Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 1

Phương pháp

Đặt $u=\alpha \left( x \right),v=\beta \left( x \right)$  và tìm mối quan hệ giữa $\alpha \left( x \right)$ và $\beta \left( x \right)$  từ đó tìm được hệ theo u,v

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Giải phương trình: $x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\left( x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}} \right)=30$

Giải

Đặt: $y=\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\Rightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35$

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{array}{l}
xy(x + y) = 30\\
{x^3} + {y^3} = 35
\end{array} \right.$

Giải hệ này ta tìm được $(x;y)=(2;3)=(3;2)$.

Tức là nghiệm của phương trình là $x\in \{2;3\}$

Ví dụ 2.

Giải phương trình sau: $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$

Giải

Điều kiện: $x\ge 1$

Đặt $a=\sqrt{x-1},\,\,b=\sqrt{5+\sqrt{x-1}}(a\ge 0,b\ge 0)$ thì ta đưa về hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + b = 5\\
{b^2} – a = 5
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow (a + b)(a – b + 1) = 0$

Do : a+b>0. suy ra: $ \Rightarrow a – b + 1 = 0 \Leftrightarrow a +1= b$.

Phương trình tương đương:
$\begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + 1 = \sqrt {5 + \sqrt {x – 1} } \\
\Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 5 – x\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 5}\\
{x – 1 = {{\left( {5 – x} \right)}^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 5}\\
{{x^2} – 11x + 26 = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 5}\\
{x = \frac{{11 \pm \sqrt {17} }}{2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{{11 – \sqrt {17} }}{2}
\end{array}$

Ví dụ 3.

Giải phương trình: $\frac{6-2x}{\sqrt{5-x}}+\frac{6+2x}{\sqrt{5+x}}=\frac{8}{3}$

Giải

Điều kiện: $-5<x<5$

Đặt $u=\sqrt{5-x},v=\sqrt{5-y}\,\,\left( 0<u,v<\sqrt{10} \right)$.

Khi đó ta được hệ phương trình:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} = 10\\
– \frac{4}{u} – \frac{4}{v} + 2(u + z) = \frac{8}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(u + v)^2} = 10 + 2uv\\
(u + v)\left( {1 – \frac{2}{{uv}}} \right) = \frac{4}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$

Giải hệ này ta được nghiệm phương trình đã cho.

Ví dụ 4.

Giải phương trình: $\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

Giải

Điều kiện: $0\le x\le \sqrt{2}-1$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {\sqrt 2 – 1 – x} = u\\
\sqrt[4]{x} = v
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow 0 \le u \le \sqrt {\sqrt 2 – 1} ,0 \le v \le \sqrt[4]{{\sqrt 2 – 1}}$

Ta đưa về hệ phương trình sau:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u + v = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\\
{u^2} + {v^4} = \sqrt 2 – 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} – v\\
{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} – v} \right)^2} + {v^4} = \sqrt 2 – 1
\end{array} \right.
\end{array}$

Giải phương trình thứ  2: ${{({{v}^{2}}+1)}^{2}}-{{\left( v+\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right)}^{2}}=0$

Từ đó tìm ra $v$ rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.

————————-

Download tài liệu:

PDF: tại đây.

Word: Tại đây.

————————–

Xem thêm:

—————————-

I

Translate »
error: Content is protected !!