Một số phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai- Dạng $\sqrt A = B$

Bình luận:

Dạng $\sqrt A = B$ luôn giải được bằng phương pháp biến đổi tương đương khi bậc của A$ \le \,$ 2; Bậc của B$ \le \,$1.

Phương pháp . Biến đổi tương đương:

$\sqrt A = B \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{B \ge 0}\\
{A = {B^2}}
\end{array}} \right.}
\end{array}$

Ví dụ minh họa

Giải phương trình : $\sqrt {3{x^2}\, – \,5x\, + \,2} \, = \,6\, – \,2x$ (*)

Giải

$\begin{array}{l}
PT(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{6\, – \,2x \ge 0}\\
{3{x^2}\, – \,5x\, + \,2 = {{\left( {6\, – \,2x} \right)}^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
x\, \le \,3\\
{x^2}\, – \,29x\, + \,34\, = \,0
\end{array} \right.\,\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x\, \le \,3}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2}\\
{x = 17}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \,x\, = \,2
\end{array}$

Bình luận:

Nếu bậc của B $ \ge $2 thì học sinh sẽ gặp khó khăn hơn rất nhiều. Để giúp các em hiểu rõ hơn về vấn đề này. Ta xét một ví dụ minh họa với các kỹ thuật khác nhau.

Bài toán: Giải phương trình sau:

${x^2}\, – \,4x\, – \,3\, = \,\sqrt {x\, + \,5} $ (1)

Phương pháp 1. Biến đổi tương đương đưa về phương trình đại số bậc cao.

Phương trình (1)
$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
{x^2}\,\, – \,4x\, – \,3\, \ge \,0\\
x\, + \,5\, = \,{\left( {{x^2}\, – \,4x\, – \,3} \right)^2}
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x\, \le \,2\, – \,\sqrt 7 \\
x\, \ge \,2\, + \,\sqrt 7
\end{array} \right.\\
{x^4}\, – \,8{x^3}\, + \,10{x^2}\, + \,23x\, + \,4\, = \,0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x\, \le \,2\, – \,\sqrt 7 \\
x\, \ge \,2\, + \,\sqrt 7
\end{array} \right.\\
\left( {x\, + \,1} \right)\left( {x\, – \,4} \right)\left( {{x^2}\, – \,5x\, – \,1} \right)\, = \,0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x\, \le \,2\, – \,\sqrt 7 \\
x\, \ge \,2\, + \,\sqrt 7
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x\, = \, – 1\\
x\, = \,4\\
x\, = \,\frac{{5\, \pm \,\sqrt {29} }}{2}\,
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Vậy: S= $\left\{ { – 1;\,\frac{{5\, + \,\sqrt {29} }}{2}} \right\}$ là nghiệm của phương trình

Bình luận: Để giải phương trình đại số bậc cao: ${x^4}\, – \,8{x^3}\, + \,10{x^2}\, + \,23x\, + \,4\, = \,0$ ta dùng phương pháp nhẩm nghiệm (có thể dụng máy tính cầm tay) tìm các nghiệm: x=-1; x=4. sau đó sử dụng phép chia đa thức (Hoặc lược đồ hoocle) đưa phương trình về dạng tích: $\left( {x\, + \,1} \right)\left( {x\, – \,4} \right)\left( {{x^2}\, – \,5x\, – \,1} \right)\, = \,0$. Phương trình này dề dàng giải được. Thử nghiệm (Hoặc so sánh điều kiện) ta có kết quả.

Phương pháp 2: Phương pháp nhân liên hợp.

Sử dụng máy tính (Hoặc nhẩm nghiệm) ta sẽ tìm được một nghiệm nguyên x=-1. Khi đó ta thực hiện như sau:

Với x=-1. Ta phân tích: ${x^2}\, – \,4x\, – \,3\, = \,(x\, + \,1)\left( {x\, – \,5} \right)\, + \,2$.

Phương trình (1) được viết như sau: $\sqrt {x\, + \,5} \, – \,2\, = \,\left( {x\, + \,1} \right)\left( {x\, – \,5} \right)$ (1)

Với điều kiện: $x\, \ge \, – \,5$

Ta có:

$\sqrt {x\, + \,5} \, – \,2\, = \,\left( {x\, + \,1} \right)\left( {x\, – \,5} \right)$
$ \Leftrightarrow \,\frac{{x\, + \,1}}{{\sqrt {x\, + \,5} \, + \,2}}\, = \,\left( {x\, + \,1} \right)\left( {x\, – \,5} \right)$
$ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}
x\, = \, – 1\\
\frac{1}{{\sqrt {x\, + \,5} \, + \,2}}\, = \,x\, – \,5\,\,\,(2)
\end{array} \right.$

Giải phương trình (2): Đặt: $t\, = \,\sqrt {x\, + \,5} \, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
t\, \ge \,0\\
{t^2}\, = \,x\, + \,5
\end{array} \right.$

Phương trình (2) có dạng: $\frac{1}{{t\, + \,2}}\, = \,{t^2}\, – \,10$ $ \Leftrightarrow \,{t^3}\, + \,2{t^2}\, – \,10t\, – \,21\, = \,0$

$ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}
t\, = \, – 3\\
t\, = \,\frac{{1\, \pm \,\sqrt {29} }}{2}
\end{array} \right.$

So sánh với điều kiện: $t\, = \,\frac{{1\, + \,\sqrt {29} }}{2}$

Với $t\, = \,\frac{{1\, + \,\sqrt {29} }}{2}$ ta có: $x\, = \,\frac{{5\, + \,\sqrt {29} }}{2}$

Vậy: $S = \left\{ { – 1;{\mkern 1mu} \frac{{5{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt {29} }}{2}{\rm{ }}} \right\}$ là nghiệm của phương trình.

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về phương trình tích.

Viết lại Phương trình (1) dưới dạng: $ \Leftrightarrow \,{\left( {x\, – \,2} \right)^2}\, – \,7\, = \,\sqrt {x\, + \,5} $

Đặt: $y\, – \,2\, = \,\sqrt {x\, + \,5} $

$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
y\, \ge \,2\\
{\left( {y\, – \,2} \right)^2}\, = \,x\, + \,5
\end{array} \right.$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
y\, \ge \,0\\
{\left( {x\, – \,2} \right)^2}\, = \,y\, + \,5\\
{\left( {y\, – \,2} \right)^2}\, = \,x\, + \,5
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
y\, \ge \,2\\
{\left( {x\, – \,2} \right)^2}\, = \,y\, + \,5\\
\left( {x – \,y} \right)\left( {x\, + \,y\, + \,3} \right)\, = \,0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x\, – \,2} \right)^2}\, = \,y\, + \,5\\
y\, = \,x
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x\, – \,2} \right)^2}\, = \,y\, + \,5\\
y\, = \, – x\, – \,3
\end{array} \right.\\
y\, \ge \,2
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}
x\, = \,\frac{{5\, + \,\sqrt {29} }}{2}\\
x\, = \, – 1
\end{array} \right.$

Vậy: $S = \left\{ { – 1;{\mkern 1mu} \frac{{5{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt {29} }}{2}{\rm{ }}} \right\}$ là nghiệm của phương trình.

Phương pháp 4: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai không hoàn toàn có delta là chính phương.

Đặt: $t\, = \,\sqrt {x\, + \,5} $

$ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t{\mkern 1mu} \ge {\mkern 1mu} 0}\\
{{t^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} 5}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t{\mkern 1mu} \ge {\mkern 1mu} 0}\\
{{t^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} 2{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} 3}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t{\mkern 1mu} \ge {\mkern 1mu} 0}\\
{3{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {t^2}{\mkern 1mu} – {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} – {\mkern 1mu} 2}
\end{array}} \right.$

Phương trình (1) có dạng: ${t^2}\, + \,t\, – \,{x^2}\, + \,3x\, – \,2\, = \,0$

$ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}
t\, = \,x\, – \,2\
t\, = \, – x\, + \,1
\end{array} \right.$

Với $t\, = \, – x\, + \,1$ ta có:

$\sqrt {x\, + \,5} \, = \, – x\, + \,1$

$\sqrt {x\, + \,5} \, = \, – x\, + \,1 \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
x\,\, \le \,1\\
{x^2}\, – \,3x\, – \,4\, = \,0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,x\, = \, – 1$

Với $t\, = \,x\, – \,2$ ta có:

$\sqrt {x\, + \,5} \,\, = \,x\, – \,2 \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
x\, \ge \,2\\
{x^2}\, – \,5x\, – \,1\, = \,0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,x\, = \,\frac{{5\, + \,\sqrt {29} }}{2}$

Vậy: $S = \left\{ { – 1;{\mkern 1mu} \frac{{5{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \sqrt {29} }}{2}{\rm{ }}} \right\}$ là nghiệm của phương trình.

————————-

Download tài liệu:

PDF: tại đây.

Word: Tại đây.

————————–

Xem thêm:

———————-

Translate »
error: Content is protected !!