Hai mặt phẳng vuông góc

I. Lý thuyết

1.Góc gữa hai mặt phẳng

Định nghĩa 1:

Trong không gian cho đường thẳng a⊥(P) và đường thẳng b⊥(Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a,b. Kí hiệu: $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)}$.

Vậy: $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}$.

Hệ quả:

  • ${0^0} \le \widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} \le {90^0}$.
  • $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi (P)//(Q) hoặc (P)$ \equiv $(Q).
  • $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = {90^0} \Leftrightarrow (P) \bot \left( Q \right)$.

Định nghĩa 2.

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 900 .

2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cách 1. Phương pháp dùng định nghĩa

Cách 2. Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

\((P) ∩ (Q) = c\). Trong \((P)\) từ \(I ∈ c\) vẽ \(a’ ⊥ c\); trong \((Q)\) từ \(I\) vẽ \(b’ ⊥ c\). Góc giữa \(a’\) và \(b’\) là góc giữa \(mp(P)\) và \(mp(Q)\)

Chứng minh: Giả sử a⊥(P); b⊥(Q) =>$\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \left( {a,b} \right)$. Theo cách dựng, a⊥ (P)=>a⊥b’; b⊥(Q)=>b⊥a’. suy ra: $\widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a’,b’} \right)} = \varphi $ (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Vậy: $\widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = \widehat {\left( {a’,b’} \right)} = \varphi $.

3. Diện tích hình chiếu

Hình vẽ: Diện tích hình chiếu

Định lý: Cho đa giác (H) có diện tích S nằm trong mặt phẳng (Q) hợp với (P) một góc $\varphi $. Gọi (H’) là hình chiếu vuông góc của (H) trên (P) và (H’) có diện tích S’. Khi đó ta luôn có: $S’ = S.\cos \varphi $.

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lý:

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Hệ quả 1

Nếu hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng \(a\) nào nằm trong mặt phẳng \((P)\), vuông góc với giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\) đều vuông góc với mp \((Q)\).

Hệ quả 2

Nếu hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau và \(A\) là một điểm nằm trong \((P)\) thì đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \((Q)\) sẽ nằm trong \((P)\).

Hệ quả 3

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

5. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

  • Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc đáy.
  • Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
  • Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
  • Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

—————————

Xem thêm:

  • Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
  • Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng.
Translate »
error: Content is protected !!