II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng: $a{t^2} + bt + c = 0$, trong đó: a $\ne 0$;a,b,c $\in R$,t = {sin, cos, tan, cot }.

Phương pháp: Đặt t = {sin, cos, tan, cot }.

Ví dụ minh họa

Giải các phương trình sau:

$a)2{\sin ^2}x – (2 + \sqrt 3 )\sin x + \sqrt 3 = 0$.

$b)\sqrt 3 {\tan ^2}x + (1 – \sqrt 3 )\tan x – 1 = 0$.

Giải

a) Do $a + b + c = 2 – \left( {2 + \sqrt 3 } \right) + \sqrt 3 = 0$.

ta có:

$\begin{array}{l} 2{\sin ^2}x – (2 + \sqrt 3 )\sin x + \sqrt 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = 1 = \sin \frac{\pi }{2}}\\ {\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin \frac{\pi }{3}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\ {x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\ {x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} \right. \end{array}$

b) Do $a + b + c = \sqrt 3 + 1 – \sqrt 3 – 1 = 0$, nên:

$\begin{array}{l} \sqrt 3 {\tan ^2}x + (1 – \sqrt 3 )\tan x – 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tan x = 1 = \tan \frac{\pi }{4}}\\ {\tan x = – \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \tan \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\ {x = – \frac{\pi }{6} + k\pi } \end{array}} \right. \end{array}$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: ${\cos ^2}x – 2\sin x + 2 = 0$

Giải

$\begin{array}{l} {\cos ^2}x – 2\sin x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow (1 – {\sin ^2}x) – 2\sin x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow – {\sin ^2}x – 2\sin x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = 1}\\ {\sin x = – 3(VN)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x = 1\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array}$

Ví dụ 3. Giải phương trình: ${\cos ^2}2x – 2\sin x\cos x + 1 = 0$.

Giải

$\begin{array}{l} {\cos ^2}2x – 2\sin x\cos x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (1 – {\sin ^2}2x) – \sin 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow – {\sin ^2}2x – \sin 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin 2x = 1}\\ {\sin 2x = – 2(VN)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array}$

Ví dụ 4. Giải phương trình sau: $3\cot x + \sqrt 3 \tan x – \left( {3 + \sqrt 3 } \right) = 0$.

Giải

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne k\pi }\\ {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}$

Với điều kiện trên, ta có:

$\begin{array}{l} pt \Leftrightarrow 3\cot x + \sqrt 3 \tan x – \left( {3 + \sqrt 3 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{\tan x}} + \sqrt 3 \tan x – \left( {3 + \sqrt 3 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\tan ^2}x – \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tan x = 1}\\ {\tan x = \frac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 } \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tan x = 1 = \tan \frac{\pi }{4}}\\ {\tan x = \sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{3}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\ {x = \frac{\pi }{3} + k\pi } \end{array}} \right. \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: ${x = \frac{\pi }{4} + k\pi }$;${x = \frac{\pi }{3} + k\pi }$.

Bài tập luyện tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

$\begin{array}{l}
a){\cos ^2}x – (2 + \sqrt 3 )\cos x + \sqrt 3 = 0.\
b){\sin ^2}2x – 2\sin x\cos x – 2 = 0.\
c)\sqrt 3 {\tan ^2}x – (1 + \sqrt 3 )\tan x + 1 = 0\
d)\cot x + \tan x = 2
\end{array}$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

$\begin{array}{l}
a)2{\cos ^4}x – 3{\cos ^2}x + 1 = 0.\
b){\sin ^2}x + (1 – \sqrt 3 )\sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0.
\end{array}$

————

Phần trước: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Phần tiếp theo: Phương trình thuần nhất bậc 1 đối với sin và cos.

Xem thêm:

Translate »
error: Content is protected !!