Các phép toán lôgic cơ bản

Để thuận tiện trong nghiên cứu mệnh đề, ta quy ước như sau:

• Nếu mệnh đề logic có giá trị đúng, kí hiệu là 1 hoặc G(a)=1
• Nếu mệnh đề logic có giá trị sai, kí hiệu là 0 hoặc G(a)=0

1.Phép phủ định

a) Mệnh đề phủ định: Mệnh đề phủ định của mệnh đề a là mệnh đề có giá trị đối lập với mệnh đề a, kí hiệu là $\overline a $.

b) Phủ định mệnh đề a là lập một mệnh đề $\overline a $.  $\overline a$ đúng khi a sai và $\overline a $ sai khi a đúng.

c) Phủ định của phủ định: $\overline{\overline a} = a$

Ví dụ 1:

Nếu a = “Paris là thủ đô của nước Pháp” thì mệnh đề phủ định $\overline a $ có thể diễn đạt như sau:

• $\overline a $ = “Không phải Paris là thủ đô của nước Pháp”
• hoặc $\overline a $ = “Paris không phải là thủ đô của nước Pháp”.
• $\overline{\overline a} $=” Pari không thể không là thủ đô của nước Pháp”.

Ví dụ 2:

Nếu b = “15 lớn hơn 30” thì mệnh đề phủ định $\overline b $ có thể diễn đạt như sau:

• $\overline b $ = “Không phải 15 lớn hơn 30”
• hoặc $\overline b $= “15 không lớn hơn 30”
• hoặc $\overline b $ = “15 nhỏ hơn hoặc bằng 30”
• $\overline{\overline b} $=” số 15 không thể không nhỏ hơn 30″.

Ở đây G(b) = 0 còn G($\overline b $) = 1, G($\overline{\overline b} $)=0.

Ví dụ 3:

Nếu c = “Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ” thì mệnh đề phủ định $\overline c $ có thể diễn đạt như sau:

$\overline c $ = “Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ”.

$\overline{\overline c} $=” Chuyến tàu TN1 hôm nay không thể không bãi bỏ”.

Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định $\overline c $ sẽ sai (hoặc đúng).

Chú ý: Mệnh đề phủ định a thường được diễn đạt là “không phải a”.

2.Phép hội

Khái niệm: Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề c có dạng:” a và b”, đọc là a và b, ký hiệu c=a Λ b (hoặc c=a.b).

Tính chất: c đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng; sai trong các trường hợp còn lại.

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “và” hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là:  đồng thời,… 

Ví dụ 1:

a = “Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội”

b = “Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh”

c=a Λ b=”Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh” .

Vì hai mệnh đề này không thể cùng đúng, nên G(a Λ b) = 0.

Ví dụ 2:

• a=”6 chia hết cho 2″
• b=” 6 chia hết cho 3″.
• c=a Λ b=” 6 chia hết cho 2 và 3″

Ví dụ 3:

• a = “ABC là tam giác vuông”
• b = “ABC là tam giác cân”.
• c=a Λ b=”ABC là tam giác vuông cân”.

3.Phép tuyển

Khái niệm:Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề c có dạng: “a hoặc b”. đọc là a hoặc b, ký hiệu là c=a ν b.

Tính chất: c sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại.

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “hoặc“ (hay liên từ khác cùng loại).

Ví dụ 1:

• a=”3 nhỏ hơn 4″
• b=”3 bằng 4″.
• c=a ν b=” 3 nhỏ hơn hoặc bằng 4″ ← là mệnh đề đúng

Ví dụ 2:

• d=”Số lẻ”
• e=” số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 ,9″
• f=d ν e =” số lẻ hoặc số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 ,9″   ← là mệnh đề đúng

Ví dụ 3:

• a=”20 là số lẻ”
• b=”số 20 chia hết cho 3″
• c=a ν b=”số 20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3″ ← là mệnh đề sai

Chú ý: Phép tuyển “a hoặc b” là để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b.

4.Phép kéo theo

Khái niệm: a kéo theo b là một mệnh đề có dạng:  “Nếu a thì b”. kí hiệu a=>b.

Tính chất: Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi a đúng và b sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: “Nếu a thì b”; “Từ a suy ra b”.

Ví dụ:

• “15 có chữ số tận cùng bằng 5 suy ra 15 chia hết cho 5”   ← mệnh đề đúng.
• “Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng”   ← mệnh đề đúng.

Điều kiện cần: “b là điều kiện cần (ắt có) để có a”
Điều kiện đủ: “a là điều kiện đủ để có b”

Chú ý:  Theo bảng chân lý trên, ta thấy:

• Nếu a sai thì a=>b luôn đúng.
• Nếu a đúng thì a => b đúng khi b đúng.

5.Phép tương đương

Khái niệm: a tương đương b là một mệnh đề có dạng: a khi và chỉ khi b, ký hiệu là a  b.

Tính chất:  a<=>b đúng, nếu cả hai mệnh đề a và b cùng đúng hoặc cùng sai.

Chú ý:

1. Trong thực tế, mệnh đề “a tương đương b” thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn:

Ví dụ 1:

•    A=”6 chia hết cho 2 tương đương Trái Đất quay quanh mặt trời” là mệnh đề tương đương.

   Do    a=”6 chia hết cho 2″ là mệnh đề đúng

           b= ” Trái đất quay quanh mặt trời” là mệnh đề đúng

     => A=a<=>b  nhận giá trị đúng.

Ví dụ 2:

• “3 chia hết cho 2 nếu và chỉ nếu 3 là số chẵn” là mệnh đề tương đương có giá trị Đúng.
• “Số chẵn chia hết cho 2 khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là mệnh đề tương đương có giá trị Sai.
• ” Số 6 chia hết cho 5 khi và chỉ khi 2 là số nguyên tố” là mệnh đề tương đương có giá trị Sai.

——————————————–