Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật đổi biến

Quy tắc:

Đặt những biểu thức kồng kềnh bằng biến mới giúp cho bài toán trở về những dạng dễ nhận biết hoặc dễ định hướng về mặt phương pháp giải. Phương pháp đó gọi là phương pháp đổi biến.

Ví dụ 1.

Chứng minh rằng:  $\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\ge \frac{3}{2}$ $\forall a,b,c>0$   (BĐT Nesbit)

Giải

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
b + c = x > 0\\
c + a = y > 0\\
a + b = z > 0
\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}a = \frac{{y + z – x}}{2};{\rm{ }}b = \frac{{z + x – y}}{2};{\rm{ }}c = \frac{{x + y – z}}{2}$

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{y + z – x}}{{2x}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{z + x – y}}{{2y}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{x + y – z}}{{2z}}{\rm{ }}\\
\ge {\rm{ }}\left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{x} + \frac{x}{z}} \right) + \left( {\frac{y}{z} + \frac{z}{y}} \right)\\
\ge 2\sqrt {\frac{y}{x}.\frac{x}{y}} + 2\sqrt {\frac{z}{x}.\frac{x}{z}} + 2\sqrt {\frac{y}{z}.\frac{z}{y}} \\
= 2 + 2 + 2 = 6 \ge 6
\end{array}$

Dấu “ = ” xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c

Ví dụ 2. 

Cho ≥ABC. Chứng minh rằng:

$\frac{{{a}^{2}}}{b+c-a}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a-b}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b-c}\ge a+b+c$

Giải

Đặt:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
b + c – a = x > 0\\
c + a – b = y > 0\\
a + b – c = z > 0
\end{array} \right.{\rm{ }}\\
\Leftrightarrow {\rm{ }}a = \frac{{y + z}}{2};{\rm{ }}b = \frac{{z + x}}{2};{\rm{ }}c = \frac{{x + y}}{2}
\end{array}$

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{4x}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{4y}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{4z}}{\rm{ }}\\
\ge \frac{{yz}}{x}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{zx}}{y}{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{xy}}{z}\\
\ge \frac{1}{2}\left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{zx}}{y} + \frac{{xy}}{z}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{xy}}{z}} \right)\\
\mathop \ge \limits^{Co{\rm{si}}} {\rm{ }}\sqrt {\frac{{yz}}{x}.\frac{{zx}}{y}} + \sqrt {\frac{{zx}}{y}.\frac{{xy}}{z}} + \sqrt {\frac{{yz}}{x}.\frac{{xy}}{z}} \\
= x + y + z
\end{array}$

Dấu “ = ” xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c

Ví dụ 3.

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≥ abc    (1)

Giải

Đặt:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
b + c – a = x > 0\\
c + a – b = y > 0\\
a + b – c = z > 0
\end{array} \right.{\rm{ }}\\
\Leftrightarrow {\rm{ }}a = \frac{{y + z}}{2};{\rm{ }}b = \frac{{z + x}}{2};{\rm{ }}c = \frac{{x + y}}{2}
\end{array}$

Khi đó ta có BĐT (1)  tương đương với bất đẳng thức sau:

                       $xyz\le \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$

Áp dụng BĐT Côsi ta có: $\frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}\ge \sqrt{xy}.\sqrt{yz}.\sqrt{z\text{x}}=xyz$  (đpcm)

Ví dụ 4.

Cho Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, P là nửa chu vi. CMR: $\frac{1}{{{\left( p-a \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( p-b \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( p-c \right)}^{2}}}\ge \frac{p}{\text{ }\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$(1)

Giải

Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
p – a = x > 0\\
p – b = y > 0\\
p – c = z > 0
\end{array} \right.{\rm{ }}$

thì  (1) <=> $\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\ge \frac{x+y+z}{xyz\text{ }}$      (2)

Ta có:

$VT({\bf{2}})\; = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{y^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{{y^2}}}.\frac{1}{{{z^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{z^2}}}} $

$ = \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} = \frac{{x + y + z}}{{xyz{\rm{ }}}}$

Dấu “ = ” xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c <=> tam giác ABC đều.

——————–

Xem thêm


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder
Translate »
error: Content is protected !!