Tính nguyên hàm bằng Phương pháp đổi biến số loại 1

Lý thuyết: Tính nguyên hàm bằng Phương pháp đổi biến số loại 1

1. Định lý

 Nếu $\int {f(t)dt = F(t) + C} $ và $u = u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì: $\int {f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C} $

2. Kỹ thuật đưa vào vi phân

$K = \int {{f^\beta }(x).f'(x)dx} = \int {{f^\beta }(x)d(f(x)) = } \frac{1}{{\beta + 1}}{f^{\beta + 1}} + C$

3. Một số dạng thường gặp trong các bài toán tính nguyên hàm bằng đổi biến loại 1

Dạng 1: ${\int {(ax + b)} ^\beta }dx;\left( {\beta \ne – 1} \right)$

Định lý: ${\int {(ax + b)} ^\beta }dx = \frac{1}{a}.\frac{1}{{\beta + 1}}{(ax + b)^{\beta + 1}} + C$

Thật vậy: Đặt  $u = ax + b \Rightarrow du = a.dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{a}$ 

Khi đó:${\int {(ax + b)} ^\beta }dx = \frac{1}{a}\int {{u^\beta }du} = \frac{1}{a}.\frac{1}{{\beta + 1}}{u^{\beta + 1}} + C = \frac{1}{a}.\frac{1}{{\beta + 1}}{(ax + b)^{\beta + 1}} + C$

Ví dụ 1: Tính $I = \int {{{(3x + 1)}^3}dx} $

Giải

Đặt $u = 3x + 1 \Rightarrow du = 3dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{3}$

Khi đó:$I = \int {{{(3x + 1)}^3}dx} = \frac{1}{3}\int {{u^3}du = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}{u^4} + C = \frac{1}{{12}}{{(3x + 1)}^4} + C} $.

Ví dụ 2: Tính $J = \int {{{(5x + 1)}^{2015}}dx} $

Giải

Đặt $u = 5x + 1 \Rightarrow du = 5dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{5}$

Khi đó: $J = \int {{{(5x + 1)}^{2015}}dx} = \frac{1}{5}\int {{u^{2015}}du = \frac{1}{5}.\frac{1}{{2015}}{u^{2016}} + C = \frac{1}{{10075}}{{(5x + 1)}^{2016}} + C} $

Dạng 2: $\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} $

Định lý: $\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\int {\frac{{d(ax + b)}}{{ax + b}} = \frac{1}{a}\ln (ax + b) + C} $.

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{dx}}{{2x + 1}}} $

Giải

Đặt $u = 2x + 1 \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{2}$

Khi đó: $I = \int {\frac{{dx}}{{2x + 1}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{du}}{u} = \frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C = } \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$

*Áp dụng kỹ thuật đưa vào vi phân ta có cách trình bày trực tiếp như sau:

$I = \int {\frac{{dx}}{{2x + 1}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{d(2x + 1)}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\ln (2x + 1) + C} $.

Bài tập thực hành

Tính:  $a)\int {\frac{{dx}}{{3x + 2}}} $; $b)\int {\frac{{dx}}{{5x – 1}}} $; $c)\int {(\frac{1}{{x + 1}}} – \frac{1}{{2x – 1}})dx$; $d)\int {(\frac{1}{{2x + 1}}} – \frac{1}{{2x – 1}})dx$

Dạng 3: ${\int e ^{ax + b}}dx$

Định lý: ${\int e ^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{\int e ^{ax + b}}d(ax + b) = \frac{1}{a}.{e^{ax + b}} + C$

Ví dụ: Tính $I = {\int e ^{2x + 1}}dx$

Giải

Đặt $u = 2x + 1 \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{2}$

Khi đó:$I = {\int e ^{2x + 1}}dx = \frac{1}{2}\int {{e^u}du = \frac{1}{2}{e^u} + C} = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$.

*Áp dụng kỹ thuật đưa vào vi phân ta có cách trình bày trực tiếp như sau:

 $I = {\int e ^{2x + 1}}dx = \frac{1}{2}\int {{e^{2x + 1}}d(2x + 1) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C} $.

Dạng 4: $I = \int {\sin (ax + b)dx} $; $J = \int {{\rm{cos}}(ax + b)dx} $.

Định lý:

*$\int {\sin (ax + b)dx} = \frac{1}{a}\int {\sin (ax + b)d(ax + b) = – \frac{1}{a}\cos (ax + b) + C} $

*$\int {cos(ax + b)dx} = \frac{1}{a}\int {{\rm{cos}}(ax + b)d(ax + b) = \frac{1}{a}\sin (ax + b) + C} $

Ví dụ: Tính

$a)I = \int {\sin (2x – 1)dx} $

$b)J = \int {{\rm{cos(x – }}\frac{\pi }{6}} )dx$

Giải

a)$u = 2x – 1 \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{2}$

Ta có:$I = \int {\sin (2x – 1)dx} = \frac{1}{2}\int {{\mathop{\rm sinu}\nolimits} du = – \frac{1}{2}\cos u + C = – \frac{1}{2}{\rm{cos(2x – 1) + C}}} $.

*Áp dụng kỹ thuật đưa vào vi phân:

$\int {\sin (2x – 1)dx} = \frac{1}{2}\int {\sin (2x – 1)d(2x – 1) = – \frac{1}{2}{\rm{cos(2x – 1) + C}}} $.

b) Đặt: $u = {\rm{x – }}\frac{\pi }{6} \Rightarrow du = dx$

Ta có: $J = \int {{\rm{cos(x – }}\frac{\pi }{6}} )dx = \int {\cos udu = {\mathop{\rm sinu}\nolimits} + C = } \sin (x – \frac{\pi }{6}) + C$.

*Áp dụng kỹ thuật đưa vào vi phân:

$J = \int {{\rm{cos(x – }}\frac{\pi }{6}} )dx = \int {{\rm{cos(x – }}\frac{\pi }{6}} )d(x – \frac{\pi }{6}) = \sin (x – \frac{\pi }{6}) + C$.

Dạng 5: $I = \int {\frac{{dx}}{{si{n^2}(ax + b)}}} ;J = \int {\frac{{dx}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(ax + b)}}} $.

Định lý:

$I = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}(ax + b)}}} = \frac{1}{a}\int {\frac{{d(ax + b)}}{{si{n^2}(ax + b)}}} = – \frac{1}{a}\cot (ax + b) + C$

$J = \int {\frac{{dx}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(ax + b)}}} = \frac{1}{a}\int {\frac{{d(ax + b)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(ax + b)}}} = \frac{1}{a}\tan (ax + b) + C$

Ví dụ: Tính

$a)\int {\frac{{dx}}{{si{n^2}(2x + 1)}}} $   $J = \int {\frac{{dx}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(3x + \frac{\pi }{3})}}} $

Giải

$a)I = \int {\frac{{dx}}{{si{n^2}(2x + 1)}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{d(2x + 1)}}{{si{n^2}(2x + 1)}} = – \frac{1}{2}\cot (2x + 1) + C} $

$b)\int {\frac{{dx}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(3x + \frac{\pi }{3})}}} $$= \frac{1}{3}\int {\frac{{d(3x + \frac{\pi }{3})}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(3x + \frac{\pi }{3})}}} $$= \frac{1}{3}\tan (3x + \frac{\pi }{3}) + C$

Bài tập thực hành

$a)\int {\frac{{dx}}{{si{n^2}(3x + 1)}}} $

$b)\int {\frac{{dx}}{{si{n^2}(x + \frac{\pi }{6})}}} $

$c)\int {\frac{{dx}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(2x + 3)}}} $

$c)\int {\frac{{dx}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(2x – \frac{\pi }{3})}}} $

Dạng 6: ${\int {(f(x))} ^\beta }.f'(x)dx$

Định lý: ${\int {f'(x).(f(x))} ^\beta }dx = \frac{1}{{\beta + 1}}{(f(x))^{\beta + 1}} + C$

Thật vậy: Đặt $u = f(x) \Rightarrow du = f'(x).dx$

Khi đó:${\int {(f(x))} ^\beta }.f'(x)dx = {\int {\left( {f(x)} \right)} ^\beta }d(f(x)) = \frac{1}{{\beta + 1}}{u^{\beta + 1}} + C = \frac{1}{{\beta + 1}}{(f(x))^{\beta + 1}} + C$.

Ví dụ 1: Tính $I = \int {x.\sqrt {{x^2} + 1} dx} $

Giải

Đặt $u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}$

Khi đó:$I = \int {x.\sqrt {{x^2} + 1} dx $$= \frac{1}{2}} \int {{u^{\frac{1}{2}}}du} $$= \frac{1}{2}.\frac{3}{2}{u^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{3}{4}{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)^3} + C$

Ví dụ 2: Tính $J = \int {{x^2}.\sqrt {{x^3} + 1} dx} $

Giải

Đặt $u = {x^3} + 1 \Rightarrow du = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{3}$

Khi đó: $J=\int {{x^2}.\sqrt {{x^3} + 1} dx} = \frac{1}{3}\int {{u^{\frac{3}{2}}}du = \frac{1}{3}.\frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + C = \frac{2}{{15}}{{(\sqrt {{x^3} + 1} )}^5} + C} $

Ví dụ 3: Tính $K = \int {{{\sin }^3}} x\cos xdx$

Giải

Đặt: $u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx$

Ta có: $K = \int {{{\sin }^3}} x\cos xdx = \int {{u^3}du = \frac{1}{4}{u^4} + C =\frac{1}{4}{{\sin }^4}x + C} $

*Áp dụng đưa vào vi phân:

$K = \int {{{\sin }^3}} x\cos xdx = \int {\sin {x^3}d(\sin x) = \frac{1}{4}{{\sin }^4}x + C} $

—————–

Phần trước: Nguyên hàm

Phần sau: Tính nguyên hàm bằng đổi biến dạng 2