Ứng dụng thực tế giới hạn dãy số vào các bài toán thực tế.

Ứng dụng giới hạn dãy số vào các bài toán thực tế.

Bài toán 1. Chu vi diện tích hình tròn

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2}\), C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4}\),… C­_n là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{2n}}\),… (h. 4.2). Gọi p_n là độ dài của C_n, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C­_n và đoạn thẳng AB.

a. Tính p_n và S_n.

b. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S­_n).

Giải

a) Ta có \({p_n} = {2^n}.\frac{R}{{{2^n}}}.\pi  = \pi R\) với mọi n

\({S_n} = {2^n}.{\left( {\frac{R}{{{2^n}}}} \right)^2}.\frac{\pi }{2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\frac{1}{{{2^n}}}\)

b) Ta có \(\lim {p_n} = \pi R;\lim {S_n} = 0\)

Bài toán 2. Bông tuyết Von Koch.

Ta bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H₁. Chia mỗi cạnh H₁ thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài H₁ rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H₂. Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc (Von Koch).

a. Gọi p₁, p₂, … , p_n, … là độ dài của H₁, H₂, … , H_n, … . Chứng minh rằng (p_n) là một cấp số nhân. Tìm \(\lim p_n\).

b. Gọi S_n là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc H_n. Tính S_n và tìm giới hạn của dãy số (S_n).

Hướng dẫn:

Số cạnh của H_n là 3.4ⁿ. Tìm độ dài mỗi cạnh của H_n, từ đó tính p_n.

Để tính S_n cần chú ý rằng muốn có H_n+1 chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của H_n.

Giải

Số cạnh của H_n là 3.4ⁿ.

Độ dài mỗi cạnh của H_n là \(\frac{a}{{{3^n}}}\)

Do đó độ dài của H­­_n là \({p_n} = {3.4^n}.\frac{a}{{{3^n}}} = 3a{\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\)

Vậy dãy số (p_n) là một cấp số nhân và \(\lim {p_n} =  + \infty \)

Diện tích tam giác ABC cạnh a là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(\begin{array}{l}
{S_1} – S = 3.\left( {\frac{S}{9}} \right) = \frac{S}{3}\\
{S_2} – {S_1} = 4.3.\left( {\frac{S}{{{9^2}}}} \right) = \frac{S}{3}.\left( {\frac{4}{9}} \right)\\
{S_3} – {S_2} = {4^2}.3.\left( {\frac{S}{{{9^3}}}} \right) = \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}
\end{array}\)

Bằng phương pháp qui nạp, ta được :

\({S_n} = {S_{n – 1}} = {4^{n – 1}}.3.\left( {\frac{S}{{{9^n}}}} \right) = \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^{n – 1}}\)

Cộng từng vế n đẳng thức trên, ta được:

\(\begin{array}{l}
{S_n} – S = \frac{S}{3} + \frac{S}{3}.\left( {\frac{4}{9}} \right) + \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}\\
 + … + \frac{S}{3}.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^{n – 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)
\end{array}\)

Vế phải của (1) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là \(\frac{S}{3}\)và công bội là \({\frac{4}{9}}\). Tổng của cấp số nhân này là:

\(\left( {\frac{S}{3}} \right).\frac{1}{{1 – \frac{4}{9}}} = \frac{{3S}}{5}\)

Do đó \(\lim \left( {{S_n} – S} \right) = \frac{{3S}}{5}\)

Suy ra \(\lim {S_n} = \frac{{3S}}{5} + S = \frac{{8S}}{5} = \frac{8}{5}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5}{a^2}\)

Bài toán 3. Chất phóng xạ

Có \(1 kg\) chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \(T = 24 000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (\(T\) được gọi là chu kì bán rã).

Gọi \((u_n)\) là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ \(n\).

a)Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\).

b)Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là \(0\).

c)Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}g\).

Giải

a)

Phương pháp giải:

Tính \(u_1;u_2;u_3;…\), từ quy luật đó dự đoán công thức của \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+) Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{2}\).

+) Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^2}\).

+) Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^3}\).

Do đó \(u_1=\dfrac{1}{2}\); \(u_2= \dfrac{1}{2^2}\); \(u_3=\dfrac{1}{2^3}\); … .

Từ đó ta dự đoán công thức \(u_n=\dfrac{1}{2^{n}}\) \(\forall n \ge 1\).

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.

Hiển nhiên công thức trên đúng với \(n=1\).

Giả sử công thức đúng với mọi \(k \ge 1\), tức là có \(u_k=\dfrac {1} {2^k}\), ta chứng minh công thức đó đúng với mọi \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(u_{k+1}=\dfrac {1} {2^{k+1}}\).

Ta có \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k}}}{2} = \dfrac{1}{{{2^k}}}:2 = \dfrac{1}{{{2^k}}}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{{2^{k + 1}}}}\)

Vậy \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}}\,\,\forall n \in {N^*}\).

b) \(\displaystyle \lim {u_n} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\).

c) Phương pháp giải:

Chất phóng xạ sẽ không còn độc hại nếu \({u_n} < {10^{ – 6}};\) tìm n.

Lời giải:

Đổi \(10^{-6}g = \dfrac{1}{10^{6}} . \dfrac{1}{10^{3}}kg = \dfrac{1}{10^{9}} kg\).

Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}} < \dfrac{1}{{{{10}^9}}} \Leftrightarrow {2^n} > {10^9} \Leftrightarrow n \ge 30\)

Nói cách khác, sau chu kì thứ \(30\) (nghĩa là sau \(30.24000 = 720000\) (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.

Bài toán 4. Chuột Mickey

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng \(1\). Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu \(1, 2, 3, …, n, …\) trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.

a) Gọi \(u_n\) là diện tích của hình vuông màu xám thứ \(n\). Tính \(u_1, u_2, u_3\) và \(u_n\).

b) Tính \(\lim S_n\)với \(S_n= {u_{1}} + {u_{2}} + {u_{3}} + … + {u_{n}}\)</p>

Giải

a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng \(\dfrac{1}{2}\) nên \({u_1} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\).

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng \(\dfrac{1}{4}\) nên \(\displaystyle{u_2} = {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} = {1 \over {{4^2}}}\).

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng \(\dfrac{1}{8}\) nên \(\displaystyle{u_3} = {\left( {{1 \over 8}} \right)^2} = {1 \over {{4^3}}}\)

Tương tự, ta có \(u_n=\dfrac{1}{4^{n}}\)

b) Dãy số \((u_n)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_1=\dfrac{1}{4}\) và \(q = \dfrac{1}{4}\). Do đó

\(\lim S_n=\dfrac{u_{1}}{1-q}= \dfrac{\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{3}\).

Bài toán 5. Xếp khối cầu

Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột

thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay

trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là     cm.

Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Chiều cao mô hình không quá 1,5 mét

B. Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét

C. Chiều cao mô hình dưới 2 mét

D. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.

Giải

Vậy chọn đáp án : C