Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai hai biến

Phương pháp

Giải phương trình: ${{u}^{2}}+\alpha uv+\beta {{v}^{2}}=0$   (1) bằng cách

  • Xét $v\ne 0$ phương trình trở thành  : ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{2}}+\alpha \left( \frac{u}{v} \right)+\beta =0$
  • $v=0$ thử trực tiếp

Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

  • $a.A\left( x \right)+bB\left( x \right)=c\sqrt{A\left( x \right).B\left( x \right)}$
  • $\alpha u+\beta v=\sqrt{m{{u}^{2}}+n{{v}^{2}}}$

*$Q\left( x \right)=\alpha \sqrt{P\left( x \right)}$ với:$\left\{ \begin{align}
& P\left( x \right)=A\left( x \right).B\left( x \right) \\
& Q\left( x \right)=aA\left( x \right)+bB\left( x \right) \\
\end{align} \right.$

Bằng cách thay các biểu thức A(x) , B(x)  bởi các  biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .

Phương trình dạng : $a.A\left( x \right)+bB\left( x \right)=c\sqrt{A\left( x \right).B\left( x \right)}$

Ví dụ 1.

Giải phương trình : $2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{{{x}^{3}}+1}$

Giải:

Điều kiện: $x \ge – 1$.

Nhận xét: ${x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)$

Vậy: $A(x) = x + 1$ và $B(x) = {x^2} – x + 1$

Đặt $u=\sqrt{x+1},v=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$

Phương trình trở thành :

$2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) = 5uv$

Do:
$\begin{array}{l}
v = \sqrt {{x^2} – x + 1} \\
= \sqrt {\left( {{x^2} – 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{3}{4}} \\
= \sqrt {{{\left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0,\forall x
\end{array}$

Nên: $v \ne 0,\forall x$. Chia hai vế cho: ${v^2} \ne 0$

$PT \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{u}{v}} \right)^2} – 5\left( {\frac{u}{v}} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 2v\\
u = \frac{1}{2}v
\end{array} \right.$

$\begin{align}
& *u=2v \\
& \Leftrightarrow \sqrt{x+1}=2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \\
& \Leftrightarrow x+1=4({{x}^{2}}-x+1) \\
& \Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-5x+3=0.(VN) \\
\end{align}$

$\begin{align}
& *u=\frac{1}{2}v \\
& \Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \\
& \Leftrightarrow 4(x+1)={{x}^{2}}-x+1 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+-3=0 \\
& \Leftrightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2} \\
\end{align}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}$

Ví dụ 2. 

Giải phương trình sau :$2{{x}^{2}}+5x-1=7\sqrt{{{x}^{3}}-1}$

Giải

Điều kiện: $x\ge 1$

Nhận xét : Ta viết: $\alpha \left( x-1 \right)+\beta \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=7\sqrt{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}$

Đồng nhất thức ta được:  $3\left( x-1 \right)+2\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=7\sqrt{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}$ Đặt $u=x-1\ge 0,v={{x}^{2}}+x+1>0$, ta được: 

$3u+2v=7\sqrt{uv}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& v=9u \\
& v=\frac{1}{4}u \\
\end{align} \right.$

$\begin{align}
& *v=9u \\
& \Leftrightarrow 9\left( x-1 \right)={{x}^{2}}+x+1 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x-8=0 \\
& \Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6} \\
\end{align}$

$\begin{array}{l}
*u = 4v\\
\Leftrightarrow x – 1 = 4\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 3x + 5 = 0.(VN)
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiêm :$x=4\pm \sqrt{6}$.

Ví dụ 3.

Giải phương trình :${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}-6x=0$

Giải

Nhận xét : Đặt $y=\sqrt{x+2}$ ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

$\begin{array}{l}
{x^3} – 3{x^2} + 2{y^3} – 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} – 3x{y^2} + 2{y^3} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} – 3\left( {\frac{x}{y}} \right) + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = – 2y
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy phương trình có  nghiệm :$x=2,x=2-2\sqrt{3}$.

Phương trình dạng :  $\alpha u+\beta v=\sqrt{m{{u}^{2}}+n{{v}^{2}}}$

Bình phương hai vế thì đưa phương trình về được dạng:

$a.A\left( x \right)+bB\left( x \right)=c\sqrt{A\left( x \right).B\left( x \right)}$.

Ví dụ 1.  

giải phương trình : ${{x}^{2}}+3\sqrt{{{x}^{2}}-1}=\sqrt{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1}$

Giải:

Ta đặt :

$\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
v = \sqrt {{x^2} – 1}
\end{array} \right.$

khi đó phương trình trở thành : $u+3v=\sqrt{{{u}^{2}}-{{v}^{2}}}$

Ví dụ 2.

Giải phương trình sau : $\sqrt{{{x}^{2}}+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3{{x}^{2}}+4x+1}$

Giải

Điều kiện: $x\ge \frac{1}{2}$. 

Bình phương 2 vế ta có :

$\begin{array}{l}
\sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x – 1} \right)} = {x^2} + 1\\
\Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x – 1} \right)} = \left( {{x^2} + 2x} \right) – \left( {2x – 1} \right)
\end{array}$

Ta có thể đặt :

$\left\{ \begin{align}
& u={{x}^{2}}+2x \\
& v=2x-1 \\
\end{align} \right.$

khi đó ta có hệ :

$uv = {u^2} – {v^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}v\\
u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v
\end{array} \right.$

Do $u,v\ge 0$. $u=\frac{1+\sqrt{5}}{2}v\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left( 2x-1 \right)$

Ví dụ 3. 

Giải phương trình : $\sqrt{5{{x}^{2}}-14x+9}-\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=5\sqrt{x+1}$

Giải:

Điều kiện: $x\ge 5$.

Chuyển vế bình phương ta được: $2{{x}^{2}}-5x+2=5\sqrt{\left( {{x}^{2}}-x-20 \right)\left( x+1 \right)}$

Nhận xét :   không tồn tại số $\alpha ,\beta $ để : $2{{x}^{2}}-5x+2=\alpha \left( {{x}^{2}}-x-20 \right)+\beta \left( x+1 \right)$ vậy ta không thể đặt:

$\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2} – x – 20\\
v = x + 1
\end{array} \right.$

Để giải quyết vấn đề này, ta có : $\left( {{x}^{2}}-x-20 \right)\left( x+1 \right)=\left( x+4 \right)\left( x-5 \right)\left( x+1 \right)=\left( x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-4x-5 \right)$.

Ta viết lại phương trình:  $2\left( {{x}^{2}}-4x-5 \right)+3\left( x+4 \right)=5\sqrt{({{x}^{2}}-4x-5)(x+4)}$.

Đến đây bài toán được giải quyết .

Sáng tạo

Xuất phát từ đẳng thức :

  •  ${{x}^{3}}+1=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$
  • ${{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1=\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1 \right)-{{x}^{2}}=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$
  • ${{x}^{4}}+1=\left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1 \right)$
  • $4{{x}^{4}}+1=\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+2x+1 \right)$

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:$4{{x}^{2}}-2\sqrt{2}x+4=\sqrt{{{x}^{4}}+1}$

Để có một phương trình đẹp , cần lưu ý chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai $a{{t}^{2}}+bt-c=0$  giải có “ nghiệm đẹp”.

Bài tập thực hành

————————-

Download tài liệu:

PDF: tại đây.

Word: tại đây.

————————–

Xem thêm:

———————-

Translate »
error: Content is protected !!