Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu Trị tuyệt đối

  1. Lý thuyết
1. Định nghĩa:
$\begin{array}{l}
\left| {f(x)} \right| > 0\\
\left| {f(x)} \right| \ge 0\\
\left| {f(x)} \right| < 0\\
\left| {f(x)} \right| \le 0
\end{array}$
2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b
x -b/a
f(x) 0 +
3. Dấu tam thức bậc 2: {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) = {\rm{ }}{\bf{a}}{{\bf{x}}^{\bf{2}}} + {\bf{bx}} + {\bf{c}}
 + )\Delta  < 0:af(x) > 0;\forall x \in R
 + )\Delta  = 0:af(x) > 0;\forall x \ne  - \frac{b}{{2a}}

+ $\Delta > 0$, Với x1;x2 là nghiệm của f(x)=0 .

x x1 x2
f(x) a.f(x)>0 0 a.f(x)<0 0 a.f(x)>0
4. Dạng cơ bản
a)\left| {f(x)} \right| > \left| {g(x)} \right|
b)\left| {f(x)} \right| > g(x)
Phương pháp giải

Phương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: \left| {2 - 5x} \right| \ge x + 1

Giải:

  • Trường hợp 1: 2 - 5x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{2}{5}

Bất phương trình có dạng: 2 - 5x \ge x + 1 \Leftrightarrow 6x \le 1 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{6} .

Kết hợp điều kiện: x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{6}} \right] (1)

  • Trường hợp 2: 2 - 5x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{5}

Bất phương trình có dạng: 5x - 2 \ge x + 1 \Leftrightarrow 4x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{4}

Kết hợp điều kiện: x \in \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm : x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{6}} \right] \cup \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: {x^2} - \left| {x - 3} \right| - 5 \ge 0

Giải

  • Trường hợp 1: x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3

Bất phương trình có dạng: {x^2} - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \le  - 1}\\ {x \ge 2} \end{array}} \right. Kết hợp điều kiện: x \ge 3 (1).

  • Trường hợp 2: x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3

Bất phương trình có dạng:

{x^2} + x - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \le \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}}\\ {x \ge \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}} \end{array}} \right.

Kết hợp điều kiện:

x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2};3} \right)(2)

Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm: x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}; + \infty } \right)

Phương pháp 2: Khử trị tuyệt đối bằng bảng

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 1} \right| \ge x + 1

Giải

Trước tiên ta lưu ý:

X 1 3
x-3 3-x | 3-x 0 x-3
x-1 1-x 0 x-1 | x-1
VT 4-2x 1 2 3 2x-4
  • Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.
X 1 3
\left| {x - 3} \right| 3-x 2 3-x 0 x-3
\left| {x - 1} \right| 1-x 0 x-1 2 x-1
VT 4-2x 2 2 2 2x-4

Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:

  • Với x \in \left( { - \infty ;1} \right) :

Bất phương trình  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < 1}\\ {4 - 2x \ge x + 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < 1}\\ {3x \le 3} \end{array}} \right.  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < 1}\\ {x \le 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x < 1(1)

  • Với 1 \le x < 3 :

Bất phương trình  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {1 \le x < 3}\\ {2 \ge x + 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {1 \le x < 3}\\ {x \le 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 1 (2)

  • Với x \ge 3 :

Bất phương trình  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge 3}\\ {2x - 4 \ge x + 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge 3}\\ {x \ge 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 5 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: \left| {3x - \left| {x - 1} \right|} \right| \ge x + 2

Giải

  • Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái
x 1/4 1
\left| {x - 1} \right| 1-x x-1
\left| {3x - \left| {x - 1} \right|} \right| $\left| {4x – 1} \right|$ $\left| {2x + 1} \right|$
VT 1-4x 0 4x-1 3 2x+1
  • Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Với x < \frac{1}{4}

Bất phương trình  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < \frac{1}{4}}\\ {1 - 4x \ge x + 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < \frac{1}{4}}\\ {5x \le  - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x < \frac{1}{4}}\\ {x \le  - \frac{1}{5}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \le  - \frac{1}{5} (1)

* Trường hợp 1: Với \frac{1}{4} \le x < 1

Bất phương trình  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{1}{4} \le x < 1}\\ {4x - 1 \ge x + 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{1}{4} \le x < 1}\\ {3x \ge 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{1}{4} \le x < 1}\\ {x \ge 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \phi (2)

* Trường hợp 1: Với x \ge 1

Bất phương trình  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge 1}\\ {2x + 1 \ge x + 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x \ge 1}\\ {x \ge 1} \end{array} \Leftrightarrow } \right.x \ge 1 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{5}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).

Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: \left| {2x - 1} \right| > \left| {x - 2} \right|

Giải

Bpt  \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} > {\left( {x - 2} \right)^2} \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x <  - 1}\\ {x > 1} \end{array}} \right. .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: \left| {2 - 5x} \right| \ge x + 1

Giải

*Trường hợp 1: x<1. BPT luôn đúng.

* Trường hợp 2:

$Bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 \ge 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 – 5x \ge x + 1}\\
{2 – 5x \le – x – 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge – 1}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le \frac{1}{6}}\\
{x \ge \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1 \le x \le \frac{1}{6}}\\
{x \ge \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.$

Vậy bất phương trình có nghiệm: $\left( { – \infty ;\frac{1}{6}} \right] \cup \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$

Tổng quát:

$\left| {f(x)} \right| \ge g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) < 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) \ge 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) \ge g(x)}\\
{f(x) \le – g(x)}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: \left| {3x + 1} \right| \le x - 1

Giải

$bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 1 \ge 0}\\
\begin{array}{l}
– x + 1 \le 3x + 1\\
3x + 1 \le x – 1
\end{array}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 1}\\
{x \ge 0}\\
{x \le – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow x = \phi $

Tổng quát:

$\left| {f(x)} \right| \le g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) \ge 0}\\
{ – g(x) \le f(x) \le g(x)}
\end{array}} \right.$

Bài luyện tập

Giải các bất phương trình sau:

a)\left| {4x - 1} \right| \le \left| {2x + 3} \right| b)\left| {3x + 5} \right| \ge 2x - 1

c)\left| {5 - 3x} \right| \le x + 3 d){x^2} - 2\left| {x - 1} \right| + 1 \le 0

e)\left| {x + 3} \right| + \left| {x - 1} \right| \le 2x - 1 f)\left| {x - \left| {x - 1} \right|} \right| + \left| {2x - \left| {x - 3} \right|} \right| \ge x + 1

———————————-

Translate »
error: Content is protected !!