Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu

1. Tam thức bậc hai
           ĐỊNH NGHĨA
            Tam thức bậc hai ( đối với x) là biểu thức dạng ${a^2}x + bx + c$, trong đó $a, b, c$ là những số cho trước với $a \ne 0$
           Nghiệm của phương trình ${a^2}x + bx + c = 0$ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c$
      Các biểu thức $\Delta  = {b^2} – 4ac$ và $\Delta ‘ = b{‘^2} – ac$ với $b = 2b’$ theo thứ tự cũng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c$
2. Dấu của tam thức bậc hai
       Dấu của $f(x) = {a^2}x + bx + c$ phụ thuộc vào dấu của biểu thức $\Delta $ và hệ số a.
ĐỊNH LÝ (về dấu của tam thức bậc hai)
Cho tam thức bậc hai $f(x) = {a^2}x + bx + c\,\,\,(a \ne 0)$
+ Nếu $\Delta  < 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \in R$.
+ Nếu $\Delta  = 0$ thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \ne  – \frac{b}{{2a}}$.
+ Nếu $\Delta  > 0$ thì f(x) có hai nghiệm ${x_1}\& {x_2}\,({x_1} < {x_2})$.Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng $({x_1};{x_2})$, và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn $\left[ {{x_1};{x_2}} \right]$

Chứng minh:

I. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R.

Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\) với \(a \neq 0\), đặt \(\Delta = b^2-4ac\).

  • \(f(x) >0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases}\Delta <0 \\ a>0\end{cases}\)
  • \(f(x) <0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta <0 \\ a<0 \end{cases}\)
  • \(f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta \le 0 \\ a>0 \end{cases}\)
  • \(f(x) \le 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta \le 0 \\ a<0 \end{cases}\)

Trong các công thức trên, có thể thay \(\Delta\) bởi \(\Delta’=b’^2-ac\) và \(b’=\dfrac{b}{2}.\)

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(f(x)=x^2-3x+m\) luôn dương \(\forall x \in \mathbb{R}.\)

Giải. \(f(x)=x^2-3x+m>0 \; \forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
\(\begin{cases}1>0 \\ \Delta = 9-4m<0\end{cases} \Leftrightarrow m>\dfrac{9}{4}\)

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(mx^2-mx-5\le0 \; \forall x \in \mathbb{R}.\)

Giải. Đặt \(f(x)=mx^2-mx-5.\)

  • Nếu \(m=0\) thì \(f(x)=-5 \le 0 \; \forall x \in \mathbb{R}\) (đúng).
  • Nếu \(m \ne 0\), ta có \(f(x) \le 0 \; \forall x \in \mathbb{R}\)
    \(\Leftrightarrow \begin{cases}m<0 \\ \Delta \le 0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow \begin{cases}m<0 \\ m^2+20m \le 0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow \begin{cases}m<0 \\ -20 \le m \le 0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow -20\le m <0\)

Gộp kết quả của 2 trường hợp ta được \(-20 \le m \le 0\) là đáp số.

Chú ý: Nếu hệ số \(a\) chứa tham số \(m\) thì ta phải xét 2 trường hợp \(a=0\) và \(a \ne 0\).

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \((m-1)x^2-2(m+2)x+m\le0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}.\)

Giải. Xét \(f(x)=(m-1)x^2-2(m+2)x+m.\)

  • Nếu \(m-1=0 \Leftrightarrow m=1\) thì ta có bất phương trình \(-6x+1 \le 0.\) Bất phương trình này có tập nghiệm \(\left[\dfrac{1}{6};+\infty\right)\) khác \(\mathbb{R}.\)
  • Nếu \(m \ne 1\), bất phương trình \(f(x) \le 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}m-1<0 \\ \Delta’=(m+2)^2-m(m-1) \le 0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}m<1 \\ 5m+4 \le 0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow\begin{cases}m<1 \\ m \le -\dfrac{4}{5}\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow m \le -\dfrac{4}{5}\)

Gộp kết quả 2 trường hợp ta được \(m \le -\dfrac{4}{5}\) thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(f(x)=(m-1)x^2+2(m+1)x-2\) luôn dương với mọi \(x\in \mathbb{R}.\)

Giải. Xét \(f(x)=(m-1)x^2+2(m+1)x-2.\)

  • Nếu \(m=1\) thì \(f(x)=4x-2>0 \; \forall x \in \mathbb{R}\) là điều sai.
  • Nếu \(m \ne 1\), \(f(x)>0 \; \forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
    \(\begin{cases} m-1>0 \\ \Delta’=(m+1)^2+2(m-1)<0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow \begin{cases} m>1 \\ m^2+4m-1<0\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow \begin{cases} m>1 \\ -2-\sqrt{5}<m<-2+\sqrt{5}\end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow\) không có \(m\).

Vậy không có \(m\) thoả yêu cầu đề bài.

Ví dụ 5. Tìm \(m\) để bất phương trình \(f(x)=mx^2-4mx+8\) luôn âm với mọi x thuộc \(\mathbb{R}.\)

Giải.

  • Trường hợp \(m=0\) ta có \(f(x)=8<0\), không thỏa mãn.
  • Trường hợp \(m \ne 0\). ta có f(x)<0 với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\)
    \(\Leftrightarrow mx^2-4mx+8<0 \; \forall x \in \mathbb{R}\)
    \(\Leftrightarrow \begin{cases} m<0 \\ \Delta’ < 0 \end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow \begin{cases} m<0 \\ 4m^2-8m < 0 \end{cases}\)
    \(\Leftrightarrow \begin{cases} m<0 \\ 0<m<2 \end{cases}\) (không có \(m\).)

Vậy không có \(m\) thoả yêu cầu đề bài.

BÀI TẬP

Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để các bất phương trình sau có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

  1. \(x^2-mx+m+3 \ge 0\)
  2. \(x^2+2(m-1)x+m+5>0\)
  3. \(mx^2-mx-5<0\)
  4. \(-x^2-2(m+1)x-2m-2<0\)
  5. \(-x^2+2(1-m)x-9 \le 0\)
  6. \(x^2+(m+3)x+4 \ge 0\)
  7. \(mx^2-2(m+3)x+m-6>0\)

II. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên (a;b)

Ví dụ 1. Cho $f(x)={{x}^{2}}-2(m-3)x+2m-7$. Tìm m để f(x)<0 với mọi x thuộc (1;2).

Giải

Xét $f(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m-3)x+2m-7=0\Leftrightarrow x=1;x=2m-7$

Vì a=1>0. Theo định lí về dấu tam thức bậc hai  suy ra:

Trường hợp 1:

x12m-7
f(x)+00+

Trường hợp 2:

x2m-71
f(x)+00+

Theo yêu cầu bài toán thì (1;2) thuộc (1;2m-7) suy ra: $2m – 7 \ge 2 < = > m \ge \frac{9}{2}$.

Vậy: m>9/2.

Ví dụ 2. Cho $f(x)=(m+1){{x}^{2}}-(3m-2)x+2m-3$. Tìm m để f(x)<0 với mọi x thuộc (3;$ + \infty $).

Giải

Xét m=-1, $f(x)=6x-5$. $f(x)<0\Leftrightarrow 6x-5<0\Leftrightarrow x<\frac{5}{6}$  (loại vì không chứa (3;$ + \infty $).

Xét $m\ne -1$,

Ta có: a+b+c=0=> $f(x)=0\Leftrightarrow (m+1){{x}^{2}}-(3m-2)x+2m-3=0\Leftrightarrow x=1;x=\frac{2m-3}{m+1}$

Theo định lí về dấu tam thức bậc hai  suy ra:

Trường hợp 1: a>0<=>m>1

x
$\frac{{2m – 3}}{{m + 1}}$
1
f(x)+00+
x
1
$\frac{{2m – 3}}{{m + 1}}$
f(x)+00+

Cả hai trường hợp trên đều bị loại.

Trường hợp 2: a<0 <=>m<-1

x
1
$\frac{{2m – 3}}{{m + 1}}$
f(x)0+0
x
$\frac{{2m – 3}}{{m + 1}}$
1
f(x)0+0

Theo yêu cầu bài toán, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < – 1}\\ {\frac{{2m – 3}}{{m + 1}} \le 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le – 6$

Vậy: $m \le -6$.

III. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên [a;b]

Tương tự mục II. tuy nhiên khi giải ta phải chú ý dấu “=”.

Translate »
error: Content is protected !!