Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới căn bậc hai

Kỹ thuật đặt nhiều ẩn phụ đưa về hệ đại số giải được

Phương pháp

  • Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ đại số giải được.

Ví dụ 1. 

Giải phương trình :$x=\sqrt{2-x}.\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{2-x}$

Giải

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = \sqrt {2 – x} \\
v = \sqrt {3 – x} \\
w = \sqrt {5 – x}
\end{array} \right.$

Phương trình tương đương với hệ:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2 – {u^2} = uv + vw + wu\\
3 – {v^2} = uv + vw + wu\\
5 – {w^2} = uv + vw + wu
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {u + v} \right)\left( {u + w} \right) = 2\\
\left( {u + v} \right)\left( {v + w} \right) = 3\\
\left( {v + w} \right)\left( {u + w} \right) = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow u = \frac{{\sqrt {30} }}{{60}}\\
\Leftrightarrow x = \frac{{239}}{{120}}
\end{array}$

Ví dụ 2. 

Giải phương trình sau :$\sqrt{2{{x}^{2}}-1}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x-2}=\sqrt{2{{x}^{2}}+2x+3}+\sqrt{{{x}^{2}}-x+2}$

Giải

Ta đặt :

$\left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt {2{x^2} – 1} \\
b = \sqrt {{x^2} – 3x – 2} \\
c = \sqrt {2{x^2} + 2x + 3} \\
d = \sqrt {{x^2} – x + 2}
\end{array} \right.$

khi đó ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}
a + b = c + d\\
{a^2} – {b^2} = {c^2} – {d^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = – 2$

Bài tập thực hành

Giải các  phương trình sau

  1. $\sqrt{4{{x}^{2}}+5x+1}-2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=9x-3$.
  2. $\sqrt{x}+\sqrt[4]{x\left( 1-x \right)}+\sqrt[4]{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}=\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{{{x}^{3}}}+\sqrt[4]{{{x}^{2}}\left( 1-x \right)}$.

Sáng tạo

Xuất phát từ đẳng thức ${{\left( a+b+c \right)}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+3\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$, Ta có

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{3}}\Leftrightarrow \left( a+b \right)\left( a+c \right)\left( b+c \right)=0$

Từ  nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ  có chứa căn bậc ba .

$\sqrt[3]{7x+1}-\sqrt[3]{{{x}^{2}}-x-8}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}-8x+1}=2$

$\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}-\sqrt[3]{4x-3}=0$

————————-

Download tài liệu:

PDF: tại đây.

Word: Tại đây.

————————–

Xem thêm:

———————-

Translate »
error: Content is protected !!