Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Kỹ thuật nhân liên hợp

Bình luận: Việc giải phương trình bậc hai chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai và và có hai căn nhìn chung khá khó giải.

Các phương pháp giải thường kể đến:

  • Đặt ẩn phụ đưa về hệ.
  • Phương pháp nhân liên hợp.

Tuy nhiên, kỹ thuật nhân liên hợp tỏ ra hiệu quả vượt trội khi phương trình có một nghiệm hữu tỉ. Do vậy ta nghiên cứu kỹ hơn về kỹ thuật này.

Biểu thức liên hợp

  • ${a^2} – {b^2} = \left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)$
  • ${a^3} – {b^3} = \left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$
  • ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right)$

Phương pháp

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm  ${{x}_{0}}$ như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích $\left( x-{{x}_{0}} \right)A\left( x \right)=0$  ta có thể giải phương trình $A\left( x \right)=0$  hoặc chứng minh $A\left( x \right)=0$ vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía  $A\left( x \right)=0$ vô nghiệm.  

Ví dụ

Giải phương trình:

$\sqrt {3{x^2} – 5x + 1} – \sqrt {3\left( {{x^2} – x – 1} \right)} = \sqrt {{x^2} – 2} – \sqrt {{x^2} – 3x + 4} $

Giải

Ta nhận thấy x=2 là nghiệm.

Trục căn thức cả hai vế, ta được:

$\frac{{ – 2x + 4}}{{\sqrt {3{x^2} – 5x + 1} + \sqrt {3\left( {{x^2} – x + 1} \right)} }} = \frac{{3x – 6}}{{\sqrt {{x^2} – 2} + \sqrt {{x^2} – 3x + 4} }}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2}\\
{\frac{{ – 2}}{{\sqrt {3{x^2} – 5x + 1} + \sqrt {3\left( {{x^2} – x + 1} \right)} }} = \frac{3}{{\sqrt {{x^2} – 2} + \sqrt {{x^2} – 3x + 4} }}.(*)}
\end{array}} \right.$

Dễ thấy, VT của (*) âm, VP của (*) đương. Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhhaats x=2.

Ví dụ 2

Giải phương trình sau: $\sqrt {{x^2} + 12} + 5 = 3x + \sqrt {{x^2} + 5} $

Giải

Biến đổi phương trình về dạng: $\sqrt {{x^2} + 12} – \sqrt {{x^2} + 5} = 3x – 5$.

Điều kiện có nghiệm: $3x – 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{5}{3}$.

Ta nhận thấy: x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng $\left( x-2 \right)A\left( x \right)=0$, để thực hiện  được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

$\sqrt {{x^2} + 12} – 4 = 3x – 6 + \sqrt {{x^2} + 5} – 3$

Bình luận: Mục tiêu của phương pháp tách làm sao để khi x=2 thì vế trái=0 và vế phải cũng bằng 0. Từ đó có thể nhân liên hợp làm xuất hiện: (x-2)A(x)=0.

Liên hợp hai vế, ta được:

$\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + 12} – 4 = 3x – 6 + \sqrt {{x^2} + 5} – 3\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 4}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} = 3\left( {x – 2} \right) + \frac{{{x^2} – 4}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}}\\
\Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} – \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} – 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2}\\
{\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} – \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} – 3 = 0.(*)}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Để giải quyết phương trình (*). Ta chứng minh nó vô nghiệm.

Thật vậy:

$\forall x > \frac{5}{3}$

$ – \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} < 0$

$\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt {{x^2} + 12} + 4 > x + 2\\
\Rightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} < 1\\ \Rightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} - 3 < 0 \end{array}$

$ – \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} < 0$

$ \Rightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 12} + 4}} – \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + 3}} – 3 < 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall x > \frac{5}{3}$

Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x=2.

Ví dụ 3

Giải phương trình: $\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + x = \sqrt {{x^3} – 1}. $ (3)

Giải

Điều kiện: $x \ge \sqrt[3]{2}$

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình về dạng:

$\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} – 2 + x – 3 = \sqrt {{x^3} – 2} – 5$

Liên hợp hai vế, ta được:

$\left( {x – 3} \right)\left[ {1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}}} \right] = \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}}$

Suy ra phương trình có nghiệm: x=3.

Ta chứng minh phương trình:

${1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}} = \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} – 2} + 5}}.(*)}$

Vô nghiệm. Thật vây:

$1 + \frac{{x + 3}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 4}} = 1 + \frac{{x + 3}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2} – 1}} + 1} \right)}^2} + 3}} < 2 < \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{\sqrt {{x^3} - 2} + 5}}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3.

Bài tập thực hành

————————-

Download tài liệu:

PDF: tại đây.

Word: Tại đây.

————————–

Xem thêm:

—————–

Translate »
error: Content is protected !!