MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC TỪ $0^0$ đến $180^0$

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC TỪ 0⁰-180⁰

Dạng 1. Dấu của giá trị lượng giác

Phương pháp:

$ \alpha $	$0^0$	I	$90^0$	II	$180^0$
sin $ \alpha $	0	+	1	+	0
cos $ \alpha $	1	+	0	–	-1
tan $ \alpha $	0	+	||	–	0
cot $ \alpha $	||	+	0	+	||

Ví dụ

Ví dụ :   Cho $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ . Xác định dấu của giá trị lượng giác sau :

cos $\left( {\alpha – \frac{\pi }{2}} \right)$                     

Giải

$\begin{array}{l}
\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\\ \Rightarrow \pi - \frac{\pi }{2} < \alpha - \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{2} - \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \alpha - \frac{\pi }{2} < \pi \\ \Rightarrow - 1 < \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) < 0 \end{array}$

Lưu ý: $\pi = {180^0}$

Bài tập thực hành

Cho $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ . Xác định dấu của giá trị lượng giác sau :

a)  sin  $\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)$

 b)  tan $\left( {\frac{{3\pi }}{2} – \alpha } \right)$                    

c)  cot$\left( {\alpha + \pi } \right)$

DẠNG 2. Chứng minh các hằng đẳng thức lượng giác.

Ví dụ

Cho ${{{90}^0} < \alpha < {{180}^0}}$. CMR:

$\frac{{1 + {{\sin }^4}\alpha – {{\cos }^4}\alpha }}{{1 – {{\sin }^6}\alpha – {{\cos }^6}\alpha }} = \frac{2}{{3{{\cos }^2}\alpha }}$

Giải

Do: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}
{VT = \frac{{1 + \left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 – \left( {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^3} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^3}} \right)}}}\\
\begin{array}{l}
= \frac{{1 + \left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 – \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha – {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)}}\\
= = \frac{{1 – {{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 – \left[ {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} – 3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right]}}
\end{array}\\
{ = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 – \left( {1 – 3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right)}}}\\
{ = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}}\\
{ = \frac{2}{{3{{\cos }^2}\alpha }} = VP}
\end{array}$

Ví dụ 2

 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\).

Giải 
Ta có: $B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)$

$ =2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)$

$=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)$

$=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)$

$=-1$

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x

Dạng 3. Tính giá trị biểu thức lượng giác

Ví dụ

Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{{11tan\alpha – 5cot\alpha }}{{34tan\alpha + 2cot\alpha }}$   biết \(sin\alpha=\frac{1}{4}\).

Giải 
Ta có: $A = \frac{{11tan\alpha – 5cot\alpha }}{{34tan\alpha + 2cot\alpha }}$

$ = \frac{{11\frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} – 5\frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}}}{{34\frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} + 2\frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}}}$

$ = \frac{{11si{n^2}\alpha – 5co{s^2}\alpha }}{{34si{n^2}\alpha + 2co{s^2}\alpha }}$

$ = \frac{{16si{n^2}\alpha – 5}}{{36si{n^2}\alpha + 2}}$$ = \frac{{16.{{(0,25)}^2} – 5}}{{32.{{(0,25)}^2} + 2}} = – 1$

Bài tập thực hành

Bài 1. Áp dụng công thức lượng giác cơ bản. CMR:                                                                         

     $a)\text{ }{{\left( sinx\text{ }+\text{ }cosx \right)}^{2}}=\text{ }1\text{ }+\text{ }2sinx.cosx$

      $b)\text{ }{{\left( sinx\text{ }\text{ }cosx \right)}^{2}}=\text{ }1\text{ }\text{ }2sinx.cosx$

     $c)\text{ }si{{n}^{4}}x\text{ }+\text{ }co{{s}^{4}}x\text{ }=\text{ }1\text{ }\text{ }2si{{n}^{2}}x\text{ }co{{s}^{2}}x$

      $d)\text{ }sinxcosx\left( 1\text{ }+\text{ }\tan x \right)\left( 1\text{ }+\text{ }cotx \right)\text{ }=\text{ }1\text{ }+\text{ }2sinx\text{ }.\text{ }cosx$ .

Bài 2.  Áp dụng công thức lượng giác cơ bản. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)   $\frac{1}{1+\tan \alpha }+\frac{1}{1+\cot \alpha }=1$

b) $si{{n}^{4}}x\text{ }\text{ }co{{s}^{4}}x\text{ }=\text{ }2si{{n}^{2}}x\text{ }\text{ }1$

c)  $\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\tan }^{2}}x\text{ }+\text{ }co{{t}^{2}}x\text{ }+\text{ }2$

d)  $\frac{1+{{\sin }^{2}}\alpha }{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=1+2{{\tan }^{2}}\alpha $

e)  $co{{s}^{2}}\alpha \text{ }\text{ }co{{s}^{2}}b=\text{ }si{{n}^{2}}b-\text{ }si{{n}^{2}}\alpha \text{ }=\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }+\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\beta }$.

DẠNG 3. Cho một giá trị LG, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Ví dụ

Biết rằng  ${{{90}^0} < \alpha < {{180}^0}}$ và sinα = 0,6. Tính cosα và tanα.

Giải

Do: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

$ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 – {\sin ^2}\alpha = 1 – {(0,6)^2} = 0,64$

$ \Rightarrow \cos \alpha = \pm 0,8$

Do: ${90^0} < \alpha < {180^0}$

$ \Rightarrow \cos \alpha = – 0,8$

*$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = \frac{2}{3}$

Bài tập thực hành

Bài 1. Tính

1. Biết rằng $\left( {{90}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}} \right)$và sinα = 0,6. Tính cosα và tanα.
2. Biết rằng $\left( {{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}} \right)$cosα = 0,7. Tính sinα và tanα.
3. Biết rằng $\left( {{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}} \right)$ và tanα = 0,8. Tính sinα và cosα.
4. Biết $\left( {{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}} \right)$và $cosx\text{ }=\frac{1}{2}$, tính $P\text{ }=\text{ }3si{{n}^{2}}x\text{ }+\text{ }4co{{s}^{2}}x$ .
5. Cho góc nhọn b mà $sinb=\frac{1}{4}$. Tính cosb và tanb.
6. Cho góc α, $\left( {{90}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}} \right)$và $cos\alpha \text{ }=\text{ }-\frac{1}{3}$. Tính sinα, tanα và cotα .
7. Cho${{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}}$ $\tan x\text{ }=2\sqrt{2}$. Tính sinx và cosx.

Bài 2. Cho ${{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}}$. Hãy tính sinα, tanα nếu:           

a)  $\cos \alpha =\frac{12}{13}$                      b)  $\cos \alpha =\frac{3}{5}$

Bài 3.  Biết rằng $sin\text{ }{{15}^{o}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Tính tỉ số lượng giác của góc 15^o .

Bài 4. Cho ${{90}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}}$ và $tan\text{ }a=\text{ }-2$. Tính:

$A=\frac{2\sin a+5\cos a}{4\cos a-3\sin a}$      

$B=\frac{3{{\sin }^{2}}a-4{{\cos }^{2}}a}{5{{\cos }^{2}}a+3{{\sin }^{2}}a}$

$D=\frac{3\sin a-4{{\cos }^{2}}a}{\cos a+5{{\sin }^{2}}a}$  

$E=\frac{2{{\sin }^{2}}a-3\cos a}{5{{\cos }^{2}}a+\sin a}$

DẠNG 4.  Rút gọn biểu thức

Ví dụ:

Cho ${0^0} < \alpha < {180^0}$. $CMR:\frac{{1 + {{\sin }^4}\alpha – {{\cos }^4}\alpha }}{{1 – {{\sin }^4}\alpha – {{\cos }^4}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha $

Giải

$\begin{array}{l}
VT = \frac{{1 + \left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 – \left( {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^4} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^4}} \right)}}\\
= \frac{{1 + \left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 – \left( {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) – 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right)}}\\
= \frac{{{{\sin }^2}\alpha + (1 – {{\cos }^2}\alpha )}}{{1 – \left( {1 – 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right)}}\\
= \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = VP
\end{array}$

Chú ý: Ta có thể chứng minh hai vế cùng bằng biểu thức thứ 3.

Bài tập thực hành

Bài 1.Tính

  a) $A=co{{s}^{2}}{{12}^{o}}+\text{ }co{{s}^{2}}{{78}^{o}}+\text{ }co{{s}^{2}}{{1}^{o}}+\text{ }co{{s}^{2}}{{89}^{o}}$

b) $B=si{{n}^{2}}{{3}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{15}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{75}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{87}^{o}}$ .

Bài 2. Tính

$A={{\sin }^{2}}{{30}^{0}}+{{\cos }^{2}}{{60}^{0}}$                       

`$B=\tan {{30}^{0}}\cot {{12}^{0}}+2\sin {{135}^{0}}-3\cos {{45}^{0}}+2\sin {{75}^{0}}$

$ P=si{{n}^{2}}{{10}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{20}^{o}}+~si{{n}^{2}}{{30}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{80}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{70}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{60}^{o}}$

Bài 3. Cho ${{90}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}}$. Đơn giản các biểu thức:

$A=si{{n}^{6}}x\text{ }+\text{ }3si{{n}^{4}}x.co{{s}^{2}}x\text{ }+\text{ }3si{{n}^{2}}x.co{{s}^{4}}x\text{ }+\text{ }co{{s}^{6}}x$.

$M=\left( 1\text{ }+\text{ }cos\alpha  \right)\left( 1\text{ }\text{ }cos\alpha  \right)\text{ }\text{ }si{{n}^{2}}\alpha $ với ${{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}}$.

$P\text{ }=\text{ }cosy\text{ }+\text{ }siny.\tan y$

$Q=\sqrt{1+\cos b}\sqrt{1-\cos b}$

$D=\sin a\sqrt{1+{{\tan }^{2}}a}$ 

$E\text{ }=\text{ }sin\left( {{90}^{o}}\text{ }x \right)sin\left( {{180}^{o}}\text{ }x \right)$

$F=\text{ }cos\left( {{90}^{o}}\text{ }x \right)cos\left( {{180}^{o}}\text{ }x \right)$

DẠNG 5. TÌM GTLN-NN CỦA BIỂU THỨC

Ví dụ:

Cho ${0^0} < \alpha < {180^0}$. Tìm GTLN-NN của biểu thức:

$P = \sqrt {1 – 3{{\cos }^2}\alpha } $

Giải

Do:
$\begin{array}{l}
{0^0} \le \alpha \le {180^0}\\
\Rightarrow 0 \le {\cos ^2}\alpha \le 1\\
\Leftrightarrow 0 \le 3{\cos ^2}\alpha \le 3\\
\Leftrightarrow 1 \le 1 + 3{\cos ^2}\alpha \le 4\\
\Leftrightarrow 1 \le \sqrt {1 + 3{{\cos }^2}\alpha } \le 2\\
\Leftrightarrow 1 \le P \le 2
\end{array}$

$\begin{array}{l}
*P = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = {90^0}\\
*P = 2 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \pm 1 \Rightarrow \alpha = {90^0};\alpha = {180^0}
\end{array}$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\mathop {MaxP}\limits_{{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} = 2 \Leftrightarrow \alpha = {0^0};\alpha = {{180}^0}}\\
{\mathop {MinP}\limits_{{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} = 1 \Leftrightarrow \alpha = {{90}^0}\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}}
\end{array}}
\end{array}} \right.$

Bài tập thực hành

Bài 1. Tìm Max, min của: $A=3{{\sin }^{2}}a+5{{\cos }^{2}}a+1;\left( {{0}^{0}}\le a\le {{180}^{0}} \right)$            

Bài 2. Tìm Max, min của: $b=\sqrt{1+3{{\cos }^{2}}a};\left( {{0}^{0}}\le a\le {{180}^{0}} \right)$

DẠNG 6. SO SÁNH

Ví dụ:

So sánh $\cos {99^0}1’$ và $\sin {1^0}59’$

Giải

Ta có: ${180^0} < {99^0}1′ < {90^0} = > \cos {99^0}1′ < 0$

Tương tự: ${0^0} < {1^0}59′ < {90^0} \Rightarrow \sin {1^0}59′ > 0$

$ \Rightarrow \sin {1^0}59′ > \cos {99^0}1’$

Bài tập thực hành

1. $tan\text{ }{{36}^{0}}1’$ và $tan\text{ }{{36}^{0}}2’$                                           

2. $\text{cot 9}{{\text{9}}^{0}}1’$  và $\text{cot }{{99}^{0}}2’$

3.$\sin {{58}^{0}}32’15.16”$ và $\sin {{58}^{0}}32’16.16”$                   

4. $\cos {{58}^{0}}32’15.16”$và $\cos {{58}^{0}}32’17.16”$

——————–