=12-16i$.

Câu 9.      Kí hiệu $a,b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $z=-4-3i$. Tìm $a,b$.

A. $a=4$, $b=3$.     B. $a=-4$, $b=-3i$. C. $a=-4$, $b=3$.  D. $a=-4$, $b=-3$.

Lời giải:

Chọn D

Câu 10.    Cho điểm $M$ là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z$.

A. Phần thực là $3$ và phần ảo là $-4$.   B. Phần thực là $-4$ và phần ảo là $3i$.

C. Phần thực là $3$ và phần ảo là $-4i$.  D. Phần thực là $-4$ và phần ảo là $3$.

Lời giải:

Chọn D

Câu 11.    Cho số phức $z$ có số phức liên hợp $\bar{z}=3-2i$. Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ bằng.

A. $-1$.                   B. $1$.                   C. $-5$.                 D. $5$.

Lời giải:

Chọn D

Ta có: $z=3+2i$. Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ bằng $5$.

Câu 12.    Cho số phức $z=3-2i$. Tìm phần ảo của của số phức liên hợp $z$.

A. $-2i$.                  B. $-2$.                  C. $2$.                   D. $2i$.

Lời giải:

Chọn C

Ta có: $\overline{z}=3+2i\Rightarrow $ phần ảo của $\overline{z}$ là $2$.

Câu 13.    Cho số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Phần thực và phần ảo của số phức ${{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ là.

A. Phần thực là $-3$ và phần ảo là $8i$.              B. Phần thực là $-3$ và phần ảo là $8$.

C. Phần thực là $-3$ và phần ảo là $-8$.  D. Phần thực là $3$ và phần ảo là $8$.

Lời giải:

Chọn B

Ta có: ${{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=1+2i-2\left( 2-3i \right)=-3+8i$. Vậy phần thực của ${{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$là $-3$ và phần ảo là $8$.

Câu 14.    Cho số phức $z=1-\sqrt{2}i$. Tìm phần ảo của số phức $P=\frac{1}{\overline{z}}$.

A. $-\sqrt{2}$.         B. $-\sqrt{2}$.       C. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$. D. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Lời giải:

Chọn C

Ta có: $P=\frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{1+i\sqrt{2}}=\frac{1-i\sqrt{2}}{{{1}^{2}}+{{\sqrt{2}}^{2}}}=\frac{1-i\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}i$.

B. Mức độ 2

Câu 1.      Cho số phức $z$ thoả mãn $\frac{z}{3+2i}=1-i$ Số phức liên hợp $\bar{z}$ là.

A. $\bar{z}=5+i$.    B. $\bar{z}=-5-i$.  C. $\bar{z}=-1-5i$. D. $\bar{z}=-1+5i$.

Lời giải

Chọn A

$z=\left( 3+2i \right)\left( 1-i \right)=5-i$.

Số phức liên hợp $\bar{z}=5+i$.

Câu 2.      Tìm số phức liên hợp của số phức $z=\left( 2+i \right)\left( -1+i \right){{\left( 2i+1 \right)}^{2}}$.

A. $\bar{z}=5+15i$. B. $\bar{z}=5+5i$. C. $\bar{z}=1+3i$. D. $\bar{z}=5-15i$.

Lời giải:

Chọn A

$z=(2+i)(-1+i){{(2i+1)}^{2}}=\left( -3+i \right)\left( -3+4i \right)=5-15i$$\Rightarrow \bar{z}=5+15i$.

Câu 3.   Số phức liên hợp của số phức $z=\frac{{{\left( 1-\sqrt{3}i \right)}^{3}}}{1-i}$ là

A. $\overline{z}=-4+4i$.                                      B. $\overline{z}=4-4i$.            C. $\overline{z}=-4-4i$.                               D. $\overline{z}=4+4i$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $z=\frac{{{\left( 1-\sqrt{3}i \right)}^{3}}}{1-i}$$=\frac{{{\left( 1-\sqrt{3}i \right)}^{3}}\left( 1+i \right)}{\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)}$$=-4-4i$. Suy ra $\overline{z}=-4+4i$.

Câu 4.      Tìm số phức $\bar{z}$ thỏa mãn $\frac{2+i}{1-i}z=\frac{-1+3i}{2+i}$.

A. $-\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i$.        B. $\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i$.      C. $\frac{22}{25}-\frac{4}{25}i$.               D. $\frac{22}{25}i+\frac{4}{25}$.

Lời giải

Chọn C

Dùng máy tính: $z=\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i$.  Vậy $\bar{z}=\frac{22}{25}-\frac{4}{25}i$.

Câu 5.      Cho hai số phức $z=1+3i$, $w=2-i$. Tìm phần ảo của số phức $u=\overline{z}.w$.

A. $5$.                     B. $-7i$.                 C. $-7$.                 D. $5i$.

Lời giải.

Chọn C

$\overline{z}=1-3i$; $u=\overline{z}.\text{w}=\left( 1-3i \right)\left( 2-i \right)=-1-7i$.

Vậy phần ảo của số phức $u$ bằng $-7$.

Câu 6.   Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 3+2i \right)z=7+5i$. Số phức liên hợp $\overline{z}$ của số phức $z$ là

A. $\overline{z}=\frac{31}{5}-\frac{1}{5}i$.                        B. $\overline{z}=\frac{31}{13}-\frac{1}{13}i$.                         C. $\overline{z}=-\frac{31}{13}+\frac{1}{13}i$.                D. $\overline{z}=-\frac{31}{5}+\frac{1}{5}i$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $\left( 3+2i \right)z=7+5i$$\Rightarrow z=\frac{7+5i}{3+2i}=\frac{31}{13}+\frac{1}{13}i$.

Vậy $\overline{z}=\frac{31}{13}-\frac{1}{13}i$.

Câu 7.   Cho số phức $z$ thỏa mãn: $\left( 1+i \right)z=14-2i$. Tổng phần thực và phần ảo của $\bar{z}$ bằng:

A. $-4$.                           B. $14$.                        C. $4$.                          D. $-14$.

Lời giải.

Chọn B

Ta có: $\left( 1+i \right)z=14-2i\Leftrightarrow z=\frac{14-2i}{1+i}=6-8i\Rightarrow \bar{z}=6+8i$

Vậy tổng phần thực phần ảo của $\bar{z}$ là $14$.

Câu 8.   Cho số phức $z$ thỏa mãn: $(3+2i)z+{{(2-i)}^{2}}=4+i$. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức $z$ là:

A. $0$                             B. $2$                           C. $1$                           D. $3$.

Lời giải.

Chọn A

Ta có :

$(3+2i)z+{{(2-i)}^{2}}=4+i$$\Leftrightarrow (3+2i)z=4+i-{{\left( 2-i \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow (3+2i)z=1+5i$$\Leftrightarrow z=\frac{1+5i}{3+2i}$$\Leftrightarrow z=1+i$

$\Rightarrow $ phần thực của số phức $z$ là $a=1$, phần ảo của số phức $z$ là $b=1$.

Vậy $a-b=0$.

Câu 9.      Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 4+7i \right)z-\left( 5-2i \right)=6iz$. Tìm phần ảo của số phức $z$?

A. $\frac{18}{17}$.  B. $-\frac{18}{17}$.                             C. $-\frac{13}{17}$.                                D. $\frac{13}{17}$.

Lời giải:

Chọn C

$\left( 4+7i \right)z-\left( 5-2i \right)=6iz\Leftrightarrow \left( 4+i \right)z=5-2i\Leftrightarrow z=\frac{5-2i}{4+i}=\frac{\left( 5-2i \right)\left( 4-i \right)}{\left( 4+i \right)\left( 4-i \right)}=\frac{18-13i}{17}=\frac{18}{17}-\frac{13}{17}i$.

Câu 10.    Cho số phức $z=1+2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $w=2z+\bar{z}$.

A. Phần thực là $2$ và phần ảo là $3$.                     B. Phần thực là $3$ và phần ảo là $2i$.

C. Phần thực là $2i$ và phần ảo là $3$.   D. Phần thực là $3$ và phần ảo là $2$.

Lời giải:

Chọn D

$w=2z+\bar{z}=2\left( 1+2i \right)+\left( 1-2i \right)=3+2i$. Phần thực là $3$ và phần ảo là $2$.

Câu 11. Cho số phức $z=a+bi$. Số phức ${{z}^{2}}$ có phần ảo là?

A.$2ab$.                         B. ${{a}^{2}}{{b}^{2}}$.                                   C. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$.                                        D. $2abi$.

Lời giải.

Chọn A

Ta có : ${{z}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi$. Phần ảo của ${{z}^{2}}$ là $2ab$.

Câu 12. Gọi ${{z}_{1}}$; ${{z}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-3z+5=0$. Mô đun của số phức $\left( 2\overline{{{z}_{1}}}-3 \right)\left( 2\overline{{{z}_{2}}}-3 \right)$ bằng

A. $7$.                            B.  $11$.                       C. $29$.                        D. $1$.

Lời giải.

Chọn B

Phương trình ${{z}^{2}}-3z+5=0$ có nghiệm là $z=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{11}}{2}i$

Không mất tính tổng quát, giả sử: ${{z}_{1}}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{11}}{2}i$ và ${{z}_{2}}=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}i$

Ta có: $\left( 2\overline{{{z}_{1}}}-3 \right)\left( 2\overline{{{z}_{2}}}-3 \right)=\left( 3-i\sqrt{11}-3 \right)\left( 3+i\sqrt{11}-3 \right)=\left( -i\sqrt{11} \right)\cdot i\sqrt{11}=-11{{i}^{2}}=11$

Vậy mô đun của số phức $\left( 2\overline{{{z}_{1}}}-3 \right)\left( 2\overline{{{z}_{2}}}-3 \right)$ bằng $11$.

Ä Mức độ 3

Câu 1.      Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left| \frac{z+1}{i-z} \right|=1$ và $\left| \frac{z-i}{2+z} \right|=1?$

A. 1.                         B. 2.                       C. 3.                       D. $y=2$.

Lời giải:

Chọn A

Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} \left| {\frac{{z + 1}}{{i – z}}} \right| = 1\\ \left| {\frac{{z – i}}{{2 + z}}} \right| = 1 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {z + 1} \right| = \left| {i – z} \right|\\ \left| {z – i} \right| = \left| {2 + z} \right| \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {x + 1 + yi} \right| = \left| { – x + \left( {1 – y} \right)i} \right|\\ \left| {x + \left( {y – 1} \right)i} \right| = \left| {x + 2 + yi} \right| \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( { – x} \right)}^2} + {{\left( {1 – y} \right)}^2}} \\ \sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – y\\ 4x + 2y = – 3 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – \frac{3}{2}\\ y = \frac{3}{2} \end{array} \right.$ $ \Rightarrow z = – \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i.$

Câu 2.      Cho số phức $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}},\,$$m$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m\in \left[ 1;50 \right]$ để $z$ là số thuần ảo?

A. 24.                       B. 26.                     C. 25.                     D. 50.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}={{(2i)}^{m}}={{2}^{m}}.{{i}^{m}}\,$

$z$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $m=2k+1,\,\,k\in \mathbb{N}$ (do $z\ne 0;\text{ }\forall m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$).

Vậy có 25 giá trị $m$ thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 3.      Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1+i \right)z+\overline{z}$ là số thuần ảo và $\left| z-2i \right|=1$.

A. $2$.                     B. $1$.                   C. $0$.                   D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

Đặt $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ ta có : ${{z}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xy\text{i}$$=\left( 1+i \right)\left( a+bi \right)+a-bi$$=2a-b+ai$.

Mà $\left( 1+i \right)z+\overline{z}$ là số thuần ảo nên $2a-b=0$$\Leftrightarrow b=2a$. Mặt khác $\left| z-2i \right|=1$ nên ${{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=1$$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}=1$$\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-8a+3=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ a = \frac{3}{5} \end{array} \right.$

Câu 4.      Cho số phức $z={{\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} \right)}^{3}}$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\bar{z}$?

A. Phần thực bằng $2$ và phần ảo bằng $2i$.                        B. Phần thực bằng $2$ và phần ảo bằng $2$.

C. Phần thực bằng $2$ và phần ảo bằng $-2i$.                       D. Phần thực bằng $2$ và phần ảo bằng $-2$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $z={{\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} \right)}^{3}}=\frac{{{\left( 1+i\sqrt{3} \right)}^{3}}}{{{\left( 1+i \right)}^{3}}}=\frac{-8}{-2+2i}=2+2i\Rightarrow \bar{z}=2-2i$.

Câu 5.      Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left( 3+2i \right)z+{{\left( 2-i \right)}^{2}}=4+i.$ Tìm phần ảo của số phức $w=\left( 1+z \right)\bar{z}$.

A. $-1$.                   B. $0$.                   C. $-i$.                  D. $-2$.

Lời giải:

Chọn A

Ta có $\left( 3+2i \right)z+{{\left( 2-i \right)}^{2}}=4+i$ $\Leftrightarrow $ $z=1+i$.

Do đó $w=\left( 1+z \right)\bar{z}=\left( 2+i \right)\left( 1-i \right)=3-i$ $\Rightarrow $ phần ảo của số phức $w=-1$.

Câu 6.      Tìm phần ảo của số phức $z$ thỏa mãn $z+2\overline{z}={{\left( 2-i \right)}^{3}}\left( 1-i \right)$.

A. $-9$.                   B. $13$.                 C. $-13$.               D. $9$.

Lời giải:

Chọn B

Ta có $z+2\overline{z}={{\left( 2-i \right)}^{3}}\left( 1-i \right)\Leftrightarrow z+2\overline{z}=-9-13i$. Đặt $z=a+bi\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó $\left( a+bi \right)+2\left( a-bi \right)=-9-13i$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3a = – 9}\\ { – b = – 13} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = – 3}\\ {b = 13} \end{array}} \right.$

Câu 7.      Nếu số phức $z\ne 1$ thoả mãn $\left| z \right|=1$ thì phần thực của $\frac{1}{1-z}$ bằng:

A. ${1}$.                  B. ${\frac{1}{2}}$. C. ${2}$.                D. ${4}$.

Lời giải:

Chọn B

$z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, $\left| z \right|=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.

$\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-x-yi}=\frac{1-x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{y}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}i$ có phần thực là.

$\frac{1-x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{1-x}{1-2x+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{1-x}{2-2x}=\frac{1}{2}$.

Câu 8.      Cho hai số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=1$, $\left| {{z}_{2}} \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=3$. Giá trị của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là:

A. $0$.                     B. $1$.                   C. $2$.                   D. một giá trị khác.

Lời giải:

Chọn B

Giả sử ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i,\,\,\,\,\left( {{a}_{1}},\,\,{{b}_{1}}\in \mathbb{R} \right)$, ${{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i,\,\,\,\,\left( {{a}_{2}},\,\,{{b}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$.

Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1}} \right| = 1\\ \left| {{z_2}} \right| = 2\\ \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_1^2 + b_1^2 = 1\\ a_2^2 + b_2^2 = 4\\ {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2} = 9 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_1^2 + b_1^2 = 1\\ a_2^2 + b_2^2 = 4\\ 2{a_1}{a_2} + 2{b_1}{b_2} = 4 \end{array} \right.$

Khi đó, ta có:

$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{b}_{1}}-{{b}_{2}} \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{\left( a_{1}^{2}+b_{1}^{2} \right)+\left( a_{2}^{2}+b_{2}^{2} \right)-\left( 2{{a}_{1}}{{a}_{2}}+2{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right)}$ $=1$.

Vậy $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1$.

Câu 9.      Cho $2$ số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa $\left| {{z}_{1}} \right|=1$, $\left| {{z}_{2}} \right|=1$,$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$. Khi đó $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng:

A. $2$.                     B. $\sqrt{3}$.        C. $2-\sqrt{3}$.     D. $1$.

Lời giải:

Chọn D

Giả sử ${{z}_{1}}=a+bi$, ${{z}_{2}}=c+di$ với $a$, $b$, $c$, $d\in \mathbb{R}$.

Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=1$$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=1$$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$.

$\left| {{z}_{2}} \right|=1$$\Leftrightarrow \sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}=1$$\Leftrightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=1$.

$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}$$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}}=\sqrt{3}$$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+2ac+{{b}^{2}}+{{d}^{2}}+2bd=3$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}+{{d}^{2}}+2bd+2ac=3$$\Leftrightarrow 2bd+2ac=1$.

Khi đó $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$$=\sqrt{{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}$$=\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}+{{d}^{2}}-2bd-2ac}$$=1$.

Câu 10.    Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,\text{ }b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $z+1+3i-\left| z \right|i=0$. Tính $S=a+3b$.

A. $S=\frac{7}{3}$. B. $S=-5$.             C. $S=5$.              D. $S=-\frac{7}{3}$.

Lời giải:

Chọn B

Ta có $z+1+3i-\left| z \right|i=0$$\Leftrightarrow a+bi+1+3i-i\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0$ $\Leftrightarrow a+1+\left( b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)i=0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 1 = 0\\ b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 1\\ \left\{ \begin{array}{l} b \ge – 3\\ {\left( {b + 3} \right)^2} = 1 + {b^2} \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 1\\ b = – \frac{4}{3} \end{array} \right.$

$\Rightarrow S=-5$.

Câu 11.    Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}$ và ${{\left( z+2i \right)}^{2}}$ là số thuần ảo?

A. $1$.                     B. $2$.                   C. $3$.                   D. $4$.

Lời giải:

Chọn C

Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, khi đó

$\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=18\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

${{\left( z+2i \right)}^{2}}={{\left[ x+\left( y+2 \right)i \right]}^{2}}={{x}^{2}}-{{\left( y+2 \right)}^{2}}+2x\left( y+2 \right)i$. Theo giả thiết ta có ${{x}^{2}}-{{\left( y+2 \right)}^{2}}=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + 2\\ x = – \left( {y + 2} \right) \end{array} \right.$

Trường hợp 1: $x=y+2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{{y}^{2}}=0$

và giải ra nghiệm $y=0$, ta được $1$ số phức ${{z}_{1}}=2$.

Trường hợp 2: $x=-\left( y+2 \right)$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{{y}^{2}}-4y-8=0$ và giải ra ta được

$\left[ \begin{array}{l} y = 1 + \sqrt 5 \\ y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$

ta được $2$ số phức

$\left[ \begin{array}{l} {z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i\\ {z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left( {1 – \sqrt 5 } \right)i \end{array} \right.$

Vậy có $3$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 12.    Cho số phức ${z}$thỏa ${\overline{z}=\frac{{{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{3}}}{1-i}}$. Môđun của số phức ${\overline{z}+iz}$ bằng.

A. ${8\sqrt{2}}$.     B. ${2\sqrt{2}}$.    C. ${4\sqrt{2}}$.   D. ${\sqrt{2}}$.

Lời giải:

Chọn A

${\overline{z}=-4-4i\Rightarrow \overline{z}+iz=-8-8i\Rightarrow \left| \overline{z}+iz \right|=8\sqrt{2}}$.

Câu 13.    Cho số phức $z$ thỏa điều kiện ${\frac{1+5i}{1+i}z+\bar{z}=10-4i}$. Tính môđun của số phức ${w=1+iz+{{z}^{2}}}$.

A. ${\left| w \right|=5}$.                        B. ${\left| w \right|=\sqrt{47}}$.         C. ${\left| w \right|=6}$.                             D. ${\left| w \right|=\sqrt{41}}$.

Lời giải:

Chọn D

Gọi ${z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)}$. Khi đó ${\frac{1+5i}{1+i}z+\bar{z}=10-4i\Leftrightarrow \left( 1+5i \right)\left( a+bi \right)+\left( 1+i \right)\left( a-bi \right)=\left( 10-4i \right)\left( 1+i \right)}$.

$ \Leftrightarrow \left( {2a – 4b – 14} \right) + \left( {6a – 6} \right)i = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ b = – 3 \end{array} \right.$

$ \Rightarrow z = 1 – 3i$

suy ra ${w=1+i\left( 1-3i \right)+{{\left( 1-3i \right)}^{2}}=-4-5i}$.

vậy ${\left| w \right|=\sqrt{41}}$.

Câu 14.    Biết số phức $z$ có phần ảo khác $0$ và thỏa mãn $\left| z-\left( 2+i \right) \right|=\sqrt{10}$ và $z.\bar{z}=25$. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức $z$ trên?

A. $P\left( 4;\text{ }-3 \right)$               B. $N\left( 3;\text{ }-4 \right)$  C. $M\left( 3;\text{ }4 \right)$                    D. $Q\left( 4;\text{ }3 \right)$

Lời giải:

Chọn C

Giả sử $z=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R},\text{ }y\ne 0 \right)$.

Ta có $\left| z-\left( 2+i \right) \right|=\sqrt{10}$$\Leftrightarrow \left| x+yi-\left( 2+i \right) \right|=\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow \left| \left( x-2 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{10}$$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=10$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y=5$.

Lại có $z.\bar{z}=25$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25$ nên $25-4x-2y=5$$\Leftrightarrow 2x+y=10$$\Leftrightarrow y=10-2x$

$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( 10-2x \right)}^{2}}=25$$\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-40x+75=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\\ x = 3 \end{array} \right.$

+ Với $x=5\Rightarrow y=0$, không thỏa mãn vì $y\ne 0$.

+ Với $x=3\Rightarrow y=4$, thỏa mãn $y\ne 0$$\Rightarrow z=3+4i$.

Do đó điểm $M\left( 3;\text{ }4 \right)$ biểu diễn số phức $z$.

Câu 15.    Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,b\in \mathbb{R},a>0 \right)$ thỏa mãn $\left| z-1+2i \right|=5$ và $z.\bar{z}=10$. Tính $P=a-b$.

A. $P=4$                 B. $P=-4$              C. $P=-2$              D. $P=2$

Lời giải:

Chọn C Từ giả thiết $\left| z-1+2i \right|=5$ và $z.\bar{z}=10$ ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 25\\ {a^2} + {b^2} = 10 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a – 2b = – 5\\ {a^2} + {b^2} = 10 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2b – 5\\ {\left( {2b – 5} \right)^2} + {b^2} = 10 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 3\\ b = 1 \end{array} \right.$

(loại) hay

$\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 3 \end{array} \right.$

Vậy $P=-2$.

Câu 16.    Số phức $z=a+bi$ ( với $a$, $b$ là số nguyên) thỏa mãn $\left( 1-3i \right)z$ là số thực và $\left| \overline{z}-2+5i \right|=1$. Khi đó $a+b$ là

A. $9$                      B. $8$                    C. $6$                    D. $7$

Lời giải:

Chọn B

Ta có: $\left( 1-3i \right)z$$=\left( 1-3i \right)\left( a+bi \right)$$=a+3b+\left( b-3a \right)i$.

Vì $\left( 1-3i \right)z$ là số thực nên $b-3a=0$$\Rightarrow b=3a$ $\left( 1 \right)$.

$\left| \overline{z}-2+5i \right|=1$$\Leftrightarrow \left| a-2+\left( 5-b \right)i \right|=1$$\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( 5-b \right)}^{2}}=1$ $\left( 2 \right)$. Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta có: ${{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( 5-3a \right)}^{2}}=1$$\Leftrightarrow 10{{a}^{2}}-34a+28=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 2 \Rightarrow b = 6\\ a = \frac{7}{5}{\rm{ (}}loa\”i i) \end{array} \right.$

Vậy $a+b=2+6=8$.

Ä Mức độ 4

Câu 1.      Cho số phức $w=1+\left( 1+i \right)+{{\left( 1+i \right)}^{2}}+{{\left( 1+i \right)}^{3}}+…+{{\left( 1+i \right)}^{20}}$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\bar{w}$.

A. Phần thực bằng $-{{2}^{10}}$ và phần ảo bằng $\left( 1+{{2}^{10}} \right)$.

B. Phần thực bằng $-{{2}^{10}}$ và phần ảo bằng $-\left( 1+{{2}^{10}} \right)$.

C. Phần thực bằng ${{2}^{10}}$ và phần ảo bằng $\left( 1+{{2}^{10}} \right)$.

D. Phần thực bằng ${{2}^{10}}$ và phần ảo bằng $-\left( 1+{{2}^{10}} \right)$.

 Lời giải

Chọn B

Ta có ${{\left( 1+i \right)}^{20}}={{\left( 2i \right)}^{10}}=-{{2}^{10}}\Rightarrow {{\left( 1+i \right)}^{21}}=-{{2}^{10}}-{{2}^{10}}i$.

Suy ra $w=\frac{\left[ 1-{{\left( 1+i \right)}^{21}} \right]}{-i}=\frac{1+{{2}^{10}}}{-i}+\frac{{{2}^{10}}i}{-i}=-{{2}^{10}}+\left( 1+{{2}^{10}} \right)i\Rightarrow \bar{w}=-{{2}^{10}}-\left( 1+{{2}^{10}} \right)i$.

Vậy $\bar{w}$ có phần thực bằng $-{{2}^{10}}$ và phần ảo bằng $-\left( 1+{{2}^{10}} \right)$.

Câu 2.      Cho số phức $z\ne 0$ thỏa mãn $\frac{iz-\left( 3i+1 \right)\overline{z}}{1+i}={{\left| z \right|}^{2}}$. Số phức $w=\frac{13}{3}iz$ có môđun bằng:

A. $26$.                   B. $\sqrt{26}$.      C. $\frac{3\sqrt{26}}{2}$.        D. $13$.

Lời giải

Chọn C

Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Suy ra $\overline{z}=a-bi$.

Ta có $\frac{iz-\left( 3i+1 \right)\overline{z}}{1+i}={{\left| z \right|}^{2}}\Leftrightarrow \frac{i\left( a+bi \right)-\left( 3i+1 \right)\left( a-bi \right)}{1+i}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

$\Leftrightarrow ai-b-3ai-3b-a+bi={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}i+{{b}^{2}}i$

$\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-b \right)i+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4b+a \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + 2a – b = 0\\ {a^2} + {b^2} + a + 4b = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 26{b^2} + 9b = 0\\ a = 5b \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0,a = 0\\ b = \frac{{ – 9}}{{26}},a = \frac{{ – 45}}{{26}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 0\\ z = \frac{{ – 45}}{{26}}i – \frac{9}{{26}} \end{array} \right.$

$\Rightarrow z=\frac{-45}{26}i-\frac{9}{26}$ (Vì $z\ne 0$).

Với $z=\frac{-45}{26}i-\frac{9}{26}\Rightarrow \text{w}=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}i\Rightarrow \left| \text{w} \right|=\frac{3\sqrt{26}}{2}$.

Câu 3.      Cho hai số phức $z$, $w$ thỏa mãn $\left| z+2w \right|=3$, $\left| 2z+3w \right|=6$ và $\left| z+4w \right|=7$. Tính giá trị của biểu thức $P=z.\overline{w}+\overline{z}.w$.

A. $P=-14i$.            B. $P=-28i$.          C. $P=-14$.           D. $P=-28$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\left| z+2w \right|=3$\[\Leftrightarrow {{\left| z+2w \right|}^{2}}=9\]$\Leftrightarrow \left( z+2w \right).\left( \overline{z+2w} \right)=9$$\Leftrightarrow \left( z+2w \right).\left( \overline{z}+2\overline{w} \right)=9$

$\Leftrightarrow z.\overline{z}+2\left( z.\overline{w}+\overline{z}.w \right)+4w.\overline{w}=9$$\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+2P+4{{\left| w \right|}^{2}}=9$ $\left( 1 \right)$.

Tương tự:

$\left| 2z+3w \right|=6$$\Leftrightarrow {{\left| 2z+3w \right|}^{2}}=36$$\Leftrightarrow \left( 2z+3w \right).\left( 2\overline{z}+3\overline{w} \right)=36$$\Leftrightarrow 4{{\left| z \right|}^{2}}+6P+9{{\left| w \right|}^{2}}=36$ $\left( 2 \right)$.

$\left| z+4w \right|=7$$\Leftrightarrow \left( z+4w \right).\left( \overline{z}+4\overline{w} \right)=49$$\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+4P+16{{\left| w \right|}^{2}}=49$ $\left( 3 \right)$. Giải hệ phương trình gồm $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {\left| z \right|^2} = 33\\ P = – 28\\ {\left| w \right|^2} = 8 \end{array} \right.$

$\Rightarrow P=-28$

Câu 4.      Cho các số phức${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$và ${{z}_{1}}^{3}+{{z}_{2}}^{3}+{{z}_{3}}^{3}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}=0$. Đặt $z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}$, giá trị của ${{\left| z \right|}^{3}}-3{{\left| z \right|}^{2}}$ bằng:

A. $\left\{ -2;\,2 \right\}$.                       B. $\left\{ -2;\,-4 \right\}$.        C. $\left\{ -4;4 \right\}$.          D. $\left\{ 2;\,4 \right\}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1\Rightarrow {{\overline{z}}_{1}}=\frac{1}{{{z}_{1}}};{{\overline{z}}_{2}}=\frac{1}{{{z}_{2}}};{{\overline{z}}_{3}}=\frac{1}{{{z}_{3}}}$ và đặt $\left| z \right|=x$

${{\left| z \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right|}^{2}}=\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right)=3+{{z}_{1}}\left( \overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right)+{{z}_{2}}\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right)+{{z}_{3}}\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)$

$=3+\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}+\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{3}}}+\frac{{{z}_{3}}}{{{z}_{1}}}+\frac{{{z}_{3}}}{{{z}_{2}}}+\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{3}}}$

$=3+\frac{{{z}_{1}}^{2}\left( {{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)+{{z}_{2}}^{2}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{3}} \right)+{{z}_{3}}^{2}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}$

$=3+\frac{z\left( {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2} \right)-{{z}_{1}}^{3}-{{z}_{2}}^{3}-{{z}_{3}}^{3}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}$

$=4+z\frac{{{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}} \right)}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}$

$=4+\frac{{{z}^{3}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}-2z\left( \frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{1}{{{z}_{2}}}+\frac{1}{{{z}_{3}}} \right)$

$=4+\frac{{{z}^{3}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}-2z\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right)$

$=4+\frac{{{z}^{3}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}-2{{x}^{2}}\Rightarrow \left| 3{{x}^{2}}-4 \right|={{x}^{3}}$.

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow {\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2} = – 2\\ x = 2 \Rightarrow \left| z \right| = 2 \Rightarrow {\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2} = – 4 \end{array} \right.$

Câu 5.      Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\frac{3}{2}<\left| z \right|<2.$         B. $\left| z \right|>2.$      C. $\left| z \right|<\frac{1}{2}.$ D. $\frac{1}{2}<\left| z \right|<\frac{3}{2}.$

Lời giải:

Chọn D

Ta có ${{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}.$

Vậy $\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i$$\Leftrightarrow \left( \left| z \right|+2 \right)+\left( 2\left| z \right|-1 \right)i=\left( \frac{\sqrt{10}}{{{\left| z \right|}^{2}}} \right).\overline{z}$

$\Rightarrow \left| \left( \left| z \right|+2 \right)+\left( 2\left| z \right|-1 \right)i \right|=\left| \left( \frac{\sqrt{10}}{{{\left| z \right|}^{2}}} \right).\overline{z} \right|$

$\Rightarrow {{\left( \left| z \right|+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\left| z \right|-1 \right)}^{2}}=\left( \frac{10}{{{\left| z \right|}^{4}}} \right).{{\left| z \right|}^{2}}=\frac{10}{{{\left| z \right|}^{2}}}.$

Đặt $\left| z \right|=a>0.$ $\Rightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}=\left( \frac{10}{{{a}^{2}}} \right)\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{a}^{2}}-2=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {a^2} = 1\\ {a^2} = – 2 \end{array} \right.$

$\Rightarrow a=1\Rightarrow \left| z \right|=1.$

Câu 6.      Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-4-i \right)+2i=\left( 5-i \right)z$?

A. $2$                      B. $3$                    C. $1$                    D. $4$

Lời giải:

Chọn B

Ta có $\left| z \right|\left( z-4-i \right)+2i=\left( 5-i \right)z$

$\Leftrightarrow \left| z \right|z-4\left| z \right|-\left| z \right|i+2i=\left( 5-i \right)z$ $\Leftrightarrow z\left( \left| z \right|-5+i \right)=4\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i$.

Lấy module 2 vế ta được

$\left| z \right|\sqrt{{{\left( \left| z \right|-5 \right)}^{2}}+1}=\sqrt{{{\left( 4\left| z \right| \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}\left[ {{\left( \left| z \right|-5 \right)}^{2}}+1 \right]={{\left( 4\left| z \right| \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}\left( 1 \right)$.

Đặt $t=\left| z \right|$, $t\ge 0$.

Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành

${{t}^{2}}\left[ {{\left( t-5 \right)}^{2}}+1 \right]={{\left( 4t \right)}^{2}}+{{\left( t-2 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow {{t}^{2}}\left( {{t}^{2}}-10t+26 \right)=17{{t}^{2}}-4t+4$

$\Leftrightarrow {{t}^{4}}-10{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}+4t-4=0$ $\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+4 \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ {t^3} – 9{t^2} + 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1 & & \left( n \right)\\ t \approx 8,95 & \left( n \right)\\ t \approx 0,69 & \left( n \right)\\ t \approx – 0,64 & \left( l \right) \end{array} \right.$

Ứng với mỗi giá trị $t\ge 0$, với $z=\frac{-4t+\left( 2-t \right)i}{5-i-t}$ suy ra có 3 số phức $z$ thỏa mãn.

Câu 7.      Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z$?

A. $2$                      B. $3$                    C. $1$                    D. $4$

Lời giải:

Chọn B

Đặt $\left| z \right|=a\ge 0,a\in \mathbb{R}$, khi đó ta có

$\left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z$$\Leftrightarrow a\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z$$\Leftrightarrow \left( a-7+i \right)z=6a+ai-2i$$\Leftrightarrow \left( a-7+i \right)z=6a+\left( a-2 \right)i$$\Leftrightarrow \left| \left( a-7+i \right) \right|\left| z \right|=\left| 6a+\left( a-2 \right)i \right|$ $\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-7 \right)}^{2}}+1 \right]{{a}^{2}}=36{{a}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow {{a}^{4}}-14{{a}^{3}}+13{{a}^{2}}+4a-4=0$

$ \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {{a^3} – 13{a^2} + 4} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ {a^3} – 13{a^2} + 4 = 0 \end{array} \right.$

Xét hàm số $f\left( a \right)={{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4\left( a\ge 0 \right)$, có bảng biến thiên là

Đường thẳng $y=-4$ cắt đồ thị hàm số $f\left( a \right)$ tại hai điểm nên phương trình ${{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4=0$ có hai nghiệm khác $1$ (do $f\left( 1 \right)\ne 0$). Mỗi giá trị của $a$ cho ta một số phức $z$.

Vậy có $3$ số phức thỏa mãn điều kiện.

Câu 8.      Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-3-i \right)+2i=\left( 4-i \right)z$?

A. $1$                      B. $3$                    C. $2$                    D. $4$

Lời giải:

Chọn B

$\left| z \right|\left( z-3-i \right)+2i=\left( 4-i \right)z$$\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-4+i \right)z=3\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i$ (*)

$\Rightarrow \sqrt{{{\left( \left| z \right|-4 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|=\sqrt{9{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$ (1). Đặt $m=\left| z \right|\ge 0$ ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( {{\left( m-4 \right)}^{2}}+1 \right).{{m}^{2}}=9{{m}^{2}}+{{\left( m-2 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow {{m}^{4}}-8{{m}^{3}}+7{{m}^{2}}+4m-4=0$$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{m}^{3}}-7{{m}^{2}}+4 \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ {m^3} – 7{m^2} + 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m \approx 6,91638\\ m \approx 0.80344\\ m \approx – 0.71982 & \left( {\rm{L}} \right) \end{array} \right.$

Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi $\left| z \right|=m$ sẽ có một số phức $z=\frac{3m+\left( m-2 \right)i}{m-4+i}$ thỏa mãn đề bài.

Vậy có $3$ số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9.    Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|$ và $\frac{z-2i}{\overline{z}+i}$

là một số thuần ảo ?

A. 0.                       B. Vô số.                C. 1.                       D. 2.

Lời giải:

Chọn C

Đặt         $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$

Theo bài ra ta có

$\left| {x + 1 + \left( {y – 2} \right)i} \right| = \left| {x + 3 + \left( {4 – y} \right)i} \right|$ $ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} \Leftrightarrow y = x + 5$

Số phức

      $\text{w}=\frac{z-2i}{\overline{z}+i}=\frac{x+\left( y-2 \right)i}{x+\left( 1-y \right)i}=\frac{{{x}^{2}}-\left( y-2 \right)\left( y-1 \right)+x\left( 2y-3 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$

$w$ là một số ảo khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} – \left( {y – 2} \right)\left( {y – 1} \right) = 0\\ {x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} > 0\\ y = x + 5 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = – \frac{{12}}{7}\\ y = \frac{{23}}{7} \end{array} \right.$

Vậy $z=-\frac{12}{7}+\frac{23}{7}i$.Vậy chỉ có $1$ số phức $z$ thỏa mãn.

Câu 10.    Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z$?

A. $1$                      B. $3$                    C. $4$                    D. $2$

Lời giải:

Chọn B

Ta có $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i$$=\left( 6-i \right)z$$\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-6+i \right)z$$=5\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i$ $\left( 1 \right)$

Lây môđun hai vế của $\left( 1 \right)$ ta có:

$\sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|$$=\sqrt{25{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$

Bình phương và rút gọn ta được:

${{\left| z \right|}^{4}}-12{{\left| z \right|}^{3}}+11{{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|-4=0$$\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4 \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| z \right| = 1\\ {\left| z \right|^3} – 11{\left| z \right|^2} + 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| z \right| = 1\\ \left| z \right| = 10,9667…\\ \left| z \right| = 0,62…\\ \left| z \right| = – 0,587… \end{array} \right.$

Do $\left| z \right|\ge 0$, nên ta có $\left| z \right|=1$, $\left| z \right|=10,9667…$, $\left| z \right|=0,62…$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta có $3$ số phức thỏa.

————————-


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder