Phương pháp giải bất phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai thường gặp (bất phương trình vô tỷ)

I. Bất phương trình vô tỷ thường gặp

Dạng 1. $\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} > \sqrt[{2n + 1}]{{g(x)}}$.

Phương pháp

$\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} > \sqrt[{2n + 1}]{{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$

Ví dụ

Giải bất phương trình: $\sqrt[3]{{{x^2} + x – 1}} > \sqrt[3]{{2 – x}}$.

Giải

$\begin{array}{l}
Bpt \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2} + x – 1}} > \sqrt[3]{{2 – x}}\\
\Leftrightarrow {x^2} + x – 1 > 2 – x\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x – 3 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < - 3}\\ {x > 1}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Dạng 2. $\sqrt[{2n}]{{f(x)}} > \sqrt[{2n}]{{g(x)}}$

Phương pháp:

$\sqrt[{2n}]{{f(x)}} > \sqrt[{2n}]{{g(x)}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) \ge 0}\\
{f(x) > g(x)}
\end{array}} \right.$

Ví dụ

Giải bất phương trình:$\sqrt {{x^2} + x – 1} > \sqrt {2 – x} $.

Giải

$\begin{array}{l}
Bpt \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x – 1} > \sqrt {2 – x} \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 – x \ge 0}\\
{{x^2} + x – 1 > 2 – x}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 2}\\
{{x^2} + 2x – 3 > 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le 2}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < - 3}\\ {x > 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1;2} \right]
\end{array}$

Dạng 3. $\sqrt {f\left( x \right)} > g\left( x \right)$

Phương pháp giải

$\sqrt {f\left( x \right)} > g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) < 0\\ f\left( x \right) \ge 0 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0\\ f\left( x \right) > {g^2}\left( x \right)
\end{array} \right.}
\end{array}} \right.$

Ví dụ:

Giải bất phương trình: $4{{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge \left( 2x+10 \right){{\left( 1-\sqrt{3+2x} \right)}^{2}}$.

Giải

ĐK: $x\ge -\frac{3}{2}$

$\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \ge \left( {x + 5} \right)\left( {2 + x – \sqrt {3 + 2x} } \right)\
\Leftrightarrow (x + 5)\sqrt {3 + 2x} \ge 9 + 5x
\end{array}$ (1)

Với $x\ge -\frac{3}{2}$ hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế:

x3x2 – 5x – 3 $\ge 0$$\Leftrightarrow \left( x-3 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0$

Xét dấu vế trái:

  • $VT = 0 \Leftrightarrow x = – 1;x = 3$.
x$ – \infty $-13$ + \infty $
VT00+

Vậy bất phương trình có nghiệm: $x \in \left[ {3; + \infty } \right) \cup { – 1} $

Ví dụ 2.

Giải bất phương trình sau: $\sqrt {2{x^2} – 3x + 1} \ge 2x + 1$.

Giải

$\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} – 3x + 1} \ge 2x + 1\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + 1 < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 \ge 0}\\ {2{x^2} - 3x + 1 \ge {{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - \frac{1}{2}}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - \frac{1}{2}}\\ { - \frac{7}{2} \le x \le 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - \frac{1}{2}}\\ { - \frac{1}{2} \le x \le 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow x \le 0 \end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm: $x \in \left( { – \infty ;0} \right]$

Dạng 4.$\sqrt {f\left( x \right)} \le g\left( x \right)$

Phương pháp

$\sqrt {f\left( x \right)} \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) \ge 0\\
g\left( x \right) \ge 0\\
f\left( x \right) \le {g^2}\left( x \right)
\end{array} \right.$

Ví dụ 1 :

Giải các bất phương trình sau : $\sqrt {x – 3} < 2x – 7$

Giải

$\begin{array}{l}
Bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 3 \ge 0}\\
{x – 3 < {{\left( {2x - 7} \right)}^2}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 3}\\ {4{x^2} - 29x + 52 > 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 3}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 4}\\
{x < \frac{{13}}{4}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 \le x < \frac{{13}}{4}}\\ {x > 4}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm:$x \in \left[ {3;\frac{{13}}{4}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$.

Ví dụ 2.

Giải bất phương trình: $\sqrt {2{x^2} – 6x + 1} < x – 2$

Giải

$\begin{array}{l}
Bpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 2 > 0\\
2{x^2} – 6x + 1 \ge 0\\
2{x^2} – 6x + 1 < x - 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2\\
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le \frac{{3 – \sqrt 7 }}{2}}\\
{x \ge \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}}
\end{array}} \right.\\
– 1 < x < 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2} \le x \le 3 \end{array}$

II. Luyện tập

Giải các bất phương trình sau:

$a)\sqrt[3]{{x + 3}} \ge \sqrt[3]{{3x – 1}}$

$b)\sqrt {x + 3} < \sqrt {{x^2} + 5x – 2} $

$c)\sqrt {{x^2} – 5x + 6} \ge 3x – 2$

$d)\sqrt {5x – 1} \le 3x + 1$

—————

Translate »
error: Content is protected !!