Lý thuyết: Tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số (Đồng nhất thức)

Lý thuyết: Tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số (Đồng nhất thức)

1.Bài toán tổng quát:

Tính tích phân $I = \int {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} dx$ với $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức dạng: $f(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + … + {a_n};n \in {N^*}$.

Ví dụ:Tính $\int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}}} dx$

Giải
Đặt:   t = x +2 => $x^{2}= (t+2)^{2}$ và $dx = dt$;

$\int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}}} dx$ $=\int \frac{(t-2)^{2}}{t^{2}}dt$

$=\int \frac{t^{2}-4t+4}{t^{2}}dt$

$=\int dt-4\int \frac{1}{t}dt+4\int \frac{1}{t^{2}}dt$

$=t-4ln\left | t \right |-\frac{4}{t}+C$. suy ra: $f(x)= x+2-4ln\left | x+2 \right |-\frac{4}{x+2}+C$

2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số (Đồng nhất thức)

Trường hợp 1: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $≥$ bậc của mẫu số $Q(x)$, ta sử dụng phép chia đa thức: $I = \int {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} dx = \int {\left[ {H(x) + \frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} \right]} dx = \int {H(x)dx} + \int {\frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} dx = {I_1} + {I_2}$, trong đó $I_1$ là tích phân cơ bản, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số.

Ví dụ 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:
$a)I = \int {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx$
$b)I = \int {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx.$
$c)I= \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx.$

Giải

a) Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{x^2} + 3x} \right) + \frac{9}{4}(2x + 3) – \frac{{27}}{4}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8(2x + 3)}}.$
Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx $$= \int_{}^{} {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8(2x + 3)}}} \right)} dx $$=  {\frac{1}{6}{x^3} – \frac{3}{8}{x^2} + \frac{9}{8}x – \frac{{27}}{{16}}\ln |2x + 3|}+ C$

b) Ta có: $\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{{x^2} – 1 – 4}}{{x + 1}}$ $ = x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}.$
Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx $ $ = \int_{}^{} {\left( {x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}} \right)} dx $ $ = \left( {\frac{1}{2}{x^2} – x – 4\ln |x + 1|} \right) + C$
c) Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}$ $ = \frac{{x\left( {{x^2} – 1} \right) + x}}{{{x^2} – 1}}$ $ = x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}.$
Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx$ $ = \int_{}^{} {\left( {x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}} \right)} dx$ $ = \int_{}^{} x dx + \int_{}^{} {\frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}} $ $ = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}ln\left| {{x^2} – 1} \right| + C$

Trường hợp 2: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $<$ bậc của mẫu số $Q(x)$

Dạng 1: $\int {\frac{{f'(x)dx}}{{f(x)}}} $

Phương pháp: $\int {\frac{{f'(x)dx}}{{f(x)}}} $ $ = \int {\frac{{d(f(x)}}{{f(x)}}} = \ln \left| {f(x)} \right| + C$.

Ví dụ 1: Tính $I = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 3}}} dx$

Giải

$I = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 3}}} dx $ $= \int {\frac{{d({x^2} + x + 3)}}{{{x^2} + x + 3}}} $ $= \ln \left| {{x^2} + x + 3} \right| + C$

Ví dụ 2: Tính $I = \int {\frac{{4{x^3} + 1}}{{{x^4} + x – 2}}} dx$

Giải

$I = \int {\frac{{4{x^3} + 1}}{{{x^4} + x – 2}}} dx = \int {\frac{{d({x^4} + x – 2)}}{{{x^4} + x – 2}}} = \ln \left| {{x^4} + x – 2} \right| + C$

Dạng 2: $\int {\frac{A}{{(ax + {\rm{}}b)(cx + d)}}dx;\Delta = {b^2} – 4ac > 0} $

Phương pháp: Gọi x₁;x₂ là các nghiệm của mẫu. Phân tích: $\frac{1}{{(x – {x_1})(x – {x_2})}} = – \frac{1}{{{x_2} – {x_1}}}\left( {\frac{1}{{x – {x_1}}} – \frac{1}{{x – {x_2}}}} \right)$

Khi đó: $I = \int_{}^{} {\frac{A}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{A}{{a\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}\int_{}^{} {\left( {\frac{1}{{x – {x_2}}} – \frac{1}{{x – {x_1}}}} \right)} dx$ $\frac{A}{{a\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}\ln \left| {\frac{{x – {x_2}}}{{x – {x_1}}}} \right| + C$

Ví dụ 1: Tính $I = \int {\frac{{dx}}{{(x – 1)(x – 2)}}}$

Giải

Ta có: $\frac{1}{{(x – 1)(x – 2)}} $$= \frac{A}{{x – 2}} – \frac{B}{{x – 1}} $$= \frac{{A(x – 1) – B(x – 2)}}{{(x – 2)(x – 1)}}$

Thay lần lượt x=1; x=2 vào tử số hai vế ta có:A=1;B=1 

Suy ra: $I = \int {\frac{{dx}}{{(x – 1)(x – 2)}}} $$= \int {\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x – 1}}} \right)} dx $$= \int {\frac{{dx}}{{x – 2}}} – \int {\frac{{dx}}{{x – 1}}} $$= \ln \left| {x – 2} \right| – \ln \left| {x – 1} \right| + C $$= \ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x – 1}}} \right| + C$

Ví dụ 2: Tính $I = \int {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx.$

Giải

Ta có: $f(x) = \frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{1}{{x(x – 1)(x + 1)}}$ $ = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x – 1}} + \frac{C}{{x + 1}}$ $ = \frac{{A\left( {{x^2} – 1} \right) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)}}{{x(x – 1)(x + 1)}}.$
Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ và $x = -1$ vào hai tử số.

Ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \to 1 = -A}\\
{x = -1 \to 1 = 2C}\\
{x = 1 \to 1 = 2B}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A = – 1}\\
{B = \frac{1}{2}}\\
{C = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow f(x) = – \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x – 1}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)$
Vậy: $I = \int_{}^{} {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx$ $ = \int_{}^{} {\left( {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x{\rm{ – }}1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right) – \frac{1}{x}} \right)} dx $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {(x – 1)(x + 1)} \right| – \ln |x| + C$. 

Dạng 3:$\int {\frac{A}{{(ax^2 + bx + c)}}dx;\Delta = {b^2} – 4ac = 0} $

Phương pháp: Vì $\Delta = 0$, ta có: $I = \int {\frac{{Adx}}{{a{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} $ $ = – \frac{A}{{a\left( {x – {x_0}} \right)}} + C$

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2} – 2x + 1}}} $

Giải

$I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2} – 2x + 1}}} $$= \int {\frac{{dx}}{{{{(x – 1)}^2}}}} $$= \int {{{(x – 1)}^{ – 2}}} d(x – 1) $$= – {(x – 1)^{ – 1}} + C = – \frac{1}{{x – 1}} + C$.

Dạng 4: $I = \int {\frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$, và $\Delta = {b^2} – 4ac>0$

Phương pháp: Vì $\Delta > 0$, Phân tích: $\frac{{Ax + B}}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}} = \frac{1}{a}\left( {\frac{C}{{x – {x_2}}} + \frac{D}{{x – {x_1}}}} \right)$.

Khi đó: $I = \int {\frac{{Ax + B}}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}}} dx $$= \frac{1}{a}\int {\left( {\frac{C}{{x – {x_2}}} + \frac{D}{{x – {x_1}}}} \right)} dx $$= \frac{1}{a}(C\ln \left| {x – {x_2}} \right| + D\ln \left| {x – {x_1}} \right|) + E$

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx.$

Giải
Ta có: $f(x) = \frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = \frac{{4x + 11}}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{x + 3}}$ $ = \frac{{A(x + 3) + B(x + 2)}}{{(x + 2)(x + 3)}}.$

Thay $x = – 2$ vào hai tử số ta được: $3 = A$

Thay $x = -3$ vào hai tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$
Do đó: $f(x) = \frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}.$

Vậy: $\int {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx$ $ = \int {\left( {\frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right)} dx$ $ = 3\ln |x + 2| + \ln |x + 3| +C$.

Dạng 5: $\int {\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}}dx} $

Phương pháp: $\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}} = \frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + \frac{B}{{ax + b}} $

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}}dx}$

Giải

Phân tích: $\frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{A}{{{{(2x + 1)}^2}}} + \frac{B}{{2x + 1}} = \frac{{A + B(2x + 1)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{{2Bx + A + B}}{{{{(2x + 1)}^2}}}$. Cân bằng 2 vế tac được A=1;B=1.

Khi đó: $I = \int {\frac{{2x + 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{(2x + 1)}^2}}} + \frac{1}{{2x + 1}}} \right)} dx = – \frac{1}{2}.\frac{1}{{2x + 1}} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$

Dạng 6: $\int {\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}}dx} $

Phương pháp: $\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}} = \frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + \frac{B}{{ax + b}} + \frac{C}{{cx + d}}$

Ví dụ:Tính $I = \int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx.$

Giải

Ta có: $\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{x – 1}} + \frac{B}{{(x + 1)}} + \frac{C}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{A{{(x + 1)}^2} + B(x – 1)(x + 1) + C(x – 1)}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $(1).$
Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 = 4A}\\
{1 = – 2C}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A = \frac{1}{4}}\\
{C = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
$(1) \Leftrightarrow \frac{{(A + B){x^2} + (2A + C)x + A – B – C}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ \Rightarrow A – B – C = 1$ $ \Leftrightarrow B = A – C – 1$ $ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} – 1 = – \frac{1}{4}.$
Do đó: $\int {\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = \int {\left( {\frac{1}{4}\frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{4}\frac{1}{{(x + 1)}} – \frac{1}{2}\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right)} dx$ $ = \left[ {\frac{1}{4}\ln (x – 1)(x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}}} \right] + C$

Phần trước: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến loại 2.

Phần sau: Tích phân

Kiểm tra năng lực: Phần tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số