PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

A. Đổi biến loại 1:  Đặt ẩn phụ đưa về pt, hệ phương trình đại số.

– Nếu phương trình không thay đổi khi ta thế:

  1.  \(x\) bởi \(-x\), chọn ẩn là \(\cos x\)
  2.  \(x\) bởi \(\pi -x\), chọn ẩn là \(\sin x\)
  3.  \(x\) bởi \(\pi +x\), chọn ẩn là \(tgx\)

– Nếu cả 3 cách đều thực hiện được, chọn ẩn là \(\cos 2x\)

– Nếu cả 3 cách đều không thực hiện được, chọn ẩn là \(tg\frac{x}{2}\)

Ví dụ 1:  Giải phương trình: \(\sin x+tg\frac{x}{2}=2\)

                                                            Giải

Nhận xét: Nếu thay \(x\) bởi \(-x\), \(\pi -x\), \(\pi +x\) thì phương trình không thay đổi.

Điều kiện: \(\frac{x}{2}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\ne \pi +k2\pi \)

Đặt \(t=tg\frac{x}{2}\). Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}
\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + t = 2\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
{t^2} – t + 2 = 0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(VN)}
\end{array}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow tg\frac{x}{2} = 1\\
\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Ví dụ 2.  \(3{{\cot }^{2}}x+2\sqrt{2}{{\sin }^{2}}x=(2+3\sqrt{2})\cos x\)          (1)

Điều kiện:        \(\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi \)

\((1)\Leftrightarrow 3\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x}+2\sqrt{2}=(2+3\sqrt{2})\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\)

Đặt: \(t=\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\)phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}
3{t^2} – (2 + 3\sqrt 2 )t + 2\sqrt 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = \sqrt 2 }\\
{t = \frac{2}{3}}
\end{array}} \right.
\end{array}$

\(+t=\frac{2}{3}:\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{2}{3}\) \(\Leftrightarrow 3\cos x=2(1-{{\cos }^{2}}x)\) \(\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x+3\cos x-2=0\)

\(\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \)

\(+t=\sqrt{2}:\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow \cos x=\sqrt{2}(1-{{\cos }^{2}}x)\) \(\Leftrightarrow \sqrt{2}{{\cos }^{2}}x+\cos x-\sqrt{2}=0\)

\(\Leftrightarrow \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi \)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi \)

Ví dụ 3:  Giải phương trình:  \(3\cos x+4\sin x+\frac{6}{3\cos x+4\sin x+1}=6\)

Giải

Đặt  \(u=3\cos x+4\sin x+1\) phương trình đã cho trở thành:

$u – 1 + \frac{6}{u} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 1\\
u = 6
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3\cos x + 4\sin x + 1 = 1\left( 1 \right)\\
3\cos x + 4\sin x + 1 = 6\left( 2 \right)
\end{array} \right.$

Giải \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow tanx=\frac{-3}{4}\Leftrightarrow x=-arctg\frac{3}{4}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\)

Giải \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow 3\cos x+4\sin x=5\)

Gọi \(\alpha \in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\) với \(tan\alpha =\frac{4}{3}\) ta có:

\(\cos \left( x-\alpha  \right)=\frac{5}{3}\cos \alpha =1\) , vì \(\cos \alpha =\frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow x=\alpha +l2\pi ,l\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có các họ nghiệm:

\(x=-arctg\frac{3}{4}+k\pi \);\(x=\alpha +l2\pi \)với \(k,l\in \mathbb{Z}\)

Ví dụ 4: Giải phương trình:    \(\sqrt{{{\sin }^{2}}x+2}+\sqrt{5-{{\cos }^{2}}x}=2\)

Giải:

Đặt \(a=\sqrt{{{\sin }^{2}}x+2};b=\sqrt{5-{{\cos }^{2}}x}\)

$pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = 2\\
{a^2} – {b^2} = – 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2}\\
b = \frac{3}{2}
\end{array} \right.$

Chú ý: Do sin2x+cos2x=1=> đặt t=cos2x hoặc t=sin2x đưa về pt vô tỷ cơ bản.

Bây giờ chúng ta đi xét một số dạng đổi biến thường gặp.

Dạng 1. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx

Dạng phương trình:

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)

Phương pháp giải

Đặt:  \(t = \sin x{\rm{   (  – 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\)

\(\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{   ( – 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}\)

Chú ý
  • Ta có thể thay x trong các phương trình $sinx$; $cosx$; $tanx$; $cot x$ bằng các biểu thức $P(x)$. Ví dụ: $a{\tan ^2}P(x) + b\tan P(x) + c = 0$. Khi đó cần phải chú ý điều kiện: P(x) \(\ne\) 0.
Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx – 1 = 0\)

c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x – 3 = 0\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)

Lời giải:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x – 3 = 0(1)\)

Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:

\(2{t^2} + t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx – 1 = 0\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:

\({t^2} + 3t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ – 3 – \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được \(c{\rm{os}}x = \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \arccos \frac{{ – 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x – 3 = 0\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x – 7\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x – 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x – 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

*) Giải phương trình:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

*) Giải phương trình: \(3\cos 2x – 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)

Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x – 7 = 0\) vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)  (*)

(3)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x – 1 + \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3  = 0\)

Đặt \(t = \tan x\)

Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} – \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t – \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với \(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),

\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: $\cos 2x + 3\sin x – 2 = 0$

Giải

$\begin{array}{l}
\cos 2x + 3\sin x – 2 = 0\\
\Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x + 3\sin x – 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x – 3\sin x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x = 1}\\
{\sin x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.,k \in Z
\end{array}$

Lưu ý: $\cos 2x = 1 – 2{\sin ^2}x = 2{\cos ^2}x – 1 = {\cos ^2}x – {\sin ^2}x$

Dạng 2. Phương trình thuần nhất bậc 1 đối với sinx và cosx
a) Dạng phương trình:  \(a\sin x + b\cos x = c {\rm{  (1)}}\)

Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

b) Phương pháp giải
  • Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)

Phương trình trở thành:

\(\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x – \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

  • Cách 2:

· Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không

· Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình trở thành:

\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} – 2at + c – b = 0{\rm{  (2)}}\)

Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x

  • Cách 3:

Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt \(\tan \alpha  = \frac{b}{a}\)   \(\left( { – \frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

Phương trình trở thành: \(\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\)

\( \Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha  \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \)

Đặt \(\sin \varphi  = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x – \cos x = 2 + \sqrt 3 \)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Lời giải:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)

(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x =  – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (1) là \(x =  – \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x – \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình (2) trở thành:  \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} – \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t – 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} – 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với\(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)

(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2  – 1} \right)\cos 2x = 3 – \sqrt 2 \)

Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2  – 1} \right)^2} \ge {\left( {3 – \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 – 2\sqrt 2  \ge 11 – 6\sqrt 2 \) (không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: $3(\sin 5x – \cos x) = 4(\sin x + \cos 5x)$

Giải

$\begin{array}{l}
3(\sin 5x – \cos x) = 4(\sin x + \cos 5x)\\
\Leftrightarrow 3\sin 5x – 4\cos 5x = 4\sin x + 3\cos x\\
\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin 5x – \frac{4}{5}\cos 5x = \frac{4}{5}\sin x + \frac{3}{5}\cos x\\
\Leftrightarrow \sin 5x\cos \alpha – \cos 5x\sin \alpha = \sin x\sin \alpha + \cos x\cos \alpha ;(\frac{3}{5} = \cos \alpha ,\frac{4}{5} = \sin \alpha )\\
\Leftrightarrow \sin (5x – \alpha ) = \cos (x – \alpha )\\
\Leftrightarrow \sin (5x – \alpha ) = \sin (\frac{\pi }{2} – x + \alpha )\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{5x – \alpha = \frac{\pi }{2} – x + \alpha + k2\pi }\\
{5x – \alpha = \pi – \frac{\pi }{2} + x – \alpha + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{\alpha }{3} + k\frac{\pi }{3}}\\
{x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: $3\sin 3x – \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x$

Giải

$\begin{array}{l}
3\sin 3x – \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\\
\Leftrightarrow (3\sin 3x – 4{\sin ^3}3x) – \sqrt 3 \cos 9x = 1\\
\Leftrightarrow \sin 9x – \sqrt 3 \cos 9x = 1\\
\Leftrightarrow \sin (9x – \frac{\pi }{3}) = \sin \frac{\pi }{6}\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{9}}\\
{x = \frac{{7\pi }}{{54}} + k\frac{{2\pi }}{9}}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Dạng 3. Phương trình đối xứng đối với $sinx$ và $cosx$

Dạng phương trình: $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$

Phương pháp giải

Đặt: $t = \sin x + \cos x$

Khi đó: ${t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = 1 + 2\sin x\cos x$.

Suy ra: $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}$.

Phương trình trở thành: $at + b\frac{{{t^2} – 1}}{2} + c = 0$ 

hay: $b{t^2} + 2at + 2c – b = 0$. Giải phương trình này ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ: Giải phương trình: $\left| {\sin x – \cos x} \right| + 4\sin 2x = 1\left( 1 \right)$

Giải

Đặt : $t = \left| {\sin x – \cos x} \right|;0 \le t \le \sqrt 2 $

$ \Rightarrow {t^2} = {\left| {\sin x – \cos x} \right|^2} = 1 – \sin 2x$

$ \Rightarrow \sin 2x = 1 – {t^2}$

Khi đó phương trình: $\left| {\sin x – \cos x} \right| + 4\sin 2x = 1\left( 1 \right)$

$ \Leftrightarrow 4{t^2} – t – 3 = 0$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = – \frac{3}{4}(loai)}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}
\end{array}$

Ví dụ 2. Giải phương trình: $2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin 2x + 1 = 0$

Giải

$\begin{array}{l}
2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin x\cos x + 1 = 0
\end{array}$

Đặt: $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

$ \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}\left( { – \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)$

Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}
2t + \left( {{t^2} – 1} \right) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {t^2} + 2t = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\left( {tm} \right)\\
t = – 2(loai)
\end{array} \right.
\end{array}$

Khi đó: 

$\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}$

Ví dụ 3. Giải phương trình: $\sin x\cos x=6\left( \sin x-\cos x-1 \right)$.

Giải

$\sin x\cos x=6\left( \sin x-\cos x-1 \right)$

Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{2}\left( -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \right)$

Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}
1 – {t^2} = 12\left( {t – 1} \right)\\
\Leftrightarrow {t^2} + 12t – 13 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\left( {tm} \right)\\
t = – 13\left( {{\rm{loai}}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vì vậy ${\sin x – \cos x = 1}$ ${ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$

 Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;x=\pi +k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Dạng 4. Phương trình chứa các biểu thức thuận nghịch

Dạng tổng quát:

Dạng 1. $A\left( {{f^2}\left( x \right) + \frac{{{k^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right) + B\left( {f\left( x \right) + \frac{k}{{f\left( x \right)}}} \right) + C = 0$ 

Với $f\left( x \right) = \sin x,\cos x$ (1).

Dạng 2. $A\left( {{a^2}{{\tan }^2}x + {b^2}{{\cot }^2}x} \right) + B\left( {a\tan x + b\cot x} \right) + C = 0$ (2).

Phương pháp giải:

  • Đối với phương trình (1): Đặt $t = f\left( x \right) + \frac{k}{{f\left( x \right)}}$.
  • Đối với phương trình (2): Đặt $t = a\tan x + b\cot x$.
Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.  Giải phương trình sau: $4\left( {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right) + 4\left( {\sin x + \frac{1}{{\sin x}}} \right) – 7 = 0$.

Giải

Điều kiện: $\sin x\ne 0$

Đặt $t=\sin x+\frac{1}{\sin x}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+2$

PT trở thành: $4\left( {{t}^{2}}-2 \right)+4t-7=0\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+4t-15=0\Leftrightarrow \left[ t=\frac{3}{2};t=-\frac{5}{2} \right.$

  • $\sin x+\frac{1}{\sin x}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x-3\sin x+2=0$ (vô nghiệm)
  • $\sin x+\frac{1}{\sin x}=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+5\sin x+2=0$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = – \frac{1}{2}\left( {tm} \right)\\
\sin x = – 2\left( {{\rm{loai}}} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$.

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: $\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + 2{\tan ^2}x + 5\left( {\tan x + \cot x} \right) + 4 = 0$.

Giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right.$

$PT\Leftrightarrow 2\left( {{\cot }^{2}}x+{{\tan }^{2}}x \right)+5\left( \tan x+\cot x \right)+6=0$

Đặt $t=\tan x+\cot x\Rightarrow {{t}^{2}}={{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+2\Rightarrow {{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x={{t}^{2}}-2$

PT trở thành: 

$\begin{array}{l}
2\left( {{t^2} – 2} \right) + 5t + 6 = 0\\
\Leftrightarrow 2{t^2} + 5t + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = – \frac{1}{2}\\
t = – 2
\end{array} \right.
\end{array}$

²$\tan x+\cot x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x+\tan x+2=0$ (vô nghiệm)

² $\tan x+\cot x=-2\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+2\tan x+1=0\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi $

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.

Bài tập: Giải phương trình: $\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + 3{\cot ^2}x + 4\left( {\tan x + \cot x} \right) – 1 = 0$

ĐS: $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$

B. Đổi biến loại 2

Trong một số bài toán, việc đặt ẩn phụ trực tiếp không hiệu quả. Vì vậy ta nghiên cứu phương pháp đổi biến sau đây.

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: $\left( {2m + 1} \right)\cos x + \left( {2m – 1} \right)\sin x – 2{m^2} – \frac{3}{2} = 0$

Giải

$\left( {2m + 1} \right)\cos x + \left( {2m – 1} \right)\sin x – 2{m^2} – \frac{3}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow 2{m^2} – 2\left( {\cos x + \sin x} \right)m + \frac{3}{2} + \left( {\sin x – \cos x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow f\left( m \right) = 4{m^2} – 4\left( {\cos x + \sin x} \right)m + 3 + 2\left( {\sin x – \cos x} \right) = 0$

$\Delta m’ = 4{\left( {\cos x + \sin x} \right)^2} – 12 – 8\left( {\sin x – \cos x} \right) = 4 + 8\sin x\cos x – 12 – 8\left( {\sin x – \cos x} \right)$

$ = 8\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x – 1} \right) \le 0$

$\begin{array}{l}
\Delta m’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = – 1\\
\cos x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( m \right) = 2{m^2} + 2m + \frac{1}{2}\\
f\left( m \right) = 2{m^2} – 2m + \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( m \right) = 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2}\\
f\left( m \right) = 2{\left( {m – \frac{1}{2}} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array}$

Với $m = – \frac{1}{2}$ thì $f\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi $

Với $m = \frac{1}{2}$ thì $f\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi $

Với $m \ne \pm \frac{1}{2}$ thì $f\left( m \right) = 0$ vô nghiệm.

C.  Đổi biến loại 3: Thay một phần biến cũ bằng biến mới

Ví dụ 1. Giải phương trình: $32{\cos ^6}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – \sin 6x = 1$.

Giải

Đặt: $t = x + \frac{\pi }{4} \Rightarrow 6x = 6t – \frac{{3\pi }}{2}$

Ta có: $32{\cos ^6}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – \sin 6x = 1$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 32{\left( {\frac{{1 + \cos 2t}}{2}} \right)^3} – \sin \left( {6t – \frac{{3\pi }}{2}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow 32{\left( {\frac{{1 + \cos 2t}}{2}} \right)^3} – \cos 6t = 1\\
\Leftrightarrow 4(1 + 3{\cos ^2}2t + 3\cos 2t + {\cos ^3}2t) – (4{\cos ^3}2t – 3\cos 2t) = 1\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^2}2t + 5\cos 2t + 1 = 0
\end{array}$

Đến đây ta đã đưa phương trình về bậc 2 đối với $cos 2x$.

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: ${\cos ^2}x = \cos \frac{{4x}}{3}$.

Giải

$\begin{array}{l}
{\cos ^2}x = \cos \frac{{4x}}{3}\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \cos \frac{{4x}}{3}\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 3.\frac{{2x}}{3}} \right) = \cos \frac{{4x}}{3}
\end{array}$

Đặt $t=\frac{2x}{3}$, phương trình trở thành: $\frac{1}{2}(1+\cos 3t)=\cos 2t$(dùng công thức nhân đôi, nhân ba khai triển để giải tiếp)

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

Bài tập 1: $8{{\cos }^{3}}\left( x+\frac{\pi }{3} \right)=c\text{os}3x$.

Đặt $t=x+\frac{\pi }{3}$

Bài tập 2. sin($\frac{3\pi }{10}-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}\sin (\frac{\pi }{10}+\frac{3x}{2})$.

Đặt t=\[\frac{3\pi }{10}-\frac{x}{2}\]

Bài tập 3. sin($\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4}$) – cos($\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}$) = $\sqrt{2}\cos \frac{3x}{2}$


Xem thêm:

Translate »
error: Content is protected !!