Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I. Lý thuyết và các kiến thức bổ sung

1. Định nghĩa:

\[\left| f(x) \right|=\left\{ \begin{matrix}
f(x) \\
-f(x) \\
\end{matrix}\begin{matrix}
khi \\
khi \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
f(x)\ge 0 \\
f(x)<0 \\ \end{matrix}\]

2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b

x-b/a
f(x)a.f(x) < 00a.f(x) > 0

3. Dấu tam thức bậc 2: $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=\text{ }\mathbf{a}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{bx}+\mathbf{c}$

$+)\Delta <0:af(x)>0;\forall x\in R$
$+)\Delta =0:af(x)>0;\forall x\ne -\frac{b}{2a}$
$+)\Delta >0:\left[ \begin{matrix}
a.f(x)>0;\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right) \\
a.f(x)<0;\forall x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right) \\
\end{matrix} \right.$

Với x1;x2 là nghiệm của f(x)=0 và x1<x2.Ta có bảng xét dấu sau:

Bảng xét dấu
xx1x2
f(x) a.f(x) > 0 0 a.f(x) < 0 0 a.f(x) > 0

II. Dạng cơ bản và phương pháp giải

1. Dạng cơ bản thường gặp

Dạng 1. $\left| f(x) \right|>\left| g(x) \right|$
Dạng 2. $\left| f(x) \right|>g(x)$
Dạng 3. $\left| {f(x)} \right| < g(x)$

2. Phương pháp giải

Phương pháp 1. Khử căn bằng định nghĩa.

$\left| {f(x)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x)}&{khi}&{f(x) > 0}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x)}&{khi}&{f(x) < 0} \end{array}} \end{array}} \right.$

Phương pháp 2. Phương pháp lập bảng.

Sử dụng kết hợp bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai để khử trị tuyệt đối.

Phương pháp 3. Biến đổi tương đương.

a)$BPT:\left| {f(x)} \right| > \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow {\left( {f(x)} \right)^2} > {\left( {g(x)} \right)^2}$

b)$\left| {f(x)} \right| > g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) \ge 0}\\ {{f^2}(x) > {g^2}(x)} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$

c)$\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) > 0}\\
{{{\left[ {f(x)} \right]}^2} < {{\left[ {g(x)} \right]}^2}} \end{array}} \right.$

III. Ví dụ minh họa

Phương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình sau: $\left| 2-5x \right|\ge x+1$

Giải:
  • Trường hợp 1: $2-5x\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng: $2-5x\ge x+1\Leftrightarrow 6x\le 1\Leftrightarrow x\le \frac{1}{6}$ .

Kết hợp điều kiện: $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{6} \right]$ (1)

  • Trường hợp 2: $2-5x<0\Leftrightarrow x>\frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng: $5x-2\ge x+1\Leftrightarrow 4x\ge 3\Leftrightarrow x\ge \frac{3}{4}$

Kết hợp điều kiện: $x\in \left[ \frac{3}{4};+\infty  \right)$ (2)

  • Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm : $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{6} \right]\cup \left[ \frac{3}{4};+\infty  \right)$.
Ví dụ 2:

Giải bất phương trình sau: ${{x}^{2}}-\left| x-3 \right|-5\ge 0$

Giải

• Trường hợp 1: $x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3$
Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}-x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x\le -1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right.$
Kết hợp điều kiện: $x\ge 3$ (1).
• Trường hợp 2: $x-3<0\Leftrightarrow x<3$ Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}+x-8\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x\le \frac{-1-\sqrt{33}}{2} \\ x\ge \frac{-1+\sqrt{33}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ Kết hợp điều kiện: $x\in \left( -\infty ;\frac{-1-\sqrt{33}}{2} \right]\cup \left[ \frac{-1+\sqrt{33}}{2};3 \right)$ (2) Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left( -\infty ;\frac{-1-\sqrt{33}}{2} \right]\cup \left[ \frac{-1+\sqrt{33}}{2};+\infty \right)$.

Phương pháp 2: Khử trị tuyệt đối bằng bảng

Ví dụ 1:  

Giải bất phương trình sau: $\left| x-3 \right|+\left| x-1 \right|\ge x+1$

Giải

Trước tiên ta lưu ý:

x13
x-3|0+
x-10+|+

Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.

x13
|x-3|3-x23-x0x-3
|x-1|1-x0x-12x-1
VT4-2x2222x-4

Bước 2: Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:

• Với $x\in \left( -\infty ;1 \right)$ :
Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\ 4-2x\ge x+1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x<1 \\ 3x\le 3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x<1 \\ x\le 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x<1$ (1)

• Với $1\le x<3$ : Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1\le x<3 \\ 2\ge x+1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1\le x<3 \\ x\le 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=1$ (2)

• Với $x\ge 3$ :
Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
2x-4\ge x+1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
x\ge 5 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge 5$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 5;+\infty  \right)$.

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình: $\left| 3x-\left| x-1 \right| \right|\ge x+2$

Giải
  • Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái
x1/41
|x-11-x01-x3x-1
|3x-|x-1|||4x-1|0|4x-1|3|2x+1|
VT1-4x04x-132x+1

Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Với $x<\frac{1}{4}$ Bất phương trình \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x<\frac{1}{4} \\ 1-4x\ge x+2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x<\frac{1}{4} \\ 5x\le -1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x<\frac{1}{4} \\ x\le -\frac{1}{5} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\le -\frac{1}{5}\] (1)

* Trường hợp 2: Với $\frac{1}{4}\le x<1$ Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}\le x<1 \\ 4x-1\ge x+2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}\le x<1 \\ 3x\ge 3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}\le x<1 \\ x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=\phi $ (2)

* Trường hợp 3: Với $x\ge 1$
Bất phương trình \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
2x+1\ge x+2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ge 1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.x\ge 1\] (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left( -\infty ;-\frac{1}{5} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)$.

Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình sau:  $\left| 2x-1 \right|>\left| x-2 \right|$

Giải

Bpt $\Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}>{{\left( x-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x<-1 \\ x>1 \\
\end{matrix} \right.$ .

Lưu ý:

$\begin{array}{l}
\left| {2x – 1} \right| > \left| {x – 2} \right|\\
\Leftrightarrow {\left( {2x – 1} \right)^2} > {\left( {x – 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {2x – 1} \right)^2} – {\left( {x – 2} \right)^2} > 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x – 3} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < - 1}\\ {x > 1}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ 2:  

Giải bất phương trình sau: $\left| 2-5x \right|\ge x+1$

Giải

BPT$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 \ge 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 5x \ge x + 1}\\ {2 - 5x \le - x - 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x \le - 1}\\ {4x \ge 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \le x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ \begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \le x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array}} \right. \end{array}$

Tổng quát: $\left| f \right|>g\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
g<0 \\ \left\{ \begin{matrix} g\ge 0 \\ \left[ \begin{matrix} f>g \\
f<-g \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ 3:  

Giải bất phương trình sau: $\left| 3x+1 \right|\le x-2$

Giải

$\begin{array}{l}
\left| {3x – 1} \right| \le x + 2\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 \ge 0}\\
{3x – 1 \le x + 2}\\
{3x – 1 \ge – x – 2}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge – 2}\\
{2x \le 3}\\
{4x \ge – 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge – 2}\\
{x \le \frac{3}{2}}\\
{x \ge – \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{2}
\end{array}$

Tổng quát:
$\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) > 0}\\
{{{\left[ {f(x)} \right]}^2} < {{\left[ {g(x)} \right]}^2}} \end{array}} \right.$

Bài luyện tập

Giải các bất phương trình sau:

$a)\left| 4x-1 \right|\le \left| 2x+3 \right|$        

$b)\left| 3x+5 \right|\ge 2x-1$

$c)\left| 5-3x \right|\le x+3$         

$d){{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|+1\le 0$

$e)\left| x+3 \right|+\left| x-1 \right|\le 2x-1$                         

$f)\left| x-\left| x-1 \right| \right|+\left| 2x-\left| x-3 \right| \right|\ge x+1$

—————————————

Download tài liệu:

PDF-Tại đây

Word-Tại đây:

———————————-

Xem thêm:

———————————

Translate »
error: Content is protected !!