BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình dạng $a{{x}^{2}}+bx+c<0$ ( hoặc $a{{x}^{2}}+bx+c\le 0$, $a{{x}^{2}}+bx+c>0$, $a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0$), trong đó $a,\,b,\,c$ là những số thực đã cho, $a\ne 0$.

2. Các dạng bất phương trình bậc hai

Dạng 1. $a{{x}^{2}}+bx+c>0$ là tìm các khoảng mà trong đó $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có dấu dương.

Dạng 2. $a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0$ là tìm các khoảng mà trong đó $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có dấu không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).

Dạng 3. $a{{x}^{2}}+bx+c<0$ là tìm các khoảng mà trong đó $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có dấu âm.

Dạng 4. $a{{x}^{2}}+bx+c\le 0$ là tìm các khoảng mà trong đó $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có dấu không dương (bé hơn hoặc bằng 0).

3. Phương pháp giải

3.1. Phương pháp lập bảng

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình bậc hai: ${{x}^{2}}-1\ge 0$

Lời giải

Dễ thấy $f\left( x \right)={{x}^{2}}-1$ có ${\Delta }’=1>0,a=1>0$ và có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=-1;\,{{x}_{2}}=1$.

Do đó ta có bảng xét dấu $f\left( x \right)$:

Nên bất phương trình ${{x}^{2}}-1\ge 0$ có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)$.

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình bậc hai: ${{x}^{2}}-2x-1<0$

Lời giải

Dễ thấy $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1$ có ${\Delta }’=2>0,a=1>0$ và có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=1-\sqrt{2};\,$ ${{x}_{2}}=1+\sqrt{2}$.

Do đó ta có bảng xét dấu $g\left( x \right)$:

Nên bất phương trình ${{x}^{2}}-2x-1<0$ có tập nghiệm là $S=\left( 1-\sqrt{2};1+\sqrt{2} \right)$.

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình bậc hai: $-3{{x}^{2}}+12x+1\le 0$

Lời giải

Dễ thấy $h\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x+1$ có ${\Delta }’=39>0,a=-3<0$ và có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=\frac{6+\sqrt{39}}{3};\,$ ${{x}_{2}}=\frac{6-\sqrt{39}}{3}$.

Do đó ta có bảng xét dấu $h\left( x \right)$:

Nên bất phương trình $-3{{x}^{2}}+12x+1\le 0$ có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;\frac{6-\sqrt{39}}{3} \right)\cup \left( \frac{6+\sqrt{39}}{3};+\infty  \right)$.

3.2. Phương pháp dấu tam thức bậc 2

Ví dụ 4. Giải các bất phương trình bậc hai:  $5{{x}^{2}}+x+1\ge 0$

Lời giải

$k\left( x \right)=5{{x}^{2}}+x+1$ có $\Delta =-19<0$ và $a=5>0$ nên $k\left( x \right)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Từ đó suy ra bất phương trình $5{{x}^{2}}+x+1\ge 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

Ví dụ 4.1. Giải các bất phương trình sau: $-3{{x}^{2}}+2x+1<0$

Lời giải

Tam thức $f(x)=-3{{x}^{2}}+2x+1$ có $a=-3<0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-\frac{1}{3};$ ${{x}_{2}}=1$

($f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$).

Suy ra $-3{{x}^{2}}+2x+1<0\Leftrightarrow x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S=(-\infty ;-\frac{1}{3})\cup (1;+\infty )$.

3.3. Phương pháp Hằng đẳng thức

Ví dụ 5:

Giải các bất phương trình bậc hai:  ${{x}^{2}}+2x+1\le 0$

Lời giải

Ta có: ${{x}^{2}}+2x+1\le 0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow x=-1$

3.4. Phương pháp a -delta

Ví dụ 6.

Giải các bất phương trình bậc hai:$-{{x}^{2}}+x-1>0$

Lời giải

có $\Delta =-3<0$ và $a=-1<0$ nên $k\left( x \right)=-{{x}^{2}}+x-1<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$Suy ra bất phương trình Vô nghiệm.

Ví dụ 7.

Giải bất phương trình sau: $-36{{x}^{2}}+12x-1\ge 0$

Lời giải

Tam thức $f\left( x \right)=-36{{x}^{2}}+12x-1$ có $a=-36<0$ và $\Delta =0$

$f(x)$ trái dấu với hệ số $a$ nên $f\left( x \right)$ âm với $\forall x\ne \frac{1}{6}$ và $f\left( \frac{1}{6} \right)=0$

Suy ra $-36{{x}^{2}}+12x-1\ge 0\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left\{ \frac{1}{6} \right\}$.

3.5. Phương pháp đồ thị hàm số bậc 2

Ví dụ 8.

Cho parabol (P) : $y=f(x)$có đồ thị ( hình dưới). Tìm x sao cho $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\ge 0.$

Lời giải

$\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\ge 0$ tương ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục 0x.

Do vậy nghiệm của bất phương trình là: $\left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 3;+\infty  \right)$.

4. Ứng dụng bất phương trình bậc hai

Ví dụ 1.

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao $320\,m$ với vận tốc ban đầu${{v}_{0}}=20\,m/s$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá $100\,m$? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Lời giải

Với $g=10m/{{s}^{2}}$ ta có phương trình chuyển động $h\left( t \right)=5{{t}^{2}}+20t-320$.

Vật cách mặt đất không quá $100\,m$, tức là $-100<h\left( t \right)=5{{t}^{2}}+20t-320<0$.

Sử dụng MTCT ta được $-2+4\sqrt{3}<t<-2+2\sqrt{17}$.

Ví dụ 2.

Xét đường tròn đường kính $AB=4$ và một điểm $M$ di chuyển trên đoạn \[AB\], đặt $AM=x$(H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính $AM$ và $MB$. Kí hiệu $S\left( x \right)$ là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của $x$ để diện tích $S\left( x \right)$ không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Lời giải

Ta có ${{S}_{\left( O;AB \right)}}=\frac{\pi }{4}A{{B}^{2}}$ ; ${{S}_{\left( {{O}_{1}};AM \right)}}=\frac{\pi }{4}{{x}^{2}}$ ; ${{S}_{\left( {{O}_{2}};MB \right)}}=\frac{\pi }{4}{{\left( 4-x \right)}^{2}}$ ;

$\begin{array}{l} {S_x} = {S_{\left( {O;AB} \right)}} – {S_{\left( {{O_1};AM} \right)}} – {S_{\left( {{O_2};MB} \right)}}\\ \,\,\,\,\,\, = \frac{\pi }{4}\left( {A{B^2} – {x^2} – {{\left( {4 – x} \right)}^2}} \right)\\ \,\,\,\,\,\, = \frac{\pi }{4}\left( { – 2{x^2} + 8x} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} {S_x} \le \frac{1}{2}\left( {{S_{\left( {{O_1};AM} \right)}} + {S_{\left( {{O_2};MB} \right)}}} \right)\\ \Rightarrow \frac{\pi }{4}\left( { – 2{x^2} + 8x} \right) \le \frac{1}{2}.\frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + \left( {4 – {x^2}} \right)} \right)\\ \Rightarrow 3{x^2} – 12x + 8 \ge 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x \le \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}\\ \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3} \le x < 4 \end{array} \right. \end{array}$

Ví dụ 3.

Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông ( hình vẽ ). Để đảm bảo kỹ thuật diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng $120 cm^2$. Rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?

Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán dẫn đến giải bất phương trình: $-2{{x}^{2}}+32x-120\ge 0\Leftrightarrow 6\le x\le 10$

Vậy ${{x}_{\min }}=6$.

Ví dụ 4.

Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như sau: Trong mặt phẳng $Oxy$, khẩu đại bác được biểu thị bằng điểm $O(0;0)$và bia mục tiêu được biểu thị bằng đoạn thẳng $MN$với $M(2100;25)$ và $N(2100;15)$(hình 29). Xạ thủ cần xác định parabol $y=-{{a}^{2}}{{x}^{2}}+10ax(a>0)$ mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn sao cho viên đạn bắn ra từ khẩu đại bác phải chạm vào bia mục tiêu. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ để xạ thủ đạt được mục đích trên?

Hướng dẫn giải

Giá trị lớn nhất của $a$bằng $\frac{1}{420}+\frac{\sqrt{10}}{2100}$

Ví dụ 5.

Tổng chi phí $T$ ( đơn vị tính: ngìn đồng) để sản xuất $Q$sản phẩm được cho bởi biểu thức $T={{Q}^{2}}+30Q+3300$; giá bán của một sản phẩm là $170$nghìn đồng. Số sản phẩm được sản xuất trong khoảng nào để đảm bảo không bị lỗ ( giả thiết các sản phẩm được bán hết ).

Hướng dẫn giải

YCBT đưa đến giải bất phương trình:${{Q}^{2}}+30Q+3300\le 170Q$ vậy $30\le Q\le 110$.

5. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn ?

A. $10x+2>0$.      

B. ${{x}^{2}}-2x-10=0$.           

C. $-{{x}^{2}}-2x<0$.             

D. $-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+1\ge 0$.

Câu 2: Bất phương trình nào sau đây không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn?

A. ${{x}^{2}}+20\le 0$.      

B. ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-10<0$.           

C. $-{{x}^{2}}+x>0$.             

D. $-{{x}^{2}}+2x+1\ge 0$.

Câu 3: Cho bất phương trình ${{x}^{2}}-4x+2<0$(1). Giá trị nào sau đây của $x$không là nghiệm của bất phương trình (1)?

A. $x=3$.                           

B. $x=2$.                     

C. $x=0$.                                  

D. $x=1$.

Câu 4: Cho bất phương trình $-2{{x}^{2}}-x+3\ge 0$(2). Giá trị nào sau đây của $x$ là một nghiệm của bất phương trình (2)?

A. $x=3$.                                  

B. $x=2$.                     

C. $x=-3$.                  

D. $x=1$.

————————


0 Bình luận

Trả lời

Avatar placeholder
error: Content is protected !!