Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng- Dạng toán cơ bản (phần 2)

Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng

1. Phương pháp giải

a). Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta $ ta cần xác định

– Điểm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}})\in \Delta $

– Một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( a;b \right)$ của $\Delta $

Khi đó phương trình tổng quát của $\Delta $ là $a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)=0$

b). Để viết phương trình tham số của đường thẳng $ \Delta $ ta cần xác định

    – Điểm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}})\in \Delta $

    – Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( a;b \right)$ của $\Delta $

Khi đó phương trình tham số của $\Delta $ là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}
\end{array}} \right.,t \in R.$

c). Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng $ \Delta $ ta cần xác định

    – Điểm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}})\in \Delta $

    – Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( a;b \right),\,\,ab\ne 0$ của $\Delta $

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$:

$\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b}$

 (trường hợp $a.b=0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)

d). Đường thẳng qua điểm $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)$ có hệ số góc $k$ có phương trình là 

                       $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$ 

Chú ý:

  • Nếu hai đường thẳng song song  với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
  • Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và  ngược lại
  • Nếu $y=\pm \frac{4}{3}x$ có VTCP $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$ thì ${{b}^{2}}=\frac{16}{9}{{a}^{2}}$ là một VTPT của ${{a}^{2}}+\frac{16}{9}{{a}^{2}}=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}=9\Rightarrow {{b}^{2}}=16$.

2. VÍ DỤ MINH HỌA

1.Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTPT

Ví dụ 1:

Đường thẳng đi qua $A\left( -1;2 \right)$, nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A. $x-2y-5=0$.         

B. $2x+y=0$             

C. $x-2y-1=0$                      

D. $x-2y+5=0$

Lời giải

Chọn D.

           Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2 \right)$ làm VTPT

           $\Rightarrow \left( d \right):x+1-2\left( y-2 \right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0$ 

Ví dụ 2:

Viết phương trình tham số của đường thẳng D đi qua \[M\left( 1;\,-3 \right)\] và nhận vectơ $\overrightarrow{n}\left( 1;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.A. $\Delta :x+2y+5=0$

B. $\Delta :\left\{ \begin{align}
& x=1+t \\
& y=-3+2t \\
\end{align} \right.$

C. $\Delta :\left\{ \begin{align}
& x=1-2t \\
& y=-3+t \\
\end{align} \right.$.

D. $\Delta :\frac{x-1}{-2}=\frac{y+3}{1}$

Lời giải

Chọn C.

         Vì $\Delta $ nhận vectơ $\overrightarrow{n}\left( 1;2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của $\Delta $ là $\overrightarrow{u}\left( -2;1 \right)$.             Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ là

$\left\{ \begin{align}
& x=1-2t \\
& y=-3+t \\
\end{align} \right.$

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTCP

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $M\left( 2;3 \right)$ và có VTCP  $\vec{u}=\left( 1;-4 \right)$.

A. $\left\{ \begin{align}
& x=-2+3t \\
& y=1-4t \\
\end{align} \right.$.

B. $\left\{ \begin{align}
& x=-2+t \\
& y=3-4t \\
\end{align} \right.$

C. $\left\{ \begin{align}
& x=1-2t \\
& y=-4+3t \\
\end{align} \right.$.

D. $\left\{ \begin{align}
& x=3-2t \\
& y=-4+t \\
\end{align} \right.$

Lời giải

Chọn B.            

Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $M\left( 2;3 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u = (1; – 4)$ nên có phương trình:

\[\left\{ \begin{align}
& x=-2+t \\
& y=3-4t \\
\end{align} \right.\]

Ví dụ 2:

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua \[M\left( 1;\,-3 \right)\] và nhận vectơ $\overrightarrow{u}\left( 1;2 \right)$ làm vectơ chỉ phương.

A. $\Delta :2x-y-5=0$                                                

B. $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}$

C. $\Delta :\left\{ \begin{align}
& x=1+t \\
& y=-3+2t \\
\end{align} \right.$.

D. $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{2}$

Lời giải

Chọn B.

Đường thẳng D đi qua $M\left( 1;\,-3 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}\left( 1;2 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}$.

3. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng cho trước.

Ví dụ 1:

Cho đường thẳng $\left( d \right):x-2y+1=0$. Đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ đi qua $M\left( 1;-1 \right)$ và song song với $\left( d \right)$ có phương trình:

A. $x-2y-3=0$.         

B. $2x+y-1=0$.                    

C. $x-2y+3=0$.                    

D. $x+2y+1=0$

Lời giải

Chọn A.

Do $\left( \Delta  \right)$ song song với $\left( d \right)$ nên có phương trình dạng: $x-2y+c=0\left( c\ne 1 \right)$

Mà $M\left( 1;-1 \right)\in \left( \Delta  \right)\Rightarrow 1-2\left( -1 \right)+c=0\Leftrightarrow c=-3$

Vậy $\left( \Delta  \right):x-2y-3=0$

Ví dụ 2:

Cho tam giác $ABC$ có $A\left( -2;0 \right)\text{, }B\left( 0;3 \right)\text{, }C\left( 3;1 \right).$  Đường thẳng đi qua $B$ và song song với $AC$ có phương trình:

A. $5x-y+3=0$                                                            

B. $5x+y-3=0$

C. $x+5y-15=0$.                                                         

D. $x-5y+15=0$

Lời giải

Chọn D.

Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng cần tìm. Do $\left( d \right)$ song song với $AC$ nên nhận $\overrightarrow{AC}\left( 5;\,1 \right)$ làm VTCP.

Suy ra $\overrightarrow{n}\left( 1;\,-5 \right)$ là VTPT của $\left( d \right)$.

$\Rightarrow $$\left( d \right)$ có phương trình:  $1\left( x-0 \right)-5\left( y-3 \right)=0\Leftrightarrow x-5y+15=0$

4. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước

Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( -2;3 \right)$ và vuông góc với đường thẳng$\left( {{d}’} \right):3x-4y+1=0$ là:

A. $\left\{ \begin{align}
& x=3-2t \\
& y=-4+3t \\
\end{align} \right.$

B. $\left\{ \begin{align}
& x=-2+3t \\
& y=3-4t \\
\end{align} \right.$

C. $\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{-4}$                

D. $4x+3y-1=0$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $\left( d \right)\bot \left( {{d}’} \right):3x-4y+1=0$ $\Rightarrow VTCP\,\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3;-4 \right)$ và qua $M\left( -2;3 \right)$ Suy ra

$\left( d \right):\left\{ \begin{align}
& x=-2+3t \\
& y=3-4t \\
\end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( 2;-1 \right);B\left( 4;5 \right);C\left( -3;2 \right)$. Phương trình tổng quát của đường cao$AH$ của tam giác $ABC$ là:

A. $3x-7y+11=0$.                            

B. $7x+3y-11=0$

C. $3x-7y-13=0$.                             

D. $7x+3y+13=0$.

Lời giải

Chọn B.

Gọi $AH$ là đường cao của tam giác.

$AH$ đi qua $A\left( 2;-1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{BC}=\left( -7;-3 \right)=-\left( 7;\,3 \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow AH:7\left( x-2 \right)+3\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow 7x+3y-11=0$

5. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc.

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta $ biết$\Delta $ đi qua điểm $M\left( -1;2 \right)$ và có hệ số góc $k=3$.

A. $3x-y-1=0$          

B. $3x-y-5=0$                      

C. $x-3y+5=0.$                    

D. $3x-y+5=0$

Lời giải

Chọn D.

Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $y=3\left( x+1 \right)+2\Leftrightarrow 3x-y+5=0$.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ biết$\Delta $ đi qua điểm $M\left( 2;\,-5 \right)$ và có hệ số góc $k=-2$.

A. $y=-2x-1$            

B. $y=-2x-9$.                       

C. $y=2x-1$.             

D. $y=2x-9$.

Lời giải

Chọn A.

Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $y=-2\left( x-2 \right)-5\Leftrightarrow y=-2x-1$.

6. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm

Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( -2;4 \right)\,;B\left( -6;1 \right)$ là:

A. $3x+4y-10=0.$    

B. $3x-4y+22=0.$                

C. $3x-4y+8=0.$                  

D. $3x-4y-22=0$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $\left( AB \right):\frac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\frac{y-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}\Leftrightarrow \frac{x+2}{-4}=\frac{y-4}{-3}\Leftrightarrow 3x-4y+22=0$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( -1;-2 \right);B\left( 0;2 \right);C\left( -2;1 \right)$. Đường trung tuyến $BM$ có phương trình là:

A. $5x-3y+6=0$                                                         

B. $3x-5y+10=0$

C. $x-3y+6=0$.                                                         

D. $3x-y-2=0$

Lời giải

Chọn A

           Gọi $M$ là trung điểm $AC$ $\Rightarrow M\left( -\frac{3}{2};-\frac{1}{2} \right)$ ;  $\overrightarrow{BM}=\left( -\frac{3}{2};-\frac{5}{2} \right)=-\frac{1}{2}\left( 3;\,5 \right)$

           $BM$ qua $B\left( 0;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( 5;-3 \right)$ làm VTPT $\Rightarrow BM:5x-3\left( y-2 \right)=0\Leftrightarrow 5x-3y+6=0$

7. Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng

Bài toán: Viết phương trình đường trung trực của đoạn $AB$ biết $A\left( {{x}_{1}};\,{{y}_{1}} \right),\,B\left( {{x}_{2}};\,{{y}_{2}} \right)$.

Đường trung trực của đoạn $AB$ đi qua trung điểm $I\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\,\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right)$ của $AB$ và nhận $\overrightarrow{AB}\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};\,{{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)$ làm VTPT.

Ví dụ 1: Cho hai điểm $A\left( -2;3 \right)\,;B\left( 4;-1 \right).$ Viết phương trình đường trung trực của đoạn $AB$.

A. $x-y-1=0.$           

B. $2x-3y+1=0.$                  

C. $2x+3y-5=0.$                  

D. $3x-2y-1=0.$

Lời giải

Chọn D.

Gọi $M$ trung điểm $AB$ $\Rightarrow M\left( 1;1 \right)$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 6;-4 \right)=2\left( 3;\,-2 \right)$

Gọi $d$ là đường thẳng trung trực của $AB$ thì $d$ qua $M\left( 1;1 \right)$ và nhận $\,\overrightarrow{n}=\left( 3;-2 \right)$ làm VTPT.

Phương trình $d$: $3\left( x-1 \right)-2\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-1=0$  

Ví dụ 2: Cho điểm \[A\left( 1;\,-1 \right);\,B\left( 3;\,-5 \right)\]. Viết phương trình tham số đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

A. $\left\{ \begin{align}
& x=2+2t \\
& y=-3+t \\
\end{align} \right..$

B. $\left\{ \begin{align}
& x=2+2t \\
& y=1-3t \\
\end{align} \right..$

C. $\left\{ \begin{align}
& x=2+t \\
& y=-3-2t \\
\end{align} \right..$

D. $\left\{ \begin{align}
& x=1+2t \\
& y=-2-3t \\
\end{align} \right..$

Lời giải

Chọn A.

$M\left( 2;\,-3 \right)$ là trung điểm của $AB$.

$\overrightarrow{AB}=\left( 2;\,-4 \right)=2\left( 1;\,-2 \right)$

Gọi $d$ là đường thẳng trung trực của $AB$ thì $d$ qua $M\left( 2;\,-3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 2;\,1 \right)$ làm VTCP nên có phương trình:

$\left\{ \begin{align}
& x=2+2t \\
& y=-3+t \\
\end{align} \right..$

8. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác

Cho 2 đường thẳng cắt nhau: $\left( {{d}_{1}} \right)\text{:}\,\,{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}=0$; $\left( {{d}_{2}} \right)\text{:}\,\,{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}=0$.

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là: \[\frac{{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}}{\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}}}=\pm \frac{{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}}{\sqrt{{{A}_{2}}^{2}+{{B}_{2}}^{2}}}\]

Chú ý:

Cho ($\Delta $): $f(x,y)=Ax+By+C=0$ và $A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$, $B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$.

*$A$ và $B$ nằm về cùng một phía đối với $\Delta $$\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right).f\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)>0$

*$A$ và $B$ nằm khác phía đối với $\Delta $ $\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right).f\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)<0$

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có phương trình các cạnh $AB:\,x+y-1=0$; $AC:\,7x-y+2=0$; $BC:\,10x+y-19=0$. Viết phương trình đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$.

A. $12x+4y-3=0.$    

B. $2x-6y+7=0.$                  

C. $12x+6y-7=0.$                

D. $2x+6y-7=0.$

Lời giải

Chọn B.

$B=AB\cap BC\Rightarrow B\left( 2;\,-1 \right)$

$C=AC\cap BC\Rightarrow C\left( 1;\,9 \right)$ PT các đường phân giác góc A là:

$\frac{x+y-1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\pm \frac{7x-y+2}{\sqrt{{{7}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& 2x-6y+7=0\,\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right) \\
& 12x+4y-3=0\,\,\,\,\left( {{d}_{2}} \right) \\
\end{align} \right.$

Đặt ${{f}_{1}}\left( x,\,y \right)=2x-6y+7;\,\,{{f}_{2}}\left( x,\,y \right)=12x+4y-3$ ta có: ${{f}_{1}}\left( B \right).{{f}_{1}}\left( C \right)<0;\,\,\,{{f}_{2}}\left( B \right).{{f}_{2}}\left( C \right)>0$.

Suy ra $B,\,C$ nằm khác phía so với ${{d}_{1}}$ và cùng phía so với ${{d}_{2}}$.

Vậy phương trình đường phân giác trong góc $A$ là: $2x-6y+7=0$.

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( -2;\,-1 \right);\,B\left( -1;\,3 \right);\,C\left( 6;\,1 \right)$.Viết phương trình đường phân giác ngoài góc $A$ của tam giác $ABC$.

A. $x-y+1=0$           

B. $5x+3y+9=0.$                 

C. $3x+3y-5=0.$                  

D. $x+y+3=0$

Lời giải

Chọn D.

$\begin{align}
& \left( AB \right):\frac{x+2}{-1+2}=\frac{y+1}{3+1}\Leftrightarrow 4x-y+7=0 \\
& \left( AC \right):\frac{x+2}{6+2}=\frac{y+1}{1+1}\Leftrightarrow x-4y-2=0 \\
\end{align}$

Phương trình các đường phân giác góc A là:

$\frac{4x-y+7}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\pm \frac{x-4y-2}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x+y+3=0\,\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right) \\
& x-y+1=0\,\,\,\,\left( {{d}_{2}} \right) \\
\end{align} \right.$

Đặt ${{f}_{1}}\left( x,\,y \right)=x+y+3;\,\,{{f}_{2}}\left( x,\,y \right)=x-y+1$ ta có: ${{f}_{1}}\left( B \right).{{f}_{1}}\left( C \right)>0;\,\,\,{{f}_{2}}\left( B \right).{{f}_{2}}\left( C \right)<0$.

Suy ra $B,\,C$ nằm cùng phía so với ${{d}_{1}}$ và khác phía so với ${{d}_{2}}$.

Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc $A$ là: $x+y+3=0$.

9. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với trục $Ox$ một góc cho trước.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ qua $M\left( -1;\,2 \right)$và tạo với trục $Ox$ một góc ${{60}^{0}}$.

A. $\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+2=0$                                 

B. $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2=0$                      

C.$\sqrt{3}x-y+2=0$                                    

D. $\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}+2=0$

Lời giải

Chọn A.

Do $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{60}^{0}}$ nên có hệ số góc:$k=\tan {{60}^{0}}=\sqrt{3}$.

Phương trình $\left( d \right)$ là: $y=\sqrt{3}\left( x+1 \right)+2\Leftrightarrow \sqrt{3}x-y+\sqrt{3}+2=0$.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ qua $N\left( 3;-\,2 \right)$và tạo với trục $Ox$ một góc ${{45}^{0}}$.

A. $x-y-1=0$                                    

B. $x-y+1=0$                       

C. $x-y-5=0$                                    

D. $x+y+2=0$

Lời giải

Chọn C.

Do $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{45}^{0}}$ nên có hệ số góc:$k=\tan {{45}^{0}}=1$.

Phương trình $\left( d \right)$ là: $y=x-3-2\Leftrightarrow x-y-5=0$

10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc.

Giả sử $\left( {{d}_{1}} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( {{A}_{1}},{{B}_{1}} \right)$; $\left( {{d}_{2}} \right)$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( {{A}_{2}},{{B}_{2}} \right)$ thì $c\text{os(}\widehat{{{d}_{1}},{{d}_{2}}}\text{)=}\left| c\text{os}(\widehat{\overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}}}) \right|=\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}} \right|}{\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}}.\sqrt{{{A}_{2}}^{2}+{{B}_{2}}^{2}}}$

Chú ý:

Giả sử $\left( {{d}_{1}} \right)$; $\left( {{d}_{2}} \right)$ có hệ số góc lần lượt là ${{k}_{1}};\,{{k}_{2}}$ thì: $\tan (\widehat{{{d}_{1}},{{d}_{2}}})=\left| \frac{{{k}_{1}}-{{k}_{2}}}{1+{{k}_{1}}.{{k}_{2}}} \right|$.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình: $x-2y+5=0$. Có mấy phương trình đường thẳng qua $M\left( 2;\,1 \right)$ và tạo với $\left( d \right)$ một góc ${{45}^{0}}$.

A. 1                             B. 2                             C. 3                                         D. Không có.

Lời giải

Chọn B.

Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow{n}\left( A,\,B \right)$ là VTPT của $\Delta $ $\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}\ne 0 \right)$ Để $\Delta $ lập với $\left( d \right)$ một góc ${{45}^{0}}$ thì:

$\cos {{45}^{0}}=\frac{\left| A-2B \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow 2{{\left( A-2B \right)}^{2}}=5\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& A=-3B \\
& B=3A \\
\end{align} \right.$

+ Với $A=-3B$, chọn $B=-1\Rightarrow A=3$ ta được phương trình $\Delta :\,3x-y-5=0$.

+ Với $B=3A$, chọn $A=1\Rightarrow B=3$ ta được phương trình $\Delta :\,x+3y-5=0$

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình: $x+3y-3=0$. Viết phương trình đường thẳng qua $A\left( -2;\,0 \right)$ và tạo với $\left( d \right)$ một góc ${{45}^{0}}$.

A. $\Delta :\,\,2x+y+4=0$ hoặc $\Delta :\,x+2y+2=0$               

B. $\Delta :\,2x+y+4=0$ hoặc $\Delta :\,x+2y+2=0$     

C. $\Delta :\,\,2x+y+4=0$ hoặc $\Delta :\,x-2y+2=0$                

D. $\Delta :\,2x-y+4=0$ hoặc $\Delta :\,x-2y+2=0$.

Lời giải

Chọn C. Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow{n}\left( A,\,B \right)$ là VTPT của $\Delta $ $\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}\ne 0 \right)$

Để $\Delta $ lập với $\left( d \right)$ một góc ${{45}^{0}}$ thì:

$\cos {{45}^{0}}=\frac{\left| A+3B \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}.\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow 2{{\left( A+3B \right)}^{2}}=10\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& A=2B \\
& B=-2A \\
\end{align} \right.$

+ Với $A=2B$, chọn $B=1\Rightarrow A=2$ ta được phương trình $\Delta :\,2x+y+4=0$. + Với $B=-2A$, chọn $A=1\Rightarrow B=-2$ ta được phương trình $\Delta :\,x-2y+2=0$

—————————

Xem thêm:

Phương trình đường thẳng- Lý thuyết cơ bản

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán cơ bản-Phần 1

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán cơ bản-Phần 2

Phương trình đường thẳng- Một số dạng toán nâng cao

Translate »
error: Content is protected !!