Cực trị của hàm số

Lý thuyết hàm số: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. Cực đại, cực tiểu

Định nghĩa cực đại, cực tiểu:

Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên khoảng (a; b). Điểm \(x_0\in (a;b)\) và có đạo hàm y’ trên (a;  \(x_0\)), ( \(x_0\); b). Khi đó:

• Nếu \(f’\left(x\right)< 0\), ∀x ∈ (a; \(x_0\)) và \(f’\left(x\right)>0\), ∀x ∈ ( \(x_0\); b) thì hàm số  \(y=f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại  \(x_0\) và $f\left( {{x_0}} \right)$ gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f tại điểm x₀;

• Nếu \(f’\left(x\right)>0\), ∀x ∈ (a; \(x_0\)) và \(f’\left(x\right)< 0\), ∀x ∈ ( \(x_0\); b) thì hàm số  \(y=f\left(x\right)\) đạt cực đại tại  \(x_0\) và $f\left( {{x_0}} \right)$ gọi là giá trị cực đại của hàm số f tại điểm x₀;.

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.

Định lý 1: 

Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) đạt cực trị tại  \(x_0\). Khi đó, nếu \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f’\left(x_0\right)=0\).

Hệ quả: Hàm số \(y=f\left(x\right)\) đạt cực trị tại  \(x_0\) và  \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì tiếp tuyến tại điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với trục 0x.

Định lý 2: 

Giả sử hàm số  \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm cấp một y’ trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai y” khác 0 tại  \(x_0\). Khi đó :

• Nếu  \(f’\left(x_0\right)=0\); \(f”\left(x_0\right)< 0\) thì hàm số đạt cực đại tại  \(x_0\);

• Nếu  \(f’\left(x_0\right)=0\) ;\(f”\left(x_0\right)>0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại x \(x_0\).

Lưu ý: Nếu \(f”\left(x_0\right)=0\) thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại  \(x_0\)

II. Các qui tắc tìm cực trị của hàm số

1. Qui tắc 1: Lập bảng biến thiên

– Tìm tập xác định.

– Tính y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định.

-Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x);\mathop {\lim }\limits_{x \to {{({x_0})}^ \pm }} f(x)$ (nếu cần).

– Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Qui tắc 2: Tìm nghiệm đạo hàm y’ và xét dấu y”

– Tìm tập xác định

– Tính f'(x), tìm nghiệm của phương trình f'(x) = 0, giả sử các nghiệm là x_i (i = 1, 2, .., n)

– Tính f”(x) và f”(x_i). Nếu f”(x_i) < 0 thì x_i là điểm cực đại; nếu f”(x_i) > 0 thì x_i là điểm cực tiểu.

III. Điều kiện tồn tại Cực trị của một số hàm thường gặp

1. Điều kiện để hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (\(a\ne0\)) có cực trị.

– Tính y’ = 3ax² + 2bx + c ; Tính ∆ của y’.

– Hàm số có cực trị ⇔ ∆ > 0; hàm số không có cực trị ⇔ ∆ \(\le0\).

2. Điều kiện để hàm số y = ax⁴ + bx² + c (\(a\ne0\)) có 1 hoặc 3 cực trị.

– Tính y’= \(4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right);y’=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2=-\frac{b}{2a}\end{cases}\) .

• Hàm số có ba cực trị ⇔ \(-\frac{b}{2a}>0\). Dấu hiệu nhận biết: a.b<0.
• Hàm số có một cực trị ⇔ \(-\frac{b}{2a}\le0\). Dấu hiệu nhận biết: ab>0.

3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0\) ∈TXĐ.

– Tính y’; y”.

+ Hàm số đạt cực tiểu: ${x_0} = {x_{CT}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f'({x_0}) = 0}\\
{f”({x_0}) > 0}
\end{array}} \right.$

– Hàm số đạt cực đại: ${x_0} = {x_{CD}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f'({x_0}) = 0}\\
{f”({x_0}) < 0}
\end{array}} \right.$

Lưu ý. Nếu \(y”\left(x_0\right)=0\) thì phải kiểm tra dấu của y’ để kết luận.

IV. Các dạng bài tập thường gặp 

1. Dạng 1 : Tìm các điểm cực trị của hàm số

Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) \(y=-x^3+3x^2+2\)

b) \(y=x^3-3x^2+3x\)

Bài giải :

a) Tập xác định : D=R

Ta có : \(y’=-3x^2+6x\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}\)

\(y”=-6x+6\Rightarrow y”\left(0\right)>6;y”\left(2\right)=-6<0\)

Hàm số đạt cực đại khi x=2 với giá trị cực đại của hàm số là \(y\left(2\right)=6\)

Hàm số đạt cực tiểu khi x=0 với giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left(0\right)=2\)

b) Tập xác định : D=R

Ta có \(y’=3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)^2\ge0\) với mọi x

Suy ra hàm số không có cực trị

Chú ý:

– Nếu \(y’\) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị

– Đối với hàm bậc 3 thì \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt là điều cần và đủ đế hàm có cực trị.

Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) \(y=3x^4-12x^3+16\)

b) \(y=-2x^4+4x^2+6\)

Bài giải :

a) Tập xác định : D = R

Ta có \(y’=12x^3-36x^2=12x^2\left(x-3\right)\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=3\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) với giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left(3\right)=-65\), hàm số không có cực đại

b) Tập xác định : D=R

Ta có \(y’=-8x^3+8x=-8x\left(x^2-1\right)\Rightarrow y’=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm1\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x_1=1;x_2=-1\) tương ứng với giá trị cực đại của hàm số là \(y\left(1\right)=8;y\left(-1\right)=8\) và hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) với giá trị của hàm số là \(y\left(0\right)=6\)

Chú ý :

Đối với hàm bậc 4, vì đạo hàm là đa thức bậc ba nên hàm chỉ có thể có một cực trị hoặc 3 cực trị. Hàm số có một cực trị khi phương trình \(y’=0\) có một hoặc 3 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép), hàm số có 3 cực trị khi phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:\(y=\frac{2x+1}{3x-6}\)

Bài giải :

Tập xác định : \(D=R\)\\(\left|2\right|\)

Ta có \(y’=\frac{-15}{\left(3x-6\right)^2}<0\), mọi \(x\ne2\)

Suy ra hàm số đã cho không có cực trị.

Dạng 2 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Ví dụ 1: Xác định m để hàm số \(y=x^4-2\left(m-1\right)x^2+m-2\)

a) Có hoành độ điểm cực tiểu bằng 2

b) Có cực tiểu mà không có cực đại

c) Có 3 cực trị

Bài giải :

Ta có

\(y’=4x^3-4\left(m-1\right)x\) \(y’=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m-1\left(1\right)\)

\(y”=12x^2-4(m-1)\) 

a) Hoành độ điểm cực tiểu bằng 2 suy ra:

\(y’\left(2\right)=0\Leftrightarrow4.8-4\left(m-1\right)2=0\Leftrightarrow m=5\)

* Với m = 5 ta có:$y”\left( 2 \right) = 32 >0 $

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=2

Vậy m=5 là giá trị cần tìm

b) Cách 1: Vì a>0, hàm số có một cự tiểu <=> a.b≥0<=>m-1≤0<=>m≤1.

Cách 2: Hàm số đạt cực tiểu mà không có cực đại <=> Phương trình \(y’=0\) có 1 nghiệm <=> phương trình (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm bằng 0 $ \Leftrightarrow a.b \ge 0 \Leftrightarrow m – 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le 1$

Vậy \(m\le1\) là giá trị cần tìm.

c) Cách 1: Vì a>0, hàm số có 3 cực trị <=> a.b<0<=>m-1>0<=>m>1.

Cách 2: Hàm số đã cho có 3 cực trị <=> phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt

<=> Phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 \(\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)

Vậy \(m>1\) là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số \(y=4mx^3-3\left(m+1\right)x^2+6x+1\)

a) Có cực đại và cực tiểu

b) Đạt cực tiểu tại x = 3

Bài giải :

Tập xác định D = R

Ta có \(y’=12mx^2-6\left(m+1\right)x+6\)

a) * Dễ thấy m = 0 không thỏa mãn

* m≠0: Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> phương trình \(y’=0\Leftrightarrow2mx^2-\left(m+1\right)x+1=0\) có 2 nghiệm phân biệt

Do đó yêu cầu bài toán \(\begin{cases}m\ne0\\\Delta>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne0\\m^2-6m+1>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;3-2\sqrt{2}\right)\cup\left(3+2\sqrt{2};+\infty\right)\)

Vậy \(m\in\left(-\infty;3-2\sqrt{2}\right)\cup\left(3+2\sqrt{2};+\infty\right)\) là giá trị cần tìm

b) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 suy ra

$ y’\left(3\right)=0\Leftrightarrow2m.9-\left(m-1\right)3+1=0 $ $ \Leftrightarrow m=\frac{2}{15}\)

Với $ m=\frac{2}{15}\) ta có \(y”=24mx-6\left(m+1\right)$ $Rightarrow y’\left(3\right) $ $ =24.\frac{2}{15}.3-6\left(\frac{2}{15}+1\right)>0 $

Vậy: $m=\frac{2}{15}$.

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số \(y=\frac{x^2+mx-2}{mx-1}\) có cực trị

Bài giải :

– Nếu m = 0 thì \(y=x^2-2\) => hàm số có 1 cực trị

– Nếu \(m\ne0\) thì hàm số xác định với mọi \(x\ne\frac{1}{m}\)

Ta có \(y=\frac{mx^2-2x+m}{\left(mx-1\right)^2}\)

Hàm số có cực trị \(y’=0\Leftrightarrow mx^2-2x+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(\frac{1}{m}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}1-m^2>0\\m-\frac{1}{m}\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow-1\) < m < 1

Vậy – 1 < m < 1 là những giá trị cần tìm

Dạng 3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Kiến thức bổ sung: Cho \(y=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\) khi đó nếu \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số \(y\left(x_0\right)=\frac{u’\left(x_0\right)}{v’\left(x_0\right)}\) và \(y=\frac{u’\left(x\right)}{v’\left(x\right)}\) là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị

Chứng minh

Ta có \(y’=\frac{u’\left(x\right)v\left(x\right)-v’\left(x\right)u\left(x\right)}{v^2\left(x\right)}\Rightarrow y’=0\)

\(\Leftrightarrow u’\left(x\right)v\left(x\right)-v’\left(x\right)u\left(x\right)=0\)(*)

Giả sử \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số thì \(x_0\) là nghiệm của phương trình (*)

\(\Rightarrow\frac{u’\left(x_0\right)}{v’\left(x_0\right)}=\frac{u\left(x_0\right)}{v\left(x_0\right)}=y\left(x_0\right)\)

Hệ quả: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3 là: $y = {\textstyle{2 \over 3}}\left( {c – {\textstyle{{{b^2}} \over {3a}}}} \right)x + \left( {d – {\textstyle{{bc} \over {9a}}}} \right)$

Chứng minh:

Giả sử $\Delta = {b^{\bf{2}}} – 3ac > 0$, khi đó $f’\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ với ${x_{1,2}} = {\textstyle{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 3ac} } \over {3a}}}$ và hàm số đạt cực trị tại x₁, x₂.

Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:

${y_1} = f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{\textstyle{{ – b – \sqrt {{b^2} – 3ac} } \over {3a}}}} \right)\,$;

${y_2} = f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {{\textstyle{{ – b + \sqrt {{b^2} – 3ac} } \over {3a}}}} \right)$

Trong trường hợp x₁, x₂ là số vô tỉ thì các cực trị f (x₁), f (x₂) nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán sau đây:

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ‘(x) ta có:

$f\left( x \right) = \left( {{\textstyle{1 \over 3}}x + {\textstyle{b \over {9a}}}} \right)f’\left( x \right) + {\textstyle{2 \over 3}}\left( {c – {\textstyle{{{b^2}} \over {3a}}}} \right)x + \left( {d – {\textstyle{{bc} \over {9a}}}} \right)$

hay $f\left( x \right) = f’\left( x \right).q\left( x \right) + r\left( x \right)$ với bậc $r\left( x \right) = 1$

Bước 2: Do: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f’\left( {{x_1}} \right) = 0}\\
{f’\left( {{x_2}} \right) = 0}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{y_1} = f\left( {{x_1}} \right) = r\left( {{x_1}} \right) = \frac{2}{3}\left( {c – \frac{{{b^2}}}{{3a}}} \right){x_1} + \left( {d – \frac{{bc}}{{9a}}} \right)}\\
{{y_2} = f\left( {{x_2}} \right) = r\left( {{x_2}} \right) = \frac{2}{3}\left( {c – \frac{{{b^2}}}{{3a}}} \right){x_2} + \left( {d – \frac{{bc}}{{9a}}} \right)}
\end{array}} \right.$

Suy ra:  Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x)
hay: $y = {\textstyle{2 \over 3}}\left( {c – {\textstyle{{{b^2}} \over {3a}}}} \right)x + \left( {d – {\textstyle{{bc} \over {9a}}}} \right)$ (đpcm).

Ví dụ 1: Tìm m để $f\left( x \right) = {x^3} + m{x^2} + 7x + 3$ có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với  y = 3x -7.

Giải

Hàm số có CĐ, CT <=> $f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2mx + 7 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt <=> $\Delta ‘ = {m^2} – 21 > 0 \Leftrightarrow \left| m \right| > \sqrt {21} $.

Thực hiện phép chia f (x) cho f ‘(x) ta có: $f\left( x \right) = {\textstyle{1 \over 9}}\left( {3x + m} \right)f’\left( x \right) + {\textstyle{2 \over 9}}\left( {21 – {m^2}} \right)x + 3 – {\textstyle{{7m} \over 9}}$

Với $\left| m \right| > \sqrt {21} $ thì phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x₁, x₂. Ta có: $f’\left( {{x_1}} \right) = f’\left( {{x_2}} \right) = 0$

suy ra

${y_1} = f\left( {{x_1}} \right) = {\textstyle{2 \over 9}}\left( {21 – {m^2}} \right){x_1} + 3 – {\textstyle{{7m} \over 9}}\,\,;$

${y_2} = f\left( {{x_2}} \right) = {\textstyle{2 \over 9}}\left( {21 – {m^2}} \right){x_2} + 3 – {\textstyle{{7m} \over 9}}$

=> Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D):$y = {\textstyle{2 \over 9}}\left( {21 – {m^2}} \right)x + 3 – {\textstyle{{7m} \over 9}}$.

Ta có (D) ⊥ y = 3x – 7

<=>${\textstyle{2 \over 9}}\left( {21 – {m^2}} \right).3 = – 1$

$ \Leftrightarrow {m^2} = {\textstyle{{45} \over 2}} > 21$

$ \Leftrightarrow m = \pm {\textstyle{{3\sqrt {10} } \over 2}}$.

Vậy: $m = \pm {\textstyle{{3\sqrt {10} } \over 2}}$.

Ví dụ 2:  (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)

Tìm m để hàm số $y = {x^4} – 2{m^2}{x^2} + 1$ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Giải

Hàm số có 3 cực trị $ \Leftrightarrow y’ = 4x\left( {{x^2} – {m^2}} \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow m \ne 0$, khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là $A\left( {0,1} \right);B\left( { – m,1 – {m^4}} \right),C\left( {m,1 – {m^4}} \right)$. Do  là hàm chẵn nên theo yêu cầu bài toán ta có:$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$.

vậy:$m = \pm 1$

---

Xem thêm: Chuyên đề về cực trị hàm số bậc3

Xem thêm: Chuyên đề về cực trị hàm số bậc4

---

Phần trước: Sự đồng biến-nghịch biến của hàm số.

Phần tiếp theo: Giá trị lớn nhất- Nhỏ nhất của hàm số.

Kiểm tra năng lực phần Cực trị tại đây.