Bài toán thực tiễn của cấp số nhân lùi vô hạn.

Bài toán thực tiễn của cấp số nhân lùi vô hạn.

A. Kiến thức cốt lõi

1. Cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa: Cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn nếu số hạng đầu ${u_1} \ne 0$ và công bội q với $\left| q \right| < 1$.

2. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Định lý: Cho cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng đầu ${u_1} \ne 0$ và công bội q với $\left| q \right| < 1$. Gọi $S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + …$. Ta luôn có: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$

Chứng minh

Theo giả thiết: ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_n}$ $ = {u_1}\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$.

Xét: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_1}\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$ $ = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}.\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } \left( {1 – {q^n}} \right)$ $ = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$. Vì $\left| q \right| < 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n}$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 – {q^n}} \right) = 1$ (đpcm).

B. Bài tập vận dụng

Dạng 1. Tìm số hữu tỉ biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 1. Tìm số hữu tỉ biểu diễn số $0,111111….$ chu kỳ (1).

Giải

Ta biểu diễn: $a = \underbrace {\underbrace {\underbrace {0,1}_{{u_1}}1}_{{u_2}}1}_{{u_3}}…. = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + …$

Như vậy $a$ là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết:

• Số hạng đầu: ${u_1} = \frac{1}{{10}}$.
• Công bội: $q = \frac{1}{{10}}$

Do vậy: $a = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$ $ = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{1 – \frac{1}{{10}}}}$ $ = \frac{1}{9}$.

Vậy: $a = \frac{1}{9}$.

Ví dụ 2.  Tìm số hữu tỉ biểu diễn số $8,020202….$ chu kỳ (02).

Giải

Ta biểu diễn: $b = 8,020202…$ $ = 8 + \underbrace {\underbrace {\underbrace {0,02}_{{u_1}}02}_{{u_2}}02}_{{u_3}}….$ $ = 8 + \frac{2}{{100}} + \frac{2}{{{{100}^2}}} + \frac{2}{{{{100}^3}}} + …$

Xét $S = \frac{2}{{100}} + \frac{2}{{{{100}^2}}} + \frac{2}{{{{100}^3}}} + …$

Suy ra:$S$ là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết:

• Số hạng đầu: ${u_1} = \frac{2}{{100}}$.
• Công bội: $q = \frac{1}{{100}}$

Do vậy: $s = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$ $ = \frac{{\frac{2}{{100}}}}{{1 – \frac{1}{{100}}}}$ $ = \frac{1}{33}$.

Vậy: $b =8+\frac{1}{33}= \frac{265}{33}$.

Lưu ý: Nếu thực hiện tách:

$b = 8,020202… = 6 + \underbrace 2_{{u_1}} + \underbrace {\frac{2}{{100}}}_{{u_2}} + \underbrace {\frac{2}{{{{100}^2}}}}_{{u_3}} + …$

Với số hạng đầu: ${u_1} = 2$; công bội $q = \frac{1}{{100}}$.

Phương pháp này sẽ dễ gặp phải sai lầm khi tách số âm, ví dụ:

Đây là một trong những sai lầm: $b = – 8,020202…$ $ = – 10 + \underbrace 2_{{u_1}} + \underbrace {\frac{2}{{100}}}_{{u_2}} + \underbrace {\frac{2}{{{{100}^2}}}}_{{u_3}} + …$

Dạng 2. Các bài toán ứng dụng thực tế

Bài 1. Cho hình vuông ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích ${S_1}$ Nối bốn trung điểm ${A_2},{B_2},{C_2},{D_2}$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích ${{S}_{2}}.$ Tiếp tục như thế, ta được hình vuông ${{A}_{3}}{{B}_{3}}{{C}_{3}}{{D}_{3}}$ có diện tích ${{S}_{3}},…$. Tính tổng ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+…$ bằng

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

Có ${S_1};{S_2};{S_3};…$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

• Số hạng đầu: ${S_1} = {a^2}$
• Công bội: $q = \frac{1}{2}$

Do đó: $S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + …$ $ = \frac{{{S_1}}}{{1 – q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 – \frac{1}{2}}} = 2{a^2}$

Vậy chọn đáp án B.

Bài 2. Cho hình vuông ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích ${S_1}$.  Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông${{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}$  và có diện tích ${S_2}.$ (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông. Gọi ${{S}_{i}}$ là diện tích của các hình vuông $(i=1,2,…).$ Tìm $a$ biết ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+…=\frac{32}{3}.$

Hướng dẫn giải

Áp dụng Pitago để tính các cạnh hình vuông và diện tích tương ứng ta có bảng sau:

Có ${S_1};{S_2};{S_3};…$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

• Số hạng đầu: ${S_1} = {a^2}$
• Công bội: $q = \frac{10}{16}$

Do đó: $S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + …$ $ = \frac{{{S_1}}}{{1 – q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 – \frac{10}{16}}} $ $\frac{{8{a^2}}}{3}$

Theo giả thiết: $S = \frac{{32}}{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3}$ $ \Leftrightarrow a = 2$.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 3. Cho một tam giác đều A₁B₁C₁ có cạnh bằng $a$ và có diện tích ${{S}_{1}}.$ Nối các trung điểm các cạnh được tam giác đều A₂B₂C₂  và có diện tích ${{S}_{2}}.$ (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các tam giác đều.  Tìm $a$ biết $S = {S_1} + {S_2} + … = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng Pitago để tính cạnh, chiều cao của tam giác đều và diện tích tương ứng ta có:

Có ${S_1};{S_2};{S_3};…$ là một cấp số nhân lùi vô hạn biết:

• Số hạng đầu: $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
• Công bội: $q = \frac{1}{4}$

Do đó: $S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + …$ $ = \frac{{{S_1}}}{{1 – q}}$ $ = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{1 – \frac{1}{4}}}$ $ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$

Theo giả thiết: $S = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $ \Leftrightarrow a = 1$

Vậy chọn đáp án D.

Bài 4 . Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng $1$, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình vẽ).
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn. Hỏi sau bao nhiêu lần tô thì diện tích tô được của chuột Mickey bằng $\frac{1}{3}$ diện tích hình vuông ban đầu?

Hướng dẫn giải

+ Diện tích hình vuông ban đầu là: S₁ = 1^_.

+ Diện tích hình vuông số 1 chuột Mickey tô được  có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông

⇒ Diện tích hình vuông số 1 bằng: ${S_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}$.

+ Tương tự : Diện tích hình vuông kế tiếp bằng: ${S_2} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{1}{16}$….

Xét: $\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{{{S_3}}}{{{S_2}}} = … = \frac{1}{4}$

Do đó ta có: ${S_1};{S_2};{S_3};…$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

• Số hạng đầu: ${S_1} = \frac{1}{4}$^_.
• Công bội : $q = \frac{1}{4}$

Mặt khác ta có: $S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + …$ $ = \frac{{{S_1}}}{{1 – q}}$ $ = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 – \frac{1}{3}}}$ $ = \frac{1}{3}$

Vậy chọn đáp án D.

Lưu ý: Phương pháp tính S_n sau đây dài hơn khá nhiều.

Ta có: ${S_n} = {S_1}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n – 1}}$

Khi đó: Tổng $S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + … + {S_n}$ $ = {S_1}\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$ $ = \frac{1}{4}.\frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{1 – \frac{1}{4}}}$ $ = \frac{1}{3}\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]$

Theo giả thiết: $S = \frac{1}{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right] = \frac{1}{3}$.

Điều này dẫn tới: ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} \to 0$ $ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 0$.

Vậy ${n \to + \infty }$.

Chọn đáp án D.

Lưu ý 2. Cách giải thứ 2 trên đây học sinh có thể sẽ gặp khó khăn khi giải phương trình tìm n: $\frac{1}{3}\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right] = \frac{1}{3}$

Nguyên nhân bài toán này phải sử dụng giới hạn và phải hiểu bản chất giới hạn.

Lưu ý 3. Nếu giả thiết cho trước nhỏ hơn $\frac{1}{3}$, Cụ thể: $S = \frac{{341}}{{1024}}$ theo cách thứ 2 khi đó ta dễ dàng tìm được $n=5$.

C. Tài liệu đính kèm

• Ứng dụng thực tế của cấp số nhân lùi vô hạn-word.

Pass: Bicboon.com