Vi phân

Vi phân

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x ∈ (a;b). Giả sử ∆x là số gia của x sao cho x + ∆x ∈ (a;b). Tích $f'(x)∆x$ (hay $y’.∆x$) được gọi là vi phân của hàm số $y = f(x)$ tại x ứng với số gia ∆x, kí hiệu là $df(x)$ hay $dy$.

Chú ý: Vì $dx = ∆x$ nên $dy = df(x) = f'(x)dx$

Ví dụ:

Tìm vi phân của các hàm số sau:

a). $y=x^3 -5x+1$

b). $y=sin^3x$

Giải

a) $dy = d({x^3} – 5x + 1) = {({x^3} – 5x + 1)^\prime }dx = (3{x^2} – 5)dx.$

b) $dy = d(si{n^3}x) = {(si{n^3}x)^\prime }dx = 3si{n^2}xcosxdx$

2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có

$f'({x_0}) = \mathop {lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

Do đó với |∆x| đủ nhỏ thì

$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \approx f'({x_0})$ $ \Leftrightarrow \Delta y \approx f'({x_0}).\Delta x $ $\Leftrightarrow f({x_0} + \Delta x) – f({x_0}) \approx f'({x_0}).\Delta x $ $\Leftrightarrow ({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0}).\Delta x$

Đây là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.

Ví dụ:

Tính giá trị gần đúng của $\sqrt {3,99} $.

Giải

Đặt $f(x) = \sqrt x $, ta có $f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}$. Áp dụng công thức tính gần đúng, với $x_0=4$ và $\Delta x=-0,01$ ta có

$f(3,99) $=$ f(4 – 0,01) \approx f(4) + f'(4)( – 0,01) \approx \sqrt 4 + \frac{1}{{2\sqrt 4 }}( – 0,01)$ = $1,9975.$

3. Luyện tập

Câu 1: Tìm vi phân của hàm số $y = xsinx+cosx$

A. dy= xcosxdx

B. dy= xcosx

C. dy= (2sinx + xcosx)dx

D. dy= (sinx+cosx)dx

Câu 2: Tìm vi phân của hàm số $y = {[cos(1 – x)]^3}$

A. dy=- sin²(1-x)dx

B. dy= 3cos²(1-x).sin⁡(1-x)dx

C. dy=- 3cos²(1-x)sin⁡(1-x)dx

D. dy=3 cos²(1-x)dx

Câu 3: Tìm vi phân của hàm số $y = {\rm{ }}{\left( {2x + 1} \right)^5}$ .

A. dy=10(2x+1)⁴

B. dy=5(2x+1)⁴ dx

C. dy=(2x+1)⁴ dx

D. dy=10(2x+1)⁴ dx

Câu 5. Cho hàm số $y = {\sin ^2}2x$ . Vi phân của hàm số là:

A. dy = -sin2xdx

B. dy = sin2xdx

C. dy = sinxdx

D. dy = 2cos⁡dx

Câu 6.  Vi phân của hàm số $f(x) = 3{x^2} – x$ tại điểm x = 2 , ứng với $Δx = 0,1$ là:

A. -0,07            B. 10            C. 1,1            D. -0,4

Câu 7.  Hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}{x}$. Biểu thức $0,01.f’\left( {0,01} \right)$ là số nào?

A. 9                B. -9                C. 90                D. -90

Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số: $y = \sqrt {3x + 1} $

A. $dy = \frac{{3dx}}{{\sqrt {3x + 1} }}$

B. $dy = \frac{{3dx}}{{2\sqrt {3x + 1} }}$

C. $dy = \frac{{dx}}{{2\sqrt {3x + 1} }}$

D. $dy = \frac{{dx}}{{\sqrt {3x + 1} }}$

Câu 9. Tìm vi phân của các hàm số y = sin2x + sin³⁡x

A. dy = (cos2x + 3 sin²⁡x cosx)dx

B. dy = (2cos2x + 3 sin²⁡x cosx)dx

C. dy = (2cos2x + sin²⁡x cosx)dx

D. dy = (cos2x + sin²⁡x cosx)dx

Câu 10. Tìm vi phân của các hàm số y = (3x+1)¹⁰

A. dy = 10(3x+1)⁹ dx

B. dy = 30(3x+1)¹⁰ dx

C. dy = 9(3x+1)¹⁰ dx

D. dy = 30(3x+1)⁹ dx

——————————–