Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Kỹ thuật đưa về phương trình tích

Phương pháp

  • Sử dụng  đẳng thức nhóm nhân tử chung.
  • $u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
  • $au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$
  • $\sqrt{ax+b}\pm \sqrt{cx+d}=\frac{\left( a-c \right)x+\left( b-d \right)}{m}$
  • ${{A}^{2}}={{B}^{2}}\Leftrightarrow (A-B)(A+B)=0$
  • ${a^3} – {b^3} \Leftrightarrow (a – b)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 0$

Ví dụ minh họa

Ví dụ  1.

Giải phương trình : $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$

Giải:

$pt \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = – 1
\end{array} \right.$

Ví dụ 2.

Giải phương trình : $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+x}$

Giải:

+)  $x=0$, không phải là nghiệm +) $x\ne 0$,  ta chia hai vế cho x:

$\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{x}}} + \sqrt[3]{x} = 1 + \sqrt[3]{{x + 1}}\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{x}}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{x} – 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array}$

Ví dụ 3.

Giải phương trình:  $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$

Giải:

Điều kiện:$x\ge -1$

$PT \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 0
\end{array} \right.$

Ví dụ 4. 

Giải phương trình : $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$

Giải:

Đk: $x\ge 0$ Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$:

$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \\
\Leftrightarrow {\left( {1 – \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array}$

Ví dụ 5.

Giải phương trình : $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$

Giải:

Điều kiện: $0\le x\le \sqrt{3}$.

Khi đó pt đã cho tương đương :

$\begin{array}{l}
{x^3} + \sqrt 3 {x^2} + x – \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{10}}{{3\sqrt 3 }}\\
\Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt[3]{{10}} – 1}}{{\sqrt 3 }}
\end{array}$

Ví dụ 6.

   Giải phương trình sau :$2\sqrt{x+3}=9{{x}^{2}}-x-4$

Giải:

Điều kiện:$x\ge -3$. 

Phương trình tương đương:

$\begin{array}{l}
{\left( {1 + \sqrt {3 + x} } \right)^2} = 9{x^2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 3} + 1 = 3x\\
\sqrt {x + 3} + 1 = – 3x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \frac{{ – 5 – \sqrt {97} }}{{18}}
\end{array} \right.
\end{array}$

Ví dụ 7.

Giải phương trình sau : $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

Giải

Pttt $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3x} \right)}^{3}}=0\Leftrightarrow x=1$

Bài tập thực hành

————————-

Download tài liệu:

PDF: tại đây.

Word: Tại đây.

————————–

Xem thêm:

———————-

Translate »
error: Content is protected !!