ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. Đạo hàm của hàm số y=sin x

Định lí:

Hàm số y=sin x có đạo hàm với mọi x thuộc R và $(sin x)’=cos x$.

Chứng minh

Cho x số gia $\Delta x$. Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {x + \Delta x} \right) – \sin \left( x \right)}}{{\Delta x}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)$

$ = 1.\cos x = \cos x$

Vậy : $(sin x)’=cos x$. (đpcm)

Mở rộng

Nếu $u=u(x)$ thì $(sin u)’=u’.cos u$.

Ví dụ:

+$\left[ {\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]’ $=$ \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)’.\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) $=$ 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$

+$\left[ {\sin \left( {\sin x} \right)} \right]’ $= $\left( {\sin x} \right)’.\cos \left( {\sin x} \right) $=$ \cos x\cos \left( {\sin x} \right)$

2. Đạo hàm của hàm số y=cos x

Định lý

Hàm số $y=cos x$ có đạo hàm với mọi x thuộc R và $(cos x)’=-sin x$.

Chứng minh

Áp đụng đạo hàm của y=sin x, ta có:

$\left( {\cos x} \right)’ = \left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} \right]’ $=$ \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)’.\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) $=$ – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = – \sin x$. (đpcm).

Mở rộng

Nếu $u=u(x)$ thì $(cos u)’=-u’.sin u$.

Ví dụ

+$\left[ {\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]’ $=$- \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)’.\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) $=$- 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$

+$\left[ {\cos \left( {\sin x} \right)} \right]’$ =$- \left( {\sin x} \right)’.\sin \left( {\sin x} \right)$ =$- \cos x\sin \left( {\sin x} \right)$

3. Đạo hàm của hàm số y=tan x

Định lí

Hàm số $y=tan x$ có đạo hàm với $\forall x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ và $\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.

Chứng minh

$\left( {\tan x} \right)’ $=$ \left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)’ $=$ \frac{{(\sin x)’\cos x – \sin x(\cos x)’}}{{{{\cos }^2}x}} $=$ \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} $=$ \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ (đpcm).

Mở rộng

Nếu $u=u(x)$ thì $\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}$.

Ví dụ

+ $\left[ {\tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]’ $=$ \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)’}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}} $=$ \frac{2}{{{{\cos }^2}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}$

4. Đạo hàm hàm số y=cot x

Định lí

Hàm số $y=cot x$ có đạo hàm $\forall x \ne k\pi $ và $\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.

Chứng minh

$(\cot x)’ = \left( {\tan \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} \right)’ $=$ \frac{{\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)’}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)}} $=$ \frac{{ – 1}}{{{{\sin }^2}x}}$

Mở rộng

Nếu $u=u(x)$ thì $(\cot u)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}$

Ví dụ

+ $(\cot 2x)’ = – \frac{{\left( {2x} \right)’}}{{{{\sin }^2}2x}} = – \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}$.

5. Bài tập luyện tập

Câu 1. Cho hàm số $y=\cos \left( \frac{2\pi }{3}+2x \right)$. Khi đó phương trình ${y}’=0$ có nghiệm là:

A. $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi $.   B. $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$.              C. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi $.  D. $x=-\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$.

Câu 2. Đạo hàm của hàm số $y=\sin \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)$ là ${y}’$ bằng

A. $-2\sin 2x$.                  B. $-\cos \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)$.                  C. $2\sin 2x$.            D. $\cos \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)$.

Câu 3. Hàm số $y=f\left( x \right)=\frac{2}{\cos \left( \pi x \right)}$ có $f’\left( 3 \right)$ bằng:

A. $2\pi $.                         B. $\frac{8\pi }{3}$.         C. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.  D. $0$.

Câu 4. Cho hàm số $y=\cos 3x.\sin 2x.$ Tính $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)$ bằng:

A. $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)=-1$.                        B. $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)=1$.       C. $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}$.                                D. $y’\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$.

Câu 5. Cho hàm số $y=\frac{\cos 2x}{1-\sin x}$. Tính $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)$ bằng:

A. $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)=1$.                          B. $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)=-1$.      C. $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{3}$.      D. $y’\left( \frac{\pi }{6} \right)=-\sqrt{3}$.

Câu 6. Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}$. Giá trị $f’\left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16} \right)$ bằng:

A. $0$.                               B. $\sqrt{2}$.                    C. $\frac{2}{\pi }$.           D. $\frac{2\sqrt{2}}{\pi }$.

Câu 7. Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\sqrt{\tan x+\cot x}$. Giá trị $f’\left( \frac{\pi }{4} \right)$ bằng:

A. $\sqrt{2}$.                    B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.    C. $0$.                               D. $\frac{1}{2}$.

Câu 8. Cho hàm số:

$y=f(x)=\left\{ \begin{align}
& \sin x\text{khi}x\ge 0 \\
& \sin \left( -x \right)\text{khi}x<0 \\ \end{align} \right.$.

Tìm khẳng định SAI?

A. Hàm số $f$ không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=0$.

B. Hàm số $f$ không liên tục tại ${{x}_{0}}=0$.

C. ${f}’\left( \frac{\pi }{2} \right)=0$.                          

D. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1$.

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số sau

$f(x)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}\sin \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\
& 0\text{ khi }x=0\text{ } \\
\end{align} \right.$

A. $f'(x)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}-x\cos \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\
& \text{0 khi }x=0 \\
\end{align} \right.$

B. $f'(x)=\left\{ \begin{align}
& 3{{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}-x\cos \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\
& 0\text{ khi }x=0 \\
\end{align} \right.$

C. $f'(x)=\left\{ \begin{align}
& 3{{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}+x\cos \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\
& 0\text{ khi }x=0 \\
\end{align} \right.$

D. $f'(x)=\left\{ \begin{align}
& 3{{x}^{2}}\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\text{ khi }x\ne 0 \\
& 0\text{ khi }x=0 \\
\end{align} \right.$

Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số sau $y=-\frac{\cos x}{3{{\sin }^{3}}x}+\frac{4}{3}\cot x$        

     A. $y’={{\cot }^{3}}x-1$  B. $y’=3{{\cot }^{4}}x-1$                                           C. $y’={{\cot }^{4}}x-1$     D. $y’={{\cot }^{4}}x$

————————————

Translate »
error: Content is protected !!