Góc giữa hai véc tơ trong mặt phẳng

Định nghĩa

Cho $\vec{a},\vec{b}\ne \vec{0}$. $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$.

Khi đó góc giữa hai vec tơ, kí hiệu $\left( \vec{a},\vec{b} \right)=\widehat{AOB}$.

+ ${0^0} \le \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \le {180^0}$ .
+ $\left( \vec{a},\vec{b} \right)$ = 900 khi và chỉ khi $\vec{a}\bot \vec{b}$.
+ $\left( \vec{a},\vec{b} \right)$ = 00 khi và chỉ khi $\vec{a},\vec{b}$ cùng hướng.
+ $\left( \vec{a},\vec{b} \right)$ = 1800 khi và chỉ khi $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng.

Hệ quả

Góc giữa hai vec tơ $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ bằng góc giữa hai véc tơ $\left( {\overrightarrow a ‘,\overrightarrow {b’} } \right)$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow a }$ cùng hướng ${\overrightarrow a ‘}$ và ${\overrightarrow b }$ cùng hướng ${\overrightarrow {b’} }$, $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow a ‘,\overrightarrow b ,\overrightarrow {b’} \ne \overrightarrow 0 } \right)$.

$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {a’} ,\overrightarrow {b’} } \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow a \nearrow \nearrow \overrightarrow {a’} }\\
{\overrightarrow b \nearrow \nearrow \overrightarrow {b’} }
\end{array}} \right.$

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC đều. Xác định góc giữa các cặp véc tơ sau::

a) $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$             

b) $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$

c) $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}$.

Giải

a) + Bước 1: Xác định góc.

Ta nhận thấy $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ cùng gốc A.

Do vậy: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}$.

+ Bước 2: Tìm số đo góc

Do tam giác ABC đều, nên $\widehat {BAC} = {60^0}$

Vậy: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {60^0}$

b) + Bước 1: Xác định góc.

Dựng $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} $.

Khi đó: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {CBD}$

+ Bước 2: Tính số đo góc

Do tam giác ABC đều, nên $\widehat {BAC} = {60^0} = > \widehat {CBD} = {120^0}$

Vậy: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}$

c) + Bước 1: Xác định góc.

Dựng $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {CA} $

Khi đó: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } \right) = \widehat {EAB}$

+ Bước 2. Tìm số đo góc

Do tam giác ABC đều, nên $\widehat {BAC} = {60^0} = > \widehat {BAE} = {120^0}$

Vậy: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {120^0}$

Ví dụ 2

Cho tam giác vuông ABC,$\widehat B = {90^0}$, BA=3; BC=4 . Tính:

a) cos$\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right)$

b) sin$\left( \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC} \right)$

c) cos$\left( \overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA} \right)$

Giải

a) Ta có:
$\begin{array}{l}
BA \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^0}\\
\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0
\end{array}$

b) + Dựng $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $

$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {DAC}$

Ta có: ${\rm{A}}C = \sqrt {B{A^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$

$ \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \sin \widehat {DAC} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{3}{5}$

C) Dựng $\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {BC} $
$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACE}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \cos \widehat {ACE}\\
= – \cos \widehat {BCA} = – \frac{{BC}}{{AC}} = – \frac{4}{5}
\end{array}$

Lưu ý:

+ Để xác định góc giữa hai véc tơ, bằng cách dựng các vec tơ bằng nhau ta quy về góc giữa hai vec cùng một gốc.

+ Sử dụng máy tính cầm tay để tính số đo góc và đặt dấu = khi để góc chính xác đến % giây.

Ví dụ: $\alpha = {28^0}79’28.88”$.

Bài tập thực hành

Cho hình vuông ABCD. Xác định:

a) cos$\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA} \right)$

b) sin$\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD} \right)$

c) cos$\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right)$

Hướng dẫn:

a) $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA} \right)= 135^0$
=>$cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
b) $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD} \right) = 90^0$
=>$sin\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 1$
c) $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 180^0$
=>$cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = – 1$

Ví dụ 3.

Cho hình chữ nhật ABCD. AB=6; AD=8. Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)$

Giải

Gọi 0 là giao của AC và BD, H là hình chiếu của D trên AC.

Khi đó: $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OD} } \right) = \frac{{OH}}{{OD}} (1)$

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OD} } \right) = \frac{{OH}}{{OD}}(1)$

Tam giác AHD vuông tại H và tam giác ADC vuông tại D có cùng ${\widehat {DAC}}$

DO đó: $\cos \left( {\widehat {DAC}} \right) = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AD}}$

$\begin{array}{l}
= > AH = \frac{{A{D^2}}}{{AC}} = \frac{{A{D^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{{8^2}}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{32}}{5}\\
= > OA = \frac{{AC}}{2} = 5;OH = AH – AO = \frac{{32}}{5} – 5 = \frac{7}{5}\\
= > \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \cos \left( {\widehat {DAC}} \right) = \frac{{OH}}{{OD}} = \frac{7}{{25}}
\end{array}$

Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho tam giác AOB cân tại O, OA=a, Các đường cao AH và BK, Gọi $\widehat {AOH} = \alpha $.

a) Tính số đo góc: $\left( {\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {AB} } \right)$; $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {OB} } \right)$

b) Tính AK và OK theo a và $\alpha $.

Bài 2.

Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính góc giữa các vec tơ sau:

Bài 3. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Tính góc giữa:

a. $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $

b. $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} $

c. $\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GC} $

d. $\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {AC} $

Bài 4. Cho hình vuông ABCD. Tính: 

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Xác định góc giữa các cặp vecto sau:

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc $\widehat {ABC} = {40^{0}}$ . Xác định góc giữa các cặp vecto sau:

Bài 7. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính:

Bài 8. Cho tam giác đều ABC, có G là trọng tâm:

——————

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

Xem thêm:

———————–


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder
Translate »
error: Content is protected !!