Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh bất đẳng thức-Kỹ thuật nhân thêm hằng số

Quy tắc nhân thêm hằng số

Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng trong căn là bấy nhiều. nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì phải nhân thêm hằng số để số các số hạng bằng chỉ số căn

Bài toán tổng quát 1

Cho ${x_1},{x_2},{x_3}………..{x_4} > 0$.

Tìm $Min{\rm{ }}f = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}……….. + {x_n}} \right)}^{1 + 2 + 3 + … + n}}}}{{{x_1}.x_{2}^2.x{_3}^3………..x_n^n}}$

Bài toán tổng quát 2

Chứng minh rằng: ${{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}<{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\text{  }\forall \text{ }m<n\in N$ (1)

Chứng minh

Ta biến đổi (1) về bất đẳng thức tương đương sau:$\sqrt[n]{{{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}}<\text{  }1+\frac{1}{n}\text{ }$

Ta có: $\sqrt[n]{{{\left( 1+\frac{1}{m} \right)}^{m}}}=\sqrt[n]{\underbrace{\left( 1+\frac{1}{m} \right).\left( 1+\frac{1}{m} \right)…….\left( 1+\frac{1}{m} \right)}_{m}.\underbrace{1.1………1}_{n-m}}$

$\mathop {\rm{ < }}\limits^{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i} {\rm{ }}\frac{{\overbrace {\left( {1 + \frac{1}{m}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{m}} \right)....... + \left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m + \overbrace {1 + 1 + ......... + 1}^{n - m}}}{n}$

$ = \frac{{m\left( {1 + \frac{1}{m}} \right) + n – m}}{n} = 1 + \frac{1}{n}$

Ví dụ 1.

Chứng minh rằng: $a\sqrt{\left( b-1 \right)}+b\sqrt{\left( a-1 \right)}\le ab\text{  }\forall a,b\ge 1$

Giải

${\left\{ \begin{array}{l}
a\sqrt {\left( {b – 1} \right)} = a\sqrt {\left( {b – 1} \right)} .1{\rm{ }}\mathop \le \limits^{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} {\rm{i}}} {\rm{ }}a\frac{{\left( {b – 1} \right) + 1}}{2} = \frac{{ab}}{2}{\rm{ }}\\
b\sqrt {\left( {a – 1} \right)} = b\sqrt {\left( {a – 1} \right).1} {\rm{ }}\mathop \le \limits^{{\rm{Cosi}}} {\rm{ }}b.\frac{{\left( {a – 1} \right) + 1}}{2} = \frac{{ab}}{2}
\end{array} \right.}$

$ \Rightarrow a\sqrt {\left( {b – 1} \right)} + b\sqrt {\left( {a – 1} \right)} {\rm{ }} \le {\rm{ }}\frac{{ab}}{2}{\rm{ + }}\frac{{ab}}{2} = ab$

Dấu “ = ” xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b – 1 = 1\\
a – 1 = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 2\\
a = 2
\end{array} \right.$

Bình luận

  • Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới: phương pháp nhân thêm hằng số
  • Ta thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tại sao lại nhân thêm 1 mà không phải là 2. Thực chất của vấn đề là chúng ta đã chọn điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b = 1/2.

Ví dụ 2.

Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c=1 \\
\end{align} \right.\text{ }$Tìm giá trị lớn nhất: $S=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Giải

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ là $a=b=c=\frac{1}{3}$ từ đó ta dự đoán Max S = $\sqrt{6}$. => a + b = b + c = c + a = $\frac{2}{3}$ => hằng số cần nhân thêm là $\frac{2}{3}$.

Vậy lời giải là:

${\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {a + b} = {\rm{ }}\sqrt {\frac{3}{2}} {\rm{ }}.\sqrt {\left( {a + b} \right).\frac{2}{3}} {\rm{ }}\mathop \le \limits^{Co{\rm{si}}} {\rm{ }}\sqrt {\frac{3}{2}} {\rm{ }}.\frac{{\left( {a + b} \right) + \frac{2}{3}}}{2}\\
\sqrt {b + c} = {\rm{ }}\sqrt {\frac{3}{2}} {\rm{ }}.\sqrt {\left( {b + c} \right).\frac{2}{3}} {\rm{ }}\mathop \le \limits^{Co{\rm{si}}} {\rm{ }}\sqrt {\frac{3}{2}} {\rm{ }}.\frac{{\left( {b + c} \right) + \frac{2}{3}}}{2}\\
\sqrt {c + a} = {\rm{ }}\sqrt {\frac{3}{2}} {\rm{ }}.\sqrt {\left( {c + a} \right).\frac{2}{3}} {\rm{ }}\mathop \le \limits^{Co{\rm{si}}} {\rm{ }}\sqrt {\frac{3}{2}} {\rm{ }}.\frac{{\left( {c + a} \right) + \frac{2}{3}}}{2}
\end{array} \right.}$

$ \Rightarrow \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \le \sqrt {\frac{3}{2}} {\rm{ }}.\frac{{2\left( {a + b + c} \right) + 3.\frac{2}{3}}}{2} = \sqrt {\frac{3}{2}} {\rm{ }}.2 = \sqrt 6 $

Sai lầm thường gặp

$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {a + b} = {\rm{ }}\sqrt {\left( {a + b} \right).1} {\rm{ }}\mathop \le \limits^{Co{\rm{si}}} {\rm{ }}\frac{{\left( {a + b} \right) + 1}}{2}\\
\sqrt {b + c} = {\rm{ }}\sqrt {\left( {b + c} \right).1} {\rm{ }}\mathop \le \limits^{Co{\rm{si}}} {\rm{ }}\frac{{\left( {b + c} \right) + 1}}{2}\\
\sqrt {c + a} = {\rm{ }}\sqrt {\left( {c + a} \right).1} {\rm{ }}\mathop \le \limits^{Co{\rm{si}}} {\rm{ }}\frac{{\left( {c + a} \right) + 1}}{2}
\end{array} \right.$

=> $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le \frac{2\left( a+b+c \right)+3}{2}=\frac{5}{2}$

Nguyên nhân sai lầm

Dấu “ = ” xảy ra <=> a + b = b + c = c + a = 1 => a + b + c = 2  trái với giả thiết.

Ví dụ 3.

Cho: $\left\{ \begin{align}
& 0\le x\le 3 \\
& 0\le y\le 4 \\
\end{align} \right.$

   Tìm Max A = (3 – x )(12 – 3y)(2x + 3y)

Giải

$A = \frac{1}{6}\left( {6 – 2x} \right)\left( {12 – 3y} \right)\left( {2x + 3y} \right){\rm{ }}\mathop \le \limits^{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i} {\rm{ }}{\left[ {\frac{{\left( {6 – 2{\rm{x}}} \right) + \left( {12 – 3y} \right) + \left( {2{\rm{x + 3y}}} \right)}}{{\rm{3}}}} \right]^3} = 36$

Dấu “ = ” xảy ra <=> 6 -2x = 12 – 3y = 2x + 3y = 6
<=> $\left\{ \begin{align}
& x=0 \\
& y=2 \\
\end{align} \right.$

Bình luận

  • Khi đánh giá theo yêu cầu bài toán cần phải triệt tiêu hết biến cho nên căn cứ vào các hệ số của tích ta nhân thêm 2 vào thừa số thứ nhất.

Ví dụ 4.

Cho x, y > 0. Tìm Min f(x, y) = $\frac{{{\left( x+y \right)}^{3}}}{x{{y}^{2}}}$

Giải

Ta có: $x{{y}^{2}}=\frac{1}{16}\left( 4\text{x} \right)\left( 2y \right)\left( 2y \right)\le \frac{1}{16}{{\left( \frac{4\text{x+2y+2y}}{\text{3}} \right)}^{3}}=\frac{1}{16}{{\left[ \frac{4}{3}\left( x+y \right) \right]}^{3}}=\frac{4}{27}{{\left( x+y \right)}^{3}}$

$\begin{array}{l}
= > f\left( {x,y} \right){\rm{ }} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3}}}{{x{y^2}}} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3}}}{{\frac{4}{{27}}{{\left( {x + y} \right)}^3}}} = \frac{4}{{27}}{\rm{ }}\\
\Rightarrow {\rm{ }}Min{\rm{ }}f(x,y){\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{{\rm{27}}}}
\end{array}$

Dấu “ = ” xảy ra <=> 4x = 2y = 2y <=> y = 2x > 0. Đó là tập hợp tất cả các điểm thuộc đường thẳng y = 2x với x dương.

Ví dụ 5.

Chứng minh rằng: $\sqrt[n]{n}<1+\frac{2}{\sqrt{n}}\text{  }(1)\text{  }\forall n\in \text{ }N\text{ }(n\text{ }\ge 1)$

Giải

Với n = 1, 2 ta nhận thấy (1) đúng.

Với n ≥ 3 ta có:

$\begin{array}{l}
\sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{{\sqrt n \sqrt n .\underbrace {1.1……1}_{n – 2}}} \le \frac{{\sqrt n + \sqrt n + \underbrace {1 + 1……. + 1}_{n – 2}}}{n}\\
= \frac{{2\sqrt n + \left( {n – 2} \right)}}{n} < \frac{{n + 2\sqrt n }}{n} = 1 + \frac{2}{{\sqrt n }} \end{array}$

Ví dụ 6.

Cho $\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c=1 \\
\end{align} \right.\text{ }$
Tìm Max $S=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}$

Giải

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do S làmột biểu thức đối xứng với a, b, c nên Max S thường xảy ra tại điều kiện:

$\left\{ \begin{align}
& a,b,c>0 \\
& a+b+c=1 \\
\end{align} \right.\text{ }$<=> $a=b=c=\frac{1}{3}$ <=>

$\left\{ \begin{array}{l}
a + b = \frac{2}{3}\\
b + c = \frac{2}{3}\\
c + a = \frac{2}{3}
\end{array} \right.$

=> Vậy hằng số cần nhân thêm là $\frac{2}{3}$.$\frac{2}{3}$

Ta có lời giải

$\sqrt[3]{{a + b}} = \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}.\sqrt[3]{{\left( {a + b} \right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}} \le \frac{{\left( {a + b} \right) + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

$\sqrt[3]{{b + c}} = \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}.\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}} \le \frac{{\left( {b + c} \right) + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

$\sqrt[3]{{c + a}} = \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}.\sqrt[3]{{\left( {c + a} \right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}} \le \frac{{\left( {c + a} \right) + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

$ \Rightarrow S = \sqrt[3]{{a + b}} + \sqrt[3]{{b + c}} + \sqrt[3]{{c + a}} \le \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}.\frac{{2\left( {a + b + c} \right) + 4}}{3} = \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}.\frac{6}{3} = \sqrt[3]{{18}}$

Vậy Max S = $\sqrt[3]{18}$
. Dấu “ = ” xảy ra <=>

$\left\{ \begin{array}{l}
a + b = \frac{2}{3}\\
b + c = \frac{2}{3}\\
c + a = \frac{2}{3}
\end{array} \right.$

<=> $a=b=c=\frac{1}{3}$

————————–

Xem thêm:


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder
Translate »
error: Content is protected !!