GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG

Trước hết xin bật mí rằng, so sánh phương pháp này với phương pháp lập bảng nhanh hơn rất nhiều và nếu số lượng các nhân tử càng lớn thì tốc độ càng nhanh gấp nhiều lần.

Xin giới thiệu các bạn phương pháp.

I. Quy tắc dấu

  1. Trước tiên nếu:${\left( {x – a} \right)^n}$ thì ta gọi x=a là nghiệm bội n.
  2. Dấu của $\frac{a}{b}$ trùng dấu a.b.
  3. Cho $f(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + … + {a_n}$
    Trong đó ${a_i};i=1;…;n$ là các hệ số.
  4. $f(x) = 0$ có các nghiệm: ${x_1} < {x_2} < … < {x_m}$.

Khi đó: dấu của f(x) được xác định như sau:

+) f(x) cùng dấu a trên khoảng $({{x_m}; + \infty })$ .

+) Các khoảng còn lại:

-/ Nếu với nghiệm bội lẻ của tử hoặc mẫu thì hai khoảng kề nghiệm đó trái dấu nhau .

-/ Nếu tử hoặc mẫu có nghiệm bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó không đổi dấu.

-/ Nếu tử và mẫu có nghiệm chung bội lẻ thì hai khoảng kề với nghiệm đó của đổi dấu.

Nếu tử và mẫu có nghiệm chung bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó của không đổi dấu.

Chứng minh: Mời các bạn xem thêm trong chuyên đề ” Phương pháp khoảng xét dấu biểu thức đại số“.

II. Minh họa

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình sau: $(x – 1)(x – 2)(3 – x)(x – 4) \ge 0$

Giải:

Bước 1: Nghiệm vế trái: x=1;x=2;x=3;x=4.

Bước 2: Xét dấu vế trái

x1234
VT0+00+0

Bất phương trình có nghiệm: $\left[ {1;2} \right] \cup \left[ {3;4} \right]$

Bình luận: Các nghiệm vế trái đều bội lẻ ( bằng 1).

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình sau:

(x - 1){(x - 2)^3}{(3 - x)^2}(4 - x) \ge 0

Giải:

Bước 1: Nghiệm vế trái: x=1;x=2;x=3;x=4.

Bước 2: Xét dấu vế trái

x1234
VT+00+0+0

Bất phương trình có nghiệm:

x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2;4} \right]

Bình luận: Hệ số a= -1<0, các nghiệm x=1;x=2;x=4 đều bội lẻ, Riêng x=3 bội chẵn.

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình sau:

\frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(3 - x)(x - 4)}} \ge 0

Giải:

Bước 1:

  • Nghiệm tử: x=1;x=2
  • Nghiệm mẫu: x=3;x=4.

Bước 2: Xét dấu vế trái

x1234
VT0+0||+||

Bất phương trình có nghiệm:

x \in \left[ {1;2} \right] \cup \left( {3;4} \right)

Bình luận: Các nghiệm của tử và mẫu đều bội lẻ ( bằng 1).

Ví dụ 4:

Giải bất phương trình sau:

\frac{{(x - 1){{(x - 2)}^2}}}{{(3 - x)(x - 4)}} < 0

Giải:

Bước 1:

  • Nghiệm tử: x=1;x=2
  • Nghiệm mẫu: x=3;x=4.

Bước 2: Xét dấu vế trái

x1234
VT+00||+||

Bất phương trình có nghiệm:

x \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)

Bình luận: a=-1<0, Nghiệm tử x=2 là nghiệm bội chẵn, các nghiệm còn lại đều bội lẻ.

Ví dụ 5:

Giải bất phương trình sau:

\frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{(3 - x)(x - 4)}} > 0

Giải:

Bước 1:

  • Nghiệm tử: x = -1; x = 3
  • Nghiệm mẫu: x = 3; x = 4

Bước 2: Xét dấu vế trái

x-134
VT0+||+||

Bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( { – 1;3} \right) \cup \left( {3;4} \right)$

Bình luận: a=1<0, tử và mẫu đều có nghiệm bội lẻ x=3, các nghiệm còn lại đều bội lẻ.

Tóm lại: Về quy trình, ta có các bước sau

Bước 1: Tìm nghiệm của tử và mẫu (nếu có).

Bước 2: Xét dấu vế trái.

  • Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần trên trục số.
  • Xác định giá trị của f(x) tại các nghiệm xi; i=1,..n (bằng 0 hoặc không xác định || ).
  • Xác định hệ số a ( a= tích của hệ số  của ẩn có bậc cao nhất của tử và mẫu).
  • Xét dấu trên khoảng nghiệm lớn nhất đến +∞.
  • Xác định dấu của các khoảng còn lại:

-/ Nếu với nghiệm bội lẻ của tử hoặc mẫu thì hai khoảng kề nghiệm đó trái dấu nhau .

-/ Nếu tử hoặc mẫu có nghiệm bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó không đổi dấu.

-/ Nếu tử và mẫu có nghiệm chung bội lẻ thì hai khoảng kề với nghiệm đó của đổi dấu.

-/ Nếu tử và mẫu có nghiệm chung bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó của không đổi dấu.

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình.

III. Bài tập thực hành

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a)\frac{2}{{x - 1}} \le \frac{5}{{2x - 1}}
{\rm{b) }}\frac{1}{{x + 1}} < \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}
c)\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 4}} < \frac{3}{{x + 3}}
{\rm{d)}}\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} < 1

Đáp số:

a){\rm{ }}S = \left( {1/2;1} \right) \cup [3; + \infty )
b){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 1; - 1) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right)
c){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 12; - 4) \cup ( - 3;0)
d){\rm{ }}S = {\rm{ }}( - 1; - 5) \cup ( - 1;1) \cup (1; + \infty )

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{3}{{2 – x}} < 2$

b) $\frac{{{x^2} + x – 3}}{{{x^2} – 4}} > 1$

Bài 3: Giải các bất phương trình sau

a){\rm{ }}( - \sqrt 3 x + 2)(x + 1)(4x - 5) > 0{\rm{ }}
{\rm{b) }}\frac{{3 - 2x}}{{(3x - 1)(x - 4)}} < 0
c)\frac{{ - 3x + 1}}{{2x + 1}} \le  - 2
{\rm{d) }}\frac{{x + 2}}{{3x + 1}} \le \frac{{x - 2}}{{2x - 1}}

 ———————————————————–


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder
Translate »
error: Content is protected !!